浙江省普通高中学业水平考试数学试题附解析Word下载.docx
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8.
A.6
B.3√3
C.
D∙√6
设cieR,贝IJ“a=l”是的（
A.充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.充分必要条件
既不充分也不必要条件
x-y+4≥0
x+y-4≤0,则x+2y的最人值是（y≥0
A.O
E.4
C.8
12
则该三棱锥的体积是
10・已知某三棱锥的三视图如图所示,
侧视图
A.1
E・
2
C.3
9D.—
11.己知实数X,
y满足X
^+>
r=1,
则∙o的最大值是（）
E.
√3
c.d
1D.—
12.己知向量N,
b满足C
1=1,b=
：
2,Q∙b=l,则a与b的夹角是（）
A.30o
45。
C.60°
D.12（Γ
V3>
.（π∖
13.已知角Q为第四彖限角，&
的终边与单位圆交于点尸-√∏
则Sma+—
2丿
I4丿
A.
√2
C.卫
D.也
10
（）
14.己知Q,0是两个不同平面，加，”是两条不同直线，则下面说法正确的是（）
A.若allβ,In丄α,"
〃0,则加//〃E..若allβ,加丄α,n∕/β,则〃7丄〃
C.若G丄0,InHa,"
丄0,则〃?
/加D.若G丄0,InIla,"
丄0,则加丄〃
15.设数列｛（-lf1∙3n｝的前"
项和为S”，则对任意的正整数"
恒成立的是（）
A.∖>
S,l+1B.∖<
Sw+1C.S2n>
52π,1D.S2,,<
S2n,1
16.己知a>
b>
[,则下列不等式一定成立的是（）
A.IOgu（IOgtI∕?
）∙logz,（IOgbα）>
0B.IOgU（IOgub）+logz,（IOgbα）>
C.Iog“（IOgZJa）∙log”（IOg“∕?
）>
0D.IOgU（log/）+IOgb（IOgub）>
0
22
17.己知椭圆C:
£
_+2_=1（«
>
/?
0）的右焦点为F,左顶点为A•若点P为椭圆C上的点，PF丄X轴,
且SuI却F<
浮则椭圆C的离心率的取值范围是（
18.
侧棱长为2・E,F分别是侧面
如图，己知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,
ACCIAI和侧面ABBIAI±
的动点，满足二面角A-EF-AI为直二面角•若点P在线段EF上，且AP丄EF,
则点P的轨迹的面积是
19.己知04的方程为（x-2）2+（>
∙-2）2=1,则其圆心A坐标为；
半径为
20.已知幕函数y=f（x）的图彖过点（3,√3）,则/（4）=.
21.如图，在长方体ABCD-AlBiCIDI中，已知43=2，BC=BB严1,则直线AB与平面AIBICD所
成角的正弦值是.
22.若数列@”｝满足匕=2,%]=4色+4扬+1,则使得α,1≥20202成立的最小正整数“的值是.
四、解答题
23.已知函数/（x）=COS2Cr+-Sill+,x∈R.
I6丿I6丿
（1）求/（彳）的值；
（H）求/（x）的最大值，并写出相应的X的取值集合.
24.在平面直角坐标系中，点M（-1,0）,"
（1,0）,直线PM,PN相交于点、P（X』），且直线PM的斜
率与直线PN的斜率的差的绝对值是2.
（I）求点P的轨迹E的方程；
（II）设直线/：
y=d（k>
0）交轨迹E于不同的四点，从左到右依次为A，B,C,£
.问：
是否存在满足IABI=：
|〃Cl=ICDl的直线/?
若存在,求出R的值；
若不存在，请说明理由.
25.设awR,已知函数/（x）=∣λ2-λ∣+∣λ2-λ∣,a-∈[-1,1].（I）当Q=O时，判断函数/（x）的奇偶性；
（II）当GSo时，证明：
f（x）≤a2-a+2;
（III）若/（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围.
2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题（解析）
1.己知集合A={x∈∕?
卩Vx<
3},则下列关系正确的是（）
A.IeAB.Ac.3∈AD.4住人
【答案】D
【详解】
因为集合A={x∈Λ∣l<
x<
3},所以1∈A,2∈A*3g4,A
【答案】C
因为等差数列仏”}的首项兔=3,公差d二2,所以6∕3=λi+4J=3+S=11
故选：
C
A.丄
1
E.一一C.1
D.-1
【答案】A
∙.∙∕1∕∕∕2,/.«
[l×
（-2,）-（-I）Xl=O丄
^1）x2-（-2λ）×
（-1）≠0,解保2'
4.己知直线人：
x-y-1=O与人：
x-2αy+2=0平行，则实数“的值是（
A-
Azx+Bzy+cz=0平行，则A1B2-A2B1=0且BlC2-B2Cl≠0.
5.双曲线疋-丄=1的渐近线方程是（）
A・y∕3x±
y=0E・X±
y∣3y=O
y=OD.x±
3y=O
双曲线X2-Zl=1的渐近线方程是X2-—=0,即√3x±
33
A
6.已知/（X）是奇函数，其部分图象如图所示，则/（X）的图象是（）
【详解】因为奇函数的图彖关于原点对称，所以/（X）的图彖是
y
厂
O\
B
7∙在WC中’角A'
B'
C所对的边分别为"
b,心异烽〃吟心，≡=（）
A.6B.3√3C.3√2D.√6
3sin?
3√?
由正弦定理丄二一?
一得：
b=竺嘤=——=^-=3√2.
SmASlnBSInASm£
丄
62
&
设gR,则“。
=1”是“亍=1”的（）
B.必要而不充分条件
D・既不充分也不必要条件
当CF=I时，则α=±
l,不一定有a=l9
当d=l时，充分性成立；
反过来,
故必要性不成立，所以“。
=1”是aa2=l9f的充分而不必要条件・故选：
9.若实数％,y满足不等式组λr+y-4≤0,则x+2y的最大值是（）y≥0
A.0E.4C.8D.12
不等式组［x+y-4≤0表示的平面区域如图，令x+2y=z,即y=--x+-,
C22
b≥o
17
由图可得当直线y=--χ+^过点（0,4）时Z最大，最大值为8
io.己知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
解：
由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为V=-×
丄x3xJJx√J=2322
又O≤0,b）＜"
所以N与5的夹角为60。
11・已知实数X,y满足x2+y2=l,则小的最大值是（）
A.1B.退C.也D.-
222
因为X2+y2≥2xy,所以2xy≤x2+y2=l,得Xy-^•
12.已知向量N,5满足同=1,円=2,打=1，则N与5的夹角是（）
D.120
A.30oB.45°
C.60°
HaS1=2
13.已知角&
为第四彖限角，&
的终边与单位圆交于点P∖l,nι
15
【解析】首先求出〃-然后由任意角的三角函数的定义得CoSa和sιnα,然后由正弦的两角和计算公式可
Z・（π得su∖α+4
<
J4
因为角α为第四彖限角，α的终边与单位圆交于点P-Jn,所以W=--3
故选:
若α∕∕0,加丄a,n∕∕β,则加丄〃，故A错误，B正确；
若G丄0,nιHa,"
丄0,则加与〃可以平行、相交或异面，故c、D错误；
15.设数列｛（-l）n+1∙3,,｝的前川项和为S”，则对任意的正整数〃恒成立的是（）
B-SJIVSf^
A∙Sn>
5n+1
C.S"
S"
TD.S2“VS
因为S”+厂S“=（一1）用3讯，确定不了符号；
S2h-Sz=（-l）2w+1•3"
=-32n<
0,所以S2n<
S2fl,1
D
16.已知α>
l,则下列不等式一定成立的是（）
A∙log“（IOEb）∙log,（IOgba）>
Q
E.log“（lOg“b）+IOgb（IOg/,d）>
C.IOg“（IOgba）∙logz,（IOgab）〉0
D.⅛（logz,d）+log”（IOgUb）>
因为a>
i.所以OVlOgabVI,log∕,α>
l,所以IOgtI（IOgtfb）<
O,logz,（Iogh（7）>
O
所以IOga（IOg“b）∙log”（IOgzJa）<
0f故A错误，
同理可得IOg“（log”d）∙log’,（IOg（Zb）<
0,故C错误
令r=log^∈（0,1）,则IOgba=7
所以IOga（Iog“b）+IOgfe（Iogbα）=IOg“/+Iogb;
=IOg“'
-Iogb'
=厂」~一∕τ=fgJ；
OgLd
flog<
log,/?
IOgza∙IOgfb
因为r∈（0,l）,a>
l,所以log,b>
log,a,log,λ<
O,log,∕?
<
O,
IOg/?
—IOga
所以IOo（710；
b>
O，即⅛（Iogab）+log/,（IOgbα）>
O,故E正确
同理可得IOgU（logz,λ）+logz,（IOgtlZ?
）<
O,故D错误
17.已知椭圆C：
_+君=ι（α>
O）的右焦点为F,左顶点为4•若点P为椭圆C上的点，PF丄X轴,
λη
（.2、
（2Λ
A,
BISJ
k1>
JJJ
且论际V穹，则椭毗的离心率的取值范围是（
所以SilIZPAF=所以巴-v（α+c）'
+2τ
因为e∈（0,l）,所以e∈f∣,l
18.如图，已知直三棱柱ABC-AlBICI的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2∙E,F分别是侧面ACCIAl和侧面ABBIAl上的动点，满足二面角A-EF-Al为直二面角.若点P在线段EF上，且AP丄EF,则点P的轨迹的面积是
【详解】解：
•••二面角A-EF-Al为直二面角•••平面AEF丄平面EFA,
又T点P在线段EF匕且AP丄APu平面AEF,平面AEFn平面EFA=EF
.・・AP丄平面EfA,连接A1P,
・•・APΔ.AlP,ΛP在以AA为直径的球上，且P在三棱柱ABC-AiBICi内部，
・•・P的轨迹为以AA为直径的球在三棱柱ABC-AIBICI内部的曲面，
又•・•三棱柱ABC-AIBiCI为正三棱柱，
・•・P的轨迹为以AA为直径的球面，占球面的;
，
6
・•・点P的轨迹的面积是S=丄×
4^∙=-.
63
二、双空题
19.已知04的方程为（x-2）：
+（y-2）：
=l,则其圆心A坐标为；
半径为.
【答案】
（2,2）1
因为OA的方程为（x-2）2+（y-2）2=l,
所以其圆心A坐标为（2,2）,半径为1
故答案为：
（2,2）；
1
三、填空题
20.已知幕函数y=f（x）的图彖过点（3“），则/（4）=.
【答案】2
Vy=/（x）为幕函数，•••可设/（x）=xα,.∙.∕（3）=3α=√3,解得：
a=
:
.f（x）=,•■f⑷=2.
2.
21.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDL中，已知AB=2,BC=BBi=It则直线AF与平面AIBICD所成角的正弦值是
【答案】迥
如图，连接Bq,交CB∖于K,连接AK,由题，Ad丄平面BBLCIC,所以A耳丄BCit又四边形BBlCiC是正方形,
所以丄CBI,AIBl∩CBI=B1,所以BC］丄平面CBLAiD,
即ZBAIK为直线Aβ与平面AIBICD所成的角，
又AB=2»
BC=BBI=It所以4ιβ=y∣AB2+AAj2=√5»
BKjBCL牛故SlSA=竺=半=亜
221AiB√510
迥
22.若数列｛a”｝满足q=2,qrκ=4%+4j石+1,则使得≥20202成立的最小正整数〃的值是
【答案】11
•••Q”+i=4a”+4城+1=（2妬+1）~,.∙.5∕^=2城+1,.∙∙7ξ^+l=2（5∕ξ"
+l）,
•••数列｛"
7+l｝是以√^+l=√2÷
l为首项，2为公比的等比数列，.∙.√^+l=（√2+l）×
2H-1,λ√^=（√2+1）×
2M-I-1,
202J
由暫≥2020'
得：
城≥2020,即2π^1≥=2021×
（√2-1）≈837,•••29=512,21°
=1024且•••满足题意的最小正整数"
=11∙故答案为：
11∙
23.已知函数/（x）=COS2x+-Snrx+f,XeR・
（1【）求/（X）的最人值，并写出相应的X的取值集合.
所以，/（χ）的最大值为1.
当且仅当2x+-=2kπ时，即X=R龙一兰（k∈Z）时，/（x）取得最人值,36
所以，取得最大值时X的集合为∖xx=kπ-^,kEz∖.
24.在平面直角坐标系中，点M（-1,0）,N（l,0）,直线PM,PN相交于点P（X』），且直线PM的斜率与直线PN的斜率的差的绝对值是2.
（I）求点P的轨迹E的方程；
y=kx{k>
6）交轨迹E于不同的四点，从左到右依次为A,B,C,D.问：
是否存在
满足IABI=IBCI=ICDl的直线/?
若存在，求岀R的值；
若不存在，请说明理由•
（【）y=±
（χ2-i）（χ≠±
i）;
（H）存在，牛.
（【）由已知得，I^W-^Vl=2,即一J——J=2,
X÷
1X-I
化简得到点P的轨迹E的方程为y=+（χ2-I）（X≠±
1）.
（II）假设存在直线/满足题意.
设A（λ,h）'
3（七，儿），C（X3,%），D（X4,yJ∙
由方程组F='
r消去〉'
，整理得疋+也_1=0,所以X1+X3=-^∙y=Y-X"
1>
2因为∖AB∖=∖BC∖,所以点B是力C的中点，故B
因为点B在y=x2-l±
由k>
0,
同理，由IBq=ICDl得到k=芈
综上可知存在k=巫的直线/满足题意.
25.设aeRf已知函数f（x）=∖x2-a∖+∖a2-x∖,X∈[-l,l].
（I）当G=O时，判断函数/'
（x）的奇偶性；
（II）当OSO时，证明：
/（x）≤^2-λ+2:
（In）若∕W≤4恒成立，求实数α的取值范围.
（I）/（x）为偶函数；
（1【）证明见解析；
（III）[一1冷
（【）当4二0时，/（x）=∣x2∣+∣x∣,定义域为[—1,1],且对于任意的"
[-1,1],有/（→-）=∣√∣+∣x∣=∕（x）恒成立，所以函数/（χ）为偶函数.
（II）当OSO时，因为χ∈[-l,l],
所以，f（X）=∖χ2~a+Cl2-X=X2-cι+a2-X
x2-a+a2+∣x∣=<
72-a+∖x∖+x2<
cr-a+2.
即对于任意的∈[-1,1],/（x）≤λ2-^+2恒成立.
（III）i^f（x）=∖x1-a∖+∖cf-x∖（-l≤x≤i）的最大值为M，
则f（x）≤4恒成立OM<
4・
（i）当αS0时，由（II）可知，
对于任意的Λ∈[-L1],f（x）≤a2-a+2=f（-l）恒成立，
所以，M=Cr-a+2∙
α+254
由<
解得一I≤α<
0・
[a≤0
（ii）当OVaVI时，因为x∈[-1,1],
所以,∕ω=∣X2-^∣+∣α2-x∣≤∣x2∣+∣α∣÷
∣α2∣+∣x∣≤4恒成立.
（iii）当α>
l时，因为a-∈[-L1],
II寸
-E
•的⅛∏^鑒
r
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