拉普拉斯变换公式总结.docx

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拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

基本要求

通过木章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：

熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出s域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点

1.拉普拉斯变换的定义及定义域

（1）定义

单边拉普拉斯变换：

正变换af{t）]=F（s）=[_f{t）e~x，dt

逆变换^[F（5）]=/（0=-^匚]尸（％%

双边拉普拉斯变换：

正变换几（$）=匸兀）"滋

逆变换兀）=缶匚;几⑸必

（2）定义域

若＜7〉％时，=0则在b〉久的全部范围内收敛,积分匚f（t）e~x，dt存在，即/（f）的拉普拉斯变换存在。

＜t＞o-0就是/（/）的单边拉普拉斯变换的收敛域。

碍与函数/（f）的性质有关。

2.拉普拉斯变换的性质

（1）线性性

若ca（/）]=k（s）,，心，心为常数时，则

彳[匕fl（0+0人（f）]=冷仟（5）+K2F2（$）

（2）原函数微分

若<[/（01=F（5）则G響]=5F（5）-/（0_）

式中广”（0_）是r阶导数马里在0_时刻的取值。

dtr

（3）原函数积分

若<[/（01=FG），则<（L=少+f（式中f~l）（0_）=匸f（t）dt

SS

（4）延时性

若<[/（01=FG），则G"-曲D]=严弘）

（5）s域平移

若<[/（01=FG）,则GM）严]=F（S+a）

（6）尺度变换

1C*

若jm）]=F（s），则0/3）]=—尸（-）（a>0）

aa

（7）初值定理lim/（/）=/（0+）=limsF⑸

（8）终值定理liin/（/）=limaF（5）

/^+x$T0C

（9）卷积定理

若4川）]=杠⑸，$[〃）]=耳G），贝!

J有=爲G迅G）

II2+/DC

^[fi（0/2（01=—[^（^）*^>W]=7—fUp応（s-p）dp

2兀）2兀

3.拉普拉斯逆变换

（1）部分分式展开法

首先应用海维赛展开定理将尸⑴展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数f（t）o

（2）留数法

留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数尸⑴护在围线屮所有极点的留数运算，即（s）］=丄匚;F（s）es,ds=j）F{s）ex,ds=丫［尸（常的留数］若Pi为一阶级点，则在极点$=卩，处的留数?

；=［G-p应x；|J=/,（

（=1

1

若门为k阶级点，则”=丙”庾（-肩弘）护］仁

4.系统函数（网络函数）H（s）

（1）定义

系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即

H（s）=也冲激响应/?

（/）与系统函数H（5）构成变换对，即H（5）=侧⑴］系统的频E（s）

率响应特性H（jw）=H（s）\s=jw=片（川）|严⑷式中，片（问|是幅频响应特性，飒w）是相频响应特性。

（2）零极点分布图

H（s）=泸=K（$_：

）（/_：

）•••3_S）式中，k是系数；—乙，…乙,为H（s）的零

£>G）（5-必）（$-化）・・心一几）■

点；几，P"…,化为H⑴的极点。

在S平面上，用“O”表示零点，“X”表示极点。

将H（s）的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。

对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。

（3）全通函数

如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平而，而且零点与极点对于川轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。

全通网络函数的幅频特性是常数。

（4）最小相移函数

如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平而或川，轴，则称这种函数为最小相移函数。

具有这种网络函数的系统为最小相移网络。

（5）系统函数H（s）的求解方法

1由冲激响应/?

（/）求得，即H（s）=

2对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由眄=学获

得。

3根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为H（s）o

5.系统的稳定性

若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。

（1）稳定系统的时域判决条件匚（充要条件）①

若系统是因果的，则①式可改写为

（2）对于因果系统，其稳定性的s域判决条件

1若系统函数HG）的全部极点落于s左半平面，则该系统稳定；

2若系统函数HG）有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；

3若系统函数HG）没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定O

内容摘要

丿拉氏变换的定义和

1.拉普拉斯

q攵敛域

弘e,亠-“J、部分分式展

2.单边拉氏变换逆变换劭求法

开決

3.拉氏变换的基木性质

4.用拉普拉斯变换法分析电路

J系统函数的定义

系统函由零极点的决定系统的时域特性

例题

•例题1：

求拉氏变换

•例题2：

求拉氏变换,拉氏变换的性质

•例题3：

拉氏变换的微分性质

•例题4：

系统函数,求解系统的响应

•例题5：

用拉氏变换法分析电路・

例4-1

求下列函数的拉氏变换/（r）=/«（r-l）

分析

拉氏变换有单边和双边拉氏变换，为了区别起见，本书以尸（Q表示/（/）单边拉氏变换，以你C）表示/（/）双边拉氏变换。

若文字屮未作说明，则指单边拉氏变换。

单边

拉氏变换只研究10的时间函数，因此，它和傅里叶变换之间有一些差异，例如在时移定理，微分定理和初值定理等方面。

木例只讨论时移定理。

请注意木例各函数间的差异和时移定理的正确应用。

解答

例4-2

求三角脉冲函数f（/）如图4-2（a）所示的象函数

分析

和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，年主要借助基木信号的拉氏变换和拉氏变

解答

方法一：

按定义式求解

方法二：

利用线性為加和时移性质求解

方法三：

利用微分性质求解

方法四：

利用卷积性质求解

方法一：

按定义式求解

方法二：

利用线性為加和时移性质求解

由于

于是叫）=2（1一2「+严）方法三：

利当鮒喷求解分析

信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过儿次

微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。

将/（“微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。

显然根据微分性质

由图4-2（b）可以看出

于是方法四：

利用卷积性质求解

|/1（0

1

图4-2（c）

/"）可看作是图4-2（c）所示的矩形脉冲/&）自身的卷积于是，根据卷积性质

而

琳）+（"）所以F（s）=l（l-e-7

例4_3

应用微分性质求图4-3的象函数下面说明应用微分性质

这是应用微分性质应特别注意的问题4（b）

由图4-3（b）知

例4-4

某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。

当输入为图屮所示的矩形脉冲时，求此时iA输出

阶跃响应则y3（f）=（0+s（f-1）-g（f-3）

=2e7“（0+eS）u（t-1）-u（t-3）

例4_5

电路如图4-5（a）所示

（1）求系统的冲激响应。

（2）求系统的起始*毀）％心旅系统的零输

入响应等于冲檄响应。

（3）求系统的起始统对"（渊激励时的貝

解答

（1）求系统的冲激响应。

系统冲激响应加）与系统函数H（s）是一对拉氏变换的关系。

对H（s）求逆变换可求得加），这种方法比在时域求解微分方程简便。

利用s域模型图4-5（b）可直写出图4-5（a）电路的系统函

冲激响应

（2）求系统的起始状态

为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s域模型。

下面我们用s域模型求解。

图4-5（a）电路的s域模型如图4-5（b）。

由图4-5⑹可以写出

初始条件为0时

4

延迟定理（或称f域平移定

理）

5

衰减定理（或称s域平移

定理）

6

终值定理

7

初值定理

8

卷积定理

2.表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表

序

号

拉氏变换

E（s）

时间函数e（t）

Z变换E（z）

1

1

5（t）

1

2

3

4

t

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3.用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设F（s）是s的有理真分式

F（s）=如2=饥严+切”-卫心+…+“^+化

4（$）ansn++…+©s+q

式中系数九九…都是实常数；心是正整数。

按代数定理可将F（$）展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

①A（s）=0无重根

/、GCrc.C二C.

尸（s）=—+—+・・・+—+・・・+—二工一—

这时，F（s）可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

（F-1）

式中，片宀,…心是特征方程A（s）=0的根。

C,为待定常数，称为F（s）在耳处的留数，可按下式计算：

C=lull（5-5.）F（5）

（F-2）

或

（F-3）

式中，A'（s）为A（$）对s的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

/（『）"[%）]"土丄=i>严（F-4）

_f=lS—si」<=1

②A（5）=0有重根

设A（s）=O有r重根S],F（s）可写为

cctcxcc.cn

=++•・・+———+—+・・・+—+・・・+——

（5_5i）r（5_5i）r（5_51）$一»+1s_Sjs-sn

式中，、为F（s）的r重根，5r+1,…，几为F（s）的n-r个单根；

其中，J],…，c”仍按式（F-2）或（F-3）计算，cr,…，5则按下式计算:

（F-5）

1

"亍鉴耐DP

原函数/（/）为

f為宀…2卜含严

（F-6）