拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳.docx
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拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳
引言1
1拉普拉斯变换以及性质1
1.1拉普拉斯变换的定义1
1.2拉普拉斯变换的性质1
2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤3
3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用3
3.1初值问题与边值问题3
3.2常系数与变系数常微分方程4
3.3含■■:
函数的常微分方程5
3.4常微分方程组6
3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用6
3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广9
4拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用10
4.1齐次与非齐次偏微分方程10
4.2有界与无界冋题11
5综合比较，归纳总结14
结束语15
参考文献15
英文摘要21
致谢16
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用
物理系0801班学生岳艳林
指导老师韩新华
摘要：
拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；
其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边
值问题、常系数与变系数常微分方程、含：
函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特
解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：
拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
引言
傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利
和在讥：
—:
:
内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t为自变量的
I
函数通常在t.0时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个
缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换⑴。
1拉普拉斯变换以及性质
1.1拉普拉斯变换的定义
I.
"bo-■1--
设函数f（t）当t_0时有定义，而且积分「f（t）e』dt（s是一个复参量）在s的某一区域内收敛，
0
-bo
则此积分所确定的函数可写为F（s）二.f（t）e』dt.我们称上式为函数f（t）的Laplace变换式.记为
0
F（s）二L[f（t）],F（s）称为f（t）的Laplace变换（或称为象函数）•
若F（s）是f（t）的Laplace变换，则称f（t）为F（s）的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为f（t）二L」[F（s）]⑵.
Laplace变换的存在定理
若函数f（t）满足下列条件：
1在t-0的任一有限区间上分段连续；
2当t—：
时，f（t）的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M・0及c—0，使得
f（t）EMect,0"处成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指
数）.
-bo
则f（t）的Laplace变换F（s）二.f（t）e^dt在半平面Re（s）c上一定存在，右端的积分在
0
Re（s）—gc的半平面内,F（s）为解析函数⑵.
1.2拉普拉斯变换的性质
⑴线性性质若■是常数，L[f1（t）]二Fjs）,L[f2（t）]二F2（s）,
则有L[:
fi（t）「f2（t）]「L[fi（t）]+4[f2（t）],
L」[:
F's）"（s）]「L」[Fi（s）]+」」[F2（s）].
⑵微分性质若L[f（t）]二F（s）,则有L[f'（t）^sF（s）-f（0）.
高阶推广若L[f（t）]=F（s）,则有L[f⑴]二s2F（s）-sf（0）-f'（0）.
一般，L[fn（t）^snF（s）-snlf（0^sn^f'（0H—sf2（0）一fz（0）.
⑶积分性质若L[f（t）]=F（s）,则L[tf（t）dt]=1L[F（s）].
■0s
⑷位移性质若L[f（t）^F（s），则L[eatf（t）]=F（s-a）（Re（s-a）c）.
⑸延迟性质若L[f（t）HF（s）,又t<0时f（t）=0,
则对于任一非负实数■，
有L[f（t-J]F（s）,或L」[e」F（s）]二f（t-）⑵.
⑹相似性性质若L[f（t）HF（s）,则L[f（at）H1F（s）.
aa
⑺卷积性质若L[fQ]二Fi（s）,L[f2（t）]二F2（s），
则L[fi（t）if2（t）]=Fi（S）F2（S），
其中f1（t）^f2（t）三ff1^）f2（^^）^称为fl（t）与f2（t）的卷积[3].
由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过
查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。
拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。
对于表中不能找到的
形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。
以下是本文将用到的几种
常用的拉普拉斯变换函数对⑻：
原函数
象函数
原函数
象函数
1
1
表一：
拉普拉斯变换函数表
2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤
图一：
拉普拉斯变换求解微分方程的流程图
拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程⑴。
接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。
3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用
3.1初值问题与边值问题
例：
求解初值问题y"•4y'•3yy（0）=y'（0）=1[2].
解：
设丫（s）二L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
2'
结合初始条件，有
[sY（s）-sy（0）-y（0）]-4[sY（s）-y（0）]3Y（s）二[s2Y（s）-^1]4[sY（s）-1]3Y（s）=
整理展开成部分分式，有Y⑸仁6：
s63）=4s1鳥（s11）2叮s13
由拉普拉斯变换函数表Lj-^]=e't,可知]=e」，^eJt.
s-九s+1s+3
由拉普拉斯变换函数表L1^^]=tn,并结合位移性质L[e」f（t）]=F（s「）,
s
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为
y（t）二L，[Y（s）]=7e‘1te，—3e$二1[（72t）eJ-3e^t]。
4244
例：
求解边值问y"-y二0,y（0）二0,y'（2二）=1⑵.
解：
设Y（s）二L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
结合初始条件，有[s2Y（s）-y'（0）]-Y（s）=0,
结合初始条件，有[s2Y（s）-y'（0）]-2[sY（s）]Y（s）=0,
由拉普拉斯变换函数表Lij}]=tn,并结合位移性质L[e“f（t）]二F（s•'）,s
亠1t
可知LE]g
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y（t）二lTy（s）]二y'（0）tet,
''2
为了确定y（0），将条件y
（1）=2代入上式可得y（0）上，
e所以，方程的解为y（t）二L'[Y（s）]=2tet=2tefJ.
e
例：
求解变系数微分方程
ty2yty0,y（0）1,y（0）=Co,（c°为常数）⑵.
解：
设Y（s）二L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，L[ty'']2L[y']L[ty]二0,
III
即L[ty]L[y]4L[ty]=0,
亦即-d[s2Y（s）-sy（0）—y'（0）]2[sY（s）-y（0）]—dY（s）=0,
dsds
两边积分可得[-2sY（s）-s2dY（s）y（0）]2[sY（s）-y（0）]一dY（s）二0,
dsds
-J-J
结合初始条件，有[-2sY（s）-s2-Y（s）1]2[sY（s）-1]--Y（s）=0,
sds
整理可得dY（s）21,
dss2+1
两边积分可得丫（s）二-arctansc,
1
欲求待定系数c,可利用limY（s）=0，所以从c=—，Y（s）=Z-arctans=arctan」，
22s
、「1a111
由拉普拉斯变换函数表L[arctan—]sinat,可知L[arctans]sint.
stt
对方程两边同时求反演，可得方程的解为y（t）=L」[Y（s）]二sint.
t
3.3含&函数的常微分方程
例：
质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，当物体在t=0时在x方向受到冲击力
f（tHA（t）（t）,其中A为常数。
若物体自静止平衡位置x=0处开始运动，求该物体的运动规律
/I'<\1
x（t）[2].
解：
根据牛顿定律，有mx=f（t）-kx,
其中-kx由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。
所以，物体运动的微分方
程为
mxkx=f（t）（t_0）,且x（0）=x（0）=0.
这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设
L[x（t）]=X（s）,L[f（t）]二L[A（t）HA,并考虑到初始条件，则得
如果记.0^k,有X（S）=△212•
mms+«0
由拉普拉斯变换函数表L*22]"n「t,可知L」[一—sin「0t.
s+©s+©0⑷0
A
对方程两边同时取反演，从而方程的解为x（t）二亠sin’t.
moo。
a
可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是—,角频率是-.0,称’为该系统的自然
moo。
频率（或称固有频率）。
3.4常微分方程组
例：
求解三维常微分方程组
x-x+y+z=O,
Xy"_yZ=O,X（O）=1,y（0）=z（0）=x（0）=y'（0）=z'（0）=o[2]
!
''
x+y+z_z=0,
解：
设X（s）-L[x（t）],Y（s）-L[y（t）],Z（s）-L[z（t）],对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有
解该方程组，整理展开成部分分式，有
取其逆变换，可得原方程组的解
3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用
aI
f..7/.
形如y（n）+^『54+■■-+anJy+any=f（x）的方程称为n阶常系数非齐次线性微分方程，这里a^a?
"；a^^,an为常数，f（x）为连续函数。
我们平时用到的f（x）主要有三种形式：
f（x）=e",
f（x）=e'xp（x）（其中p（x）=p/十P2X2M丨+PnXn）,
i
f（x）二sin'x、f（x）二cos'x⑹.
该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。
对于该方程
的通解可用多种方法求特解，如：
比较系数法、常数变易法、算子法等。
下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。
设Y（s）二L[y（t）],F（s）二L[f（x）],为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，
F（s）
sn■a"4•…'an+s'an
精心整理
（1）f（x）=e"
则该齐次微分方程特解的形式与自由项f（x）有关，也就是说与变换项—有关；对应的齐次微分
S—丸
决于丄⑺。
S—丸
若sn-asZf…川‘an」s-ans=,=0,
即相应的拉普拉斯变换特解为Y（x）=si（s"—ash1—aXa”）s=J.
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为y”⑴二LJ[Y（s）].
例：
求解常系数线性齐次方程y"-y'-e2x的特解。
解：
设丫（s）=L[y（t）],令初始条件为零，
1
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有（s2-s）Y（s）=——.
s—2
整理展开成部分分式，有Y（s）=12-—^^-C,
（s-2）（s2-s）s-2s2-s
此时（s?
—s）s=2式0,则
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为
若sn•asn—…•an^s•ans丁二[（s—'）ms「]（sn"-b1sn^4，b“）=Q
Bsn列斗•Csn列二恥一卷D（sn"勺严•…叽）
同理，相应的拉普拉斯变换特解为
例：
求解常系数线性齐次方程y-5y8y-4y=e2x的特解。
精心整理
解：
设丫（s）二L[y（t）],令初始条件为零,
1
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有（S3—5S28s—4）Y（s）二——
s—2
-（s-2）（s-2）2（s-1）‘
则丫（s）=（s-2）（s3-5s28s-4）
此时s3-5s2•8s-4s呈=0,
令Y（s）=亠也卫
（s-2）3（s-1）
则相应的拉普拉斯变换特解为对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为
（2）f（x）=e'xp（x）（其中p（x）=pm+P2X2+…+pnxn）.
例：
求微分方程y-5y6y=xe2x的特解。
解：
设丫（s）二L[y（t）],令初始条件为零,
1
（s-2）
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有（S2-5s6）Y（s）
此时s2-5s+6
sm.M，
CsD
令丫（沪爲2s2_5s6,
相应的拉普拉斯变换特解为y”（s）=AsB1
（s-2）2（s-2）2
1-s1
T=—
s_2（s_2）2
1
（s-2）3
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为
（3）f（x）二sinx>f（x）二cosx
例：
求解微分方程y"，4y'，5y二sin2x的特解⑺。
解：
设丫（s）=L[y（t）],令初始条件为零,
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有（s2•4s•5）Y（s）-2,
s+4
令y（s）=甞2CSD,
s2+4s2_4s+5
相应的拉普拉斯变换特解为Y“（s）二As汩二盼-1）s2十4—65（s2+4）
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为
3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广
对于n阶常系数线性齐次微分方程y（n）•印yW…•an■any=0满足以下两个引理⑹
引理1n阶常系数线性齐次方程的解（积分曲线）具有平移不变性。
也就是说，若y=y（x）为n
阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c,y二y（x•c）也是n阶常系数线性齐次方程的
解。
引理2若y=y（x,xo，y°）为n阶常系数线性齐次方程的一个解，y=y（x,x°,yo）经平移后变为y=y（x-Xo,O,y°）,则y=y（x-x°,O,yo）也是n阶常系数线性齐次方程的解。
fl3///
Ii//；乙/
下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程y（3）•pyqyr^=o满足在任
、、■*/i11r~1-~"
意点的初始条件
y（x））=y°,y'（x0）二丫。
1』^。
）=y。
2的解。
设方程的解为y=y（x,x。
，y°）三y（x-x°,0,y°）,这样，我们便将初值点平移到了x-x°=0点，于
是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。
令y（t）二y（x-x°,0,y°）（其中t=x-xJ,
J.2/.
设Y（s）二L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到L[y（3）-py''qy'ry]=0,
由拉普拉斯变换的导数性质L[f'⑴]二sF（s）-f（0）以及
高阶导数推广L[fn（t）]=snF（s）-sn1f（0）-sn’f'（0）--sf2（0）-f（t（0）可得，
结合初始条件，有
整理可得Y（s）二2[（s2psq）y°（sply。
1y。
2].
s+ps+qs+r
对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得
进行变量还原，便得到所求初值问题的解为
例：
求解二阶常系数线性齐次方程y：
y=0，该方程满足初始条件
n'n
y（4）"y（4）
解：
首先转化初值条件y=y（x「，1）三y（x,0,1）=y（t）（其中t=x）•
444
设Y（s）二L［y（t）］,对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到L［y''y］=0,
即[s2Y（s）-s1]Y（s）=0.
由拉普拉斯变换函数表L丄［2s2］=cost可知Ljr「］=cost,
由拉普拉斯变换函数表L丄［2z2］=sin^t,可知「［一］=sint,
S2S2+1
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y（t）二L」［Y（s）］二cost-sint.
变量还原，得到原初值问题的解为
4拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用
4.1齐次与非齐次偏微分方程
例：
求解齐次偏微分方程
u「3y.
[2]
解：
对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得这样，原定解问题转化为含参数s的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:
111x2
由拉普拉斯变换函数表L—山邛,可知L"［—］
ss
33
由拉普拉斯变换函数表「［*］=¥,可知-丫2,亡［弓］=3丫.
s3s2s
方程两边取反演，从而原定解问题的解为例：
求解非齐次偏微分方程
_2_2
.:
t2
=U=a2-^g,（g为常数），（x0,t0）,
x
[2]
解：
对该问题关于t取拉普拉斯变换，，并利用微分性质及初始条件可得
这样，原定解问题转化为含参数s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:
可得&=0,C2二一g3
s
方程两边取反演，从而原定解问题的解为
（或）
4.2有界与无界冋题
例：
求解有界偏微分方程
「2-2
du2◎u
—=a^^,（0ex£丨，t>0）,孜cx
制X」=0,u
x丄
c：
=u
2=0,
t=0;t
「（t）,
=0.
t卫
[2]
解：
对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，记
Ci二_Q
Ji将边界条件Ux士二（s）代入上式，可得（s）=C1eaC2ea
因此C]--C2
牧s）
siJi'
aa
e-e
从而
并结合延迟定理L‘[e吧F（s）]=f（t-to）,
其中u（a）为单位阶跃函数,
即u（a）
QacO,
1,a=0.
例：
求解无界偏微分方程
—=a2^2^-hu,（h为常数），（x〉0,t：
＞0）,
盘cx
*u|x」=Uo（常数），
By=°.
[[2]
解：
对该问题关于t取拉普拉斯变换，记
这样，原定界问题转化为含参数S的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:
解此微分方程可得通解为
兀__壬
U（x,s）yeaC2ea,其中g,c?
为常数。
将边界条件limU=o代入上式，可得c^O.
x-^C
因此，c2=—.
s
二,s-lhx
从而U（x,t）二L‘[U（x,s）]二L‘[U0e—a']，
s
由拉普拉斯变换函数表
L，[1]=1，可知LpU°]=U0。
ss
由拉普拉斯变换函数表
Lple"]=erfc（号）=-^J
s2t、二芦
2at
,"1
由导数性质L[f（t）HsF（s）-f（0）可知f（t）=L[sea],s
x-
亦即L1[e^SHf'（t）二
x
2at二t
由位移性质L[e」f（t）]=F（s…）,
严x_x2
可知L^e一丁X]x「e乔€』t
2aUM
由卷积定理Llfmf2（t）]二F.j（s）F2（s）,
s-h
x
可得U（x,t）二L1[Uo]LJ[^^],
s
2a
最后可得该定解问题的解为
5综合比较，归纳总结
从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点[1~13]:
⑴拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。
但拉普拉斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换。
而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；
⑵用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同时考虑初始条件，求出的结果便是需要的特解。
而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确定任意常数，从而求出特解的过程比较复杂；
⑶零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。
而在微分方程的一
般解法中，不会因此而有任何简化；
⑷用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是非常方便的。
但微
■*a.jfJ|
分方程的一般解法并没有简化；
⑸用拉普拉斯变换方法求解微分方程，对方程的系数可变与否、对区域有界与否、对方程和边
I7
界条件齐次与否并无特殊关系。
而在微分方程的一般解法中，会遇到很多困难；
⑹用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。
但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；
⑺拉普拉斯变换可以使解n个自变量偏微分方程的问题，转化为解n-1个自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分方程的一般解法更为简单、直接；
⑻比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算，要求相对较低。
相比之下，算子法
要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解，对初学者而言要求相对较高，然而算子法
却具备比较系数法和常数变易法无法具备的应用条件，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易
行的特点。
结束语
通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是一种特别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路
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