高考数学总练习课后强化功课第九章第三节点直线平面的位置文档格式.docx

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A、AB∥CD

B、AB与CD异面

C、AB与CD相交

D、AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

[答案]D

[解析]假设三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，那么直线AB与CD相交，否那么直线AB与CD平行；

假设不共面，那么直线AB与CD是异面直线，应选D.

4、（文）（2017·

北京市西城区模拟）正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）

A、3条B、4条

C、6条D、8条

[答案]C

[解析]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1有公共点A的和有公共点C1的各有3条，其余6条所在正方体的面与AC1均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC1都异面，应选C.

（理）平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）

A、3B、4

C、5D、6

[解析]如上图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条、

5、（文）（2017·

中山模拟）设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如下图），使得截面四边形是平行四边形，那么这样的平面α

（）

A、不存在

B、只有1个

C、恰有4个

D、有无数多个

[解析]解法一：

在四棱锥P－ABCD的侧棱PA、PB上各取一点E、F，在侧棱PC上取一点M，在侧面PCD内过M作MN∥EF，在平面PCD内沿侧棱平行移动直线MN，使其与两侧棱交点M、N之间线段长MN＝EF，那么截面MNEF截得的四边形为平行四边形，所有与平面MNEF平行的平面截四棱锥所得的四边形均为平行四边形，应选D.

解法二：

作一个平行四边形A1B1C1D1，在平面A1B1C1D1外任取一点P得到四棱锥P－A1B1C1D1，在直线PA1、PB1、PC1、PD1上任取点A、B、C、D，使ABCD不是平行四边形，那么四棱锥P－ABCD符合题意，所有与平面A1B1C1D1平行的平面截四棱锥均可得到一个平行四边形、

（理）如下图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，那么这四个点不共面的一个图是（）

[解析]A中，PS∥QR；

B中如下图可知此四点共面；

C中PS∥QR；

D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上，应选D.

6、（2017·

浙江省嘉兴市质检）如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，那么以下判断错误的选项是（）

A、MN与CC1垂直B、MN与AC垂直

C、MN与BD平行D、MN与A1B1平行

[解析]由于C1D1与A1B1平行，MN与C1D1是异面直线，所以MN与A1B1是异面直线，应选项D错误、

[点评]取CC1中点P，那么MP∥BC，NP∥C1D1，∵CC1⊥BC，CC1⊥C1D1，∴CC1⊥MP，CC1⊥NP，∴CC1⊥平面MNP，∴CC1⊥MN，∴A正确；

取CD中点Q，BC中点R，那么NQ綊

D1D，MR綊

CC1，∵CC1綊D1D，∴NQ綊MR，∴MN∥QR，∵QR∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥MN，∴B正确；

∵MN∥QR，QR∥BD，∴MN∥BD，∴C正确、

7、（2017·

金华模拟）在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么使直线GH、MN是异面直线的图形有________、（填上所有正确答案的序号）

[答案]②④

[解析]图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，∴M∉平面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，

因此GH与MN异面、

所以图②、④中GH与MN异面、

8、（2017·

浙江杭州）a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，那么a、b在α上的射影可能是：

①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点、那么在上面的结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）

[答案]①②④

[解析]设与两异面直线都平行的平面为α，β⊥α，那么a、b在β内的射影为两条平行直线，∴①正确；

当a⊥α时，a、b在α内的射影为一条直线及线外一点，∴④正确；

适当调整角度可以使a在α内的射影a′与b垂直，从而a′与b在α内的射影b′垂直，无论什么情况下，两直线的射影都不可能重合、

9、（2017·

南京模拟）如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝

，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，那么当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________、

[答案]

[解析]将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面α上，在平面α内AC1与BB1相交，那么交点即为M点，易求BM＝1，∴AM＝

，MC1＝2

，

又在棱柱中，AC1＝

∴cos∠AMC1＝

＝

＝－

∴∠AMC1＝120°

∴S△AMC1＝

AM·

MC1·

sin∠AMC1

×

2

.

10、如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，假设A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置、

[解析]如下图，在正方体AC1中，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点、同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点、∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ，又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，

∴R∈平面A1C1CA，又R∈平面BDEF，∴R∈PQ，

∴R是A1C与PQ的交点、

11.a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，以下命题中正确的选项是（）

A、a与b异面，b与c异面⇒a与c异面

B、a与b相交，b与c相交⇒a与c相交

C、α∥β，β∥γ⇒α∥γ

D、a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交

[解析]如图

（1），正方体ABCD－A1B1C1D1中，a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错；

同样在图

（2）的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错；

如图（3），α∩β＝c，a∥c，那么a与b不相交，故D错、

12、如下图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，那么在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）

A、相交B、平行

C、异面D、重合

[解析]将表面展开图折起还原为正方体如下图，故MN与PB异面、

13、（2017·

山西太原调研）平面α和不重合的两条直线m、n，以下选项正确的选项是（）

A、如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B、如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线

C、如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D、如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α

[解析]如图

（1）可知A错；

如图

（2）可知B错；

如图（3），m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错、

∵n∥α，∴n与α无公共点，∵m⊂α，∴n与m无公共点，又m、n共面，∴m∥n，应选C.

14、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上、

（1）求证：

平面EFG∥平面SDB；

（2）求证：

PE⊥AC.

[解析]

（1）∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，

∴EF∥SB，EG∥BD.

∵EF⃘平面SBD，EG⃘平面SBD，

∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.

∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.

（2）∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.

又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.

又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.

∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.

15.（2017·

江苏通州调研）如下图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝

，点E在CD上移动、

（1）求三棱锥E－PAB的体积；

（2）试在PD上找一点F，使得PE⊥AF，并证明你的结论、

[解析]

（1）∵PA⊥平面ABCD，

∴VE－PAB＝VP－ABE＝

S△ABE·

PA

1×

1＝

（2）F是PD的中点

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA

∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD

∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD

∵F是PD上的点，AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC

∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD

又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC

∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.

1、将正方体纸盒展开如下图所示，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）

A、平行B、垂直

C、相交成60°

角D、异面且成60°

角

[解析]折起后如下图，显然AB与CD异面，∵AM∥CD，△AMB为正三角形，∴∠MAB＝60°

2、（2017·

四川文，6）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是（）

A、l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B、l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C、l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D、l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

[解析]举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；

由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的、应选B.

全国卷Ⅰ文，6）直三棱柱ABC－A1B1C1中，假设∠BAC＝90°

，AB＝AC＝AA1，那么异面直线BA1与AC1所成的角等于（）

A、30°

B、45°

C、60°

D、90°

[解析]将原来的直三棱柱补成一个正方体ABDC－A1B1D1C1，

∵AC1∥BD1，

∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角、

∵△A1BD1为正三角形，

∴∠A1BD1＝60°

[点评]异面直线所成的角是重点考查的一个内容，难点在于寻找异面直线的平行线，此题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角、

4.（2017·

江西文，11）如下图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出以下四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行、

其中真命题是（）

A、②③④B、①③④

C、①②④D、①②③

[解析]∵点M不在B1C1上，∴由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M，设此平面与AA1交点为N，那么N为AA1中点，在平面ABB1A1内，B1N与BA必相交，设交点为Q，那么QM与B1C1一定不平行，∴QM与AB、B1C1都相交，由作法知，这样的直线QM有且仅有一条，∴①真；

∵AB∥A1B1，A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1，∵过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一，

∴过M与AB、B1C1都垂直的直线唯一，∴②真；

过M作ME∥DC，交CC1于E，∵DC∥AB，∴ME∥AB；

过M作MF∥A1D1，交AA1于F，∵A1D1∥B1C1，∴MF∥B1C1，∴AB与B1C1都与平面MEF平行，由作法知，这样的平面MEF有且仅有一个，应选C.