用雅可比迭代法判断方程组收敛性.docx
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实验名称
通过雅可比迭代法判断收敛性。
实验目的
通过实验进一步掌握雅可比迭代法的基本思想，计算步骤，并能够灵活的加以应用。
研究用雅可比迭代法判断方程组的收敛性，并解答下题：
已知矩阵
，，
编程序计算，验证方程组的Jacobi迭代格式是收敛的，的Jacobi是不收敛的。
实验内容（算法、程序、步骤和方法）
算法：
给定初始值，用雅克比迭代法求解线性方程组，并生成序列，求不超过误差界的近似解，并判断收敛性。
输入三维非奇异矩阵A=[12-2;111;221];三维向量b=[-311]';给定初始值p,误差界delta,迭代最高次数，P=[232]';delta=0.001;max1=100。
程序：
functionX=jacobi（A,b,P,delta,max1）
%A是n维非奇异阵。
%b是n维向量。
%P是初值。
%delta是误差界。
%max1是给定的迭代最高次数。
%X为所求的方程组AX=b的近似解。
N=length（b）;
fork=1:
max1
forj=1:
N
X（j）=（b（j）-A（j,[1:
j-1,j+1:
N]）*P（[1:
j-1,j+1:
N]））/A（j,j）;
end
err=abs（norm（X'-P））;
P=X'；
if（errbreak
end
end
X=X';k,err;
A=[12-2;111;221];
b=[-311]';
P=[232]';
max1=100;
delta=0.001;
N=length（b）;
fork=1:
max1
forj=1:
N
X（j）=（b（j）-A（j,[1:
j-1,j+1:
N]）*P（[1:
j-1,j+1:
N]））/A（j,j）;
end
err=abs（norm（X'-P））;
P=X';
if（errbreak
end
end
X=X',k,err;
X=
1
-1
1
k=
4
同样输入三维非奇异矩阵A=[2-11;222;-1-12];三维向量b=[422]';给定初始值p,误差界delta,迭代最高次数，P=[232]';delta=0.001;max1=20。
程序:
functionX=jacobi（A,b,P,delta,max1）
%A是n维非奇异阵。
%b是n维向量。
%P是初值。
%delta是误差界。
%max1是给定的迭代最高次数。
%X为所求的方程组AX=b的近似解。
N=length（b）;
fork=1:
max1
forj=1:
N
X（j）=（b（j）-A（j,[1:
j-1,j+1:
N]）*P（[1:
j-1,j+1:
N]））/A（j,j）;
end
err=abs（norm（X'-P））;
P=X'；
if（errbreak
end
end
X=X';k,err;
A=[2-11;222;-1-12];
b=[422]';
P=[232]';
max1=20;
delta=0.001;
N=length（b）;
fork=1:
max1
forj=1:
N
X（j）=（b（j）-A（j,[1:
j-1,j+1:
N]）*P（[1:
j-1,j+1:
N]））/A（j,j）;
end
err=abs（norm（X'-P））;
P=X';
if（errbreak
end
end
X=X',k,err;
X=
17.7638
28.8023
2.8626
k=
20
实验内容（算法、程序、步骤和方法）
结论
（结果）
在中得出k=4小于最高迭代次数100，所以收敛，而在中得出的k=20等于最高迭代次数20，所以不收敛。
即方程组的Jacobi迭代格式是收敛的，的Jacobi是不收敛的。
小结（对本次实验的思考和建议）
通过雅可比迭代法最终我们可以判断出方程组的收敛性，但此方法并不简单，需要我们掌握相关的迭代法则，及基本思想和算法步骤，并能对之加以灵活应用。
从此实验中通过雅可比迭代法我们可以清楚地得出方程组的Jacobi迭代格式是收敛的，的Jacobi是不收敛的。
备注或说明（成功或失败的原因、实验后的心得体会）
要想成功地完成此实验，不仅需要对与雅可比迭代法的相关知识熟悉掌握外，还必须要有不骄不躁，坚持耐心的精神。
通过此实验我们可以看出雅可比迭代法在实际中的应用是非常广泛且很有用处的，所以我们需要对它的基本算法等加以牢固掌握以可以在实际中灵活运用。
指导教师评分（包括对实验的预习、操作和结果的综合评分）：
指导教师总评：
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