青岛版小学数学六年级下册《圆的面积》教学实录与评析docWord文档格式.docx
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你说的这点很关键，必须保证石头和大象的重量相等，这样称出的石头的重量就是大象的重量。
那曹冲为什么不直接称大象呢?
因为大象太重，不能直接称出大象的重量。
是呀，在当时条件下，无法直接称出大象的重量，所以曹冲才想出用石头代替大象的方法。
其实这也是我们数学学习中经常要用到的“转化”的方法。
也就是当我们遇到新问题，而不能直接解决时。
可以把它转化成用已有的知识和方法能解决的问题。
[评析：
麻老师与学生轻松“随意”的课前谈话，一方面，恰到好处地放松了学生的紧张心情，为课堂教学做好了心理准备：
另一方面，用“曹冲称象”的故事．唤起学生已有的经验。
教师设计了“怎么不直接称大象的重量?
”这一关键问题，抓住学生回答中的“用石头代替大象"
‘‘石头的重量和大象的重量相等”等要点。
把学生经验中的“转化”思想激活，巧妙地为新课的教学做好了思想方法上的准备。
]
教学过程：
一、开门见山．揭示课题
（出示一个圆）大家看，这是什么图形?
圆形。
我们已经认识了圆，学习了圆的周长，这节课我们一起来学习圆的面积。
（板书课题：
圆的面积）
采用开门见山的的引入方式，基于以下考虑：
（1）关于平面图形的学习，学生已经积累了丰富的经验．熟悉了研究平面图形的思路“认识特征——周长——面积”．有关圆的知识的学习思路同样如此。
因此这样设计有利于形成学生研究问题的思路，有利于把新知识纳入已有的认知结构。
（2）学生已经积累了有关平面图形面积的知识和方法，设计这样的数学情景．有利于知识的迁移。
（3）四十分钟的课堂，学生要“经历”前人历尽艰辛推导圆的面积计算公式的历程，这样设计简洁明快．结构紧凑，能保证把过程性目标落实到位。
二、第一次探究。
明确思路。
体会“转化”的数学思想方法
请你想一想，什么是圆的面积呢?
圆的大小就是圆的面积。
就是说圆所占平面的大小就是圆的面积。
那怎么求圆的面积呢?
（学生沉默）大家好像遇到了困难，请你在大脑中搜索一下，以前我们研究一个图形的面积时．用到过哪些好的方法了?
可以把新图形转化成已学过的图形，比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。
那圆能不能转化成我们学过的图形呢?
我们可以试一试。
请大家利用手中的圆纸片和准备的工具在小组内研究研究。
（学生活动，教师巡视。
）
[评析：
“圆”作为一种由曲线围成的图形，与学生头脑中熟悉的由直线段围成的图形（如长方形、平行四边形等）差别比较大，因此当麻老师提出“怎么求圆的面积呢?
”，学生感到很茫然。
此时。
学生最渴望得到老师的指点。
作为教师，如何施展自己的“点金”术，取决于教师的教学理念。
在这里，麻老师没有直截了当地讲“方法”．而是从培养学生的解题能力入手，引导学生从头脑里检索已有的知识和方法：
“以前我们研究一个图形时。
用到过哪些好的方法了?
”这样设计，既在学生迷茫时指明了思考的方向和方法，又让学生把“圆”这个看似特殊的图形（用曲线围成的图形）与以前学过的图形（用直线段围成的图形）有机地联系起来了，沟通了知识之间的联系。
促成了迁移。
大家请安静，刚才老师发现有的小组已经有想法了。
我看你们小组的想法就很好．谁代表小组上来说一说?
大家认真听．看看他们是怎么想的?
生1：
我们把圆纸片对折得到4个扇形．求出二个扇形的面积，再乘4就能得到圆的面积。
大家觉得这样行吗?
生2：
你们怎么求扇形的面积?
不会求。
生3：
扇形的面积不会求，但是扇形像我们学过的三角形。
把扇形当成三角形求出面积可以吗?
生4：
不行．这样求出的面积比圆的面积小。
怎样让扇形和三角形的面积接近一些?
（把表示1／4个圆的扇形纸贴在黑板上）一会儿可以继续研究。
虽然这个小组折出的扇形不太像三角形。
可老师觉得这种方法给了我们一个很重要的启示，那就是他们想把圆通过折一折转化成学过的三角形来求出圆的面积（板书：
折一折）。
我看你们的想法和他们不一样，谁代表你们组说一说?
我们想把圆沿着半径剪成4个扇形．把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。
多有创意的想法呀，这个小组先把圆剪成4份，又重新拼成了新的图形（板书：
剪拼），求出这个图形的面积也就知道了圆的面积（把学生拼的图形贴在黑板上）。
这个小组说他们拼成了平行四边形，大家觉得像吗?
不像。
师：
怎么让拼成的图形更像平行四边形．也可以再研究。
现在，同学们有了两种思路，一种是把圆折一折想转化成三角形，还有一种是想通过剪拼把圆转化成平行四边形．你们发现这两种方法的共同点了吗?
生：
都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积。
说得太好了!
抓住了问题的关键。
（板书：
转化）
通过第一次探究，学生产生了两种很有价值的思路。
即通过折一折，把圆转化
成近似的三角形：
通过剪拼把圆转化成近似的平行四边形。
教师设计了“你们发现这两种方法的共同点了吗?
”这一关键问题，旨在引导学生通过回顾反思，达到渗透“转化”这一数学思想方法的目的。
三、第二次探究。
明确方法。
体验“极限思想”
我发现一个问题。
不管是折成的三角形．还是剪拼成的平行四边形都不是很像．怎么才能更像呢，这就是下面要研究的问题。
请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。
小组合作．教师巡视指导。
各个小组都研究出结果了，谁想先来展示一下?
请你们小组先说。
我们把圆对折平均分成16份，折出的形状很像是三角形。
用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。
为什么要折这么多份?
因为折成4份的话，折出的形状是扇形．和三角形相差太大。
折的份数越多．折出的形状越像三角形。
你们同意吗?
这就是把圆折成16份时其中的一份，（贴在黑板上）和刚才平均分成4份中的一份相比，确实像三角形了。
如果想让折出的形状更接近三角形，怎么办?
可以继续折纸，把圆平均分的份数再多一些．分成32份。
你继续折给大家看看。
（学生折起来很费劲）看来同学们再继续折纸有困难了．老师在电脑上给大家演示一下。
这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状，（课件演示“正十六边形”）这一份看起来像是三角形了。
现在我们再把它平均分成32份，有什么变化?
（课件演示正32边形，并突出其中一份的形状）
其中的一份基本上是三角形了。
这就是把圆平均分成32份时其。
中的一份，（贴在黑板上）看起来很接近三角形了。
如果分的份数再多呢?
请大家闭上眼睛想象一下，如果把圆平均分成64份、128份……分的份数越来越多．那其中的一份会是什么形状?
分的份数越多。
其中的一份越像三角形。
是这样的吗?
大家请看屏幕．把圆平均分成4份．其中的一份和三角形差得确实比较大。
请大家观察把圆继续分下去时会发生什么变化。
（利用课件从四份开始演示，分的份数逐渐增加）
（感觉很神奇）越来越接近三角形了。
和大家想的一样，把圆分的份数越多，其中的一份越接近三角形。
三角形的底可以看成这段弧．三角形的高可以看成是圆的半径。
你们会求三角形的面积吗?
三角形的面积会求了，能求出圆的面积吗?
能!
用这个小组的方法，成功地把求圆的面积转化成求三角形的面积．你们的方法真好。
有不一样的方法吗?
（一个小组迫不及待地举手想发言）请你们小组派个代表展示你们的成果。
我们把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。
这个方法还真不错，这个小组把圆剪成8份，（把这个小组的作品贴在黑板上）和刚才剪成4份拼成的图形相比，有什么变化呢?
分成8份拼成的图形比分成4份的更像平行四边形。
能让拼成的图形更接近平行四边形吗?
可以把圆分的份数再多一些。
哪个小组分的份数更多?
（教师让另一组展示自己平均分成16份后拼成的图形。
我们把圆剪成16份，拼成了平行四边形。
（把这个小组的作品贴在黑板上）
和前两次拼成的图形比，又有什么变化?
更像平行四边形了。
如果要让拼成的图形比它还接近平行四边形．怎么办?
可以继续分下去，分成32份，64份，128份……
现在如果老师让你把圆剪成128份，有什么感觉?
太麻烦了。
我们让电脑来帮忙。
大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了32份，拼成新的图形，你有什么发现呢?
（课件演示）
拼成的图形更接近于平行四边形。
如果把圆平均分成64份呢?
（课件演示）．
更接近于平行四边形了．有些像是长方形了。
把圆平均分成64份，拼成的图形有些像长方形了。
大家想象一下．如果把圆分的份数再多呢?
拼成的图形更接近长方形。
大家请看屏幕，（课件演示）把圆平均分成128份，拼成的图形看起来很像长方形了，分的份数再多呢?
简直就是长方形了。
把圆剪一剪，拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。
这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。
我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢?
面积。
求出了长方形的面积．也就求出了圆的面积，这种方法也很好。
学生沿着自主探究出来的思路继续研究时。
一方面，从直觉上认为这样继续折下去，或继续剪拼下去。
得到的图形一定会越来越像“三角形”或“平行四边形”．但最终能不能说就是“三角形”或“平行四边形”了呢?
对处于小学阶段的学生来说．此时不免有几分困惑。
在这里．麻老师有效利用学生探究出来的宝贵资源．围绕着“怎样更像”进行了一次又一次的追问．同时又引导学生在操作的基础上进行想象．再充分利用课件的优势，弥补操作与想象的不足，让学生真切地看到了“自己想象的过程”，充分地体验了“极限思想”。
四、第三次探究，深化思维。
推导公式
刚才同学们借助学具通过动手操作，都找到解决问题的方法了。
一种是把圆转化成长方形求出面积：
一种是把圆转化成三角形，得到圆的面积。
可是数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。
现在．老师想给大家提个更高的要求：
．每个小组能不能还利用刚才选择的方法，推导出圆的面积计算公式呢?
这可是一个很有挑战性的任务!
大家有没有信心完成?
有!
刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准，老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方法的示意图帮助你思考，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。
（教师按照每个小组选择的方法分发学具。
学生讨论，教师巡视指导。
在第二次探究中，学生主要是借助学具进行动手操作．明晰了求圆的面积的方法。
操作对于小学生学习数学是必不可少的手段和方法．但数学思维的特点是要进行逻辑思考和推理。
因此在这里，麻老师用下面的这段话：
“数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。
”把学生的思考推向深入。
另外，在第二次探究中，学生有的折出的图形不够规范，有的剪拼活动还没有结束，但思路和方法都已经理解到到位了。
在这种情况下，麻老师匠心独具地设计了示意图。
正确地处理了操作与思维的关系。
并用下面这样一段话“刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准．老师给大家准备了电脑上这两种方法的示意图帮助你思考。
”让学生明白了第三阶段的探究方式与方法。
这个小组迫不及待地想展示他们推导的结果了，我们一起来看看。
生1：
（剪拼法）把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形．它们的面积是相等的。
长方形的长相当于圆周长的一半．用f÷
2=wr表示，宽相当于半径．用r表示。
长方形的面积=长×
宽，圆的面积=~rxr=-31"
r2（实物投影呈现）
大家听清楚了吗?
谁愿意再起来说一说。
（教师再请一个同学说自己的想法）
（边讲边板书）老师也听明白了，把圆转化成长方形．面积是相等的。
长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长×
宽，所以圆的面积=3T／'
X／'
=--'
IT，2。
现在要求圆的面积是不是很简单了?
知道什么条件就可以求出圆的面积了?
圆的半径。
你们表现得真好!
我们再来听一听这个小组的想法。
生2：
圆的面积=c÷
32xr+2×
32=cxr+2。
你们的式子还挺复杂，能说一说每一步表示什么吗?
把圆平均分成32份，三角形的底是c÷
32．高是半径r，圆的面积=c÷
32xr÷
2×
32=CXr÷
2。
（结合学生的交流继续引导探索）c可以用2竹r表示。
2wfxr等于2w，2，2w，2除以2等于，2。
刚才两个小组推导的结果都是，2，真是条条大路通罗马呀。
圆的面积可以用S表示．圆的面积计算公式就是：
S=1T，2。
现在看来。
求圆的面积需要什么条件就可以了?
知道了半径．用仃乘半径的平方就求出了圆的面积。
第三次探究结果的交流，教师有意识地先让学生交流将圆转化成长方形求出圆的面积公式的方法．因为这种方法学生理解起来比较容易．是要求每个学生都要掌握的方法。
五、解决问题
1．师：
现在你能求出黑板上这个圆形纸片的面积了吧?
需要什么条件?
这个圆的半径是lO厘米．面积是多少呢?
请大家做在练习本上。
（请一名学生到黑板上板演。
）（教师组织交流。
2．师：
知道圆的半径可以求出圆的面积，那么，知道直径和周长能不能求出圆的面积呢?
教师出示直径为6分米的圆和周长为12．56厘米的圆．学生思考后说出求面积的方法。
即要求圆的面积必须先根据直径或周长求出圆的半径。
这些问题下一节课我们还要继续进行研究．这节课先做到这里。
因为本节课的主要目标是引导学生去经历探究圆的面积公式的过程．充分体验“转化”和“极限思想”．而有关求圆的面积的变式练习．以及利用圃的面积公式解决实际问题的练习都安排在下一节课中。
．因此。
这节课只设计了几个基本练习，目的是检验学生对圆的面积的理解和掌握程度。
六、全课总结．
时间过得很快，一节课就要结束了．大家有什么收获?
我会求圆的面积了，公式是S=，2。
这是知识上的收获．在解决问题的方法上有没有什么收获呢?
可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式。
同学们不仅学会了怎样计算圆的面积。
更重要的是大家运用转化的方法．把圆这个新图形转化成了已经学过的图形．从而求出了圆的面积。
以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。
评析：
数学学习．不仅是数学知识的学习，更重要的是数学思想与方法的学习。
课的最后。
麻老师不仅与学生一起回顾了本节课学到的数学知识。
还一起回顾了解决问题的思想方法。
这一“画龙点睛”之笔．进一步强化了本节课的设计意图。
[总评：
1．留给学生充足的探索空间。
圆的面积这节课，以往的教学思路是：
先复习已经学过的平行四边形等图形的面积公式推导过程及方法．然后设问“能不能把圆也剪拼成已经学过的图形来求它的面积呢?
”接下来的大量时间用于学生动手剪拼，重点放在圆与剪拼后的长方形的关系的理解上．最后是通过花样繁多的练习，形成学生的计算技能。
以及熟练地运用圆面积计算公式去解题。
麻老师的这节课的设计是：
首先，从已学过的有关圆的知识（圆的认识、圆的周长）入手，按照以前学习平面图形的一般思路。
按照知识的形成发展过程，引出求圆的面积的问题。
当学生面对这一问题束手无策时．引导学生从头脑中检索已有的与解决这一问题相关的知识与方法。
因为在现实生活中，在科学研究中，当你面临一个新的问题需要解决时．没有人事先为你检索好所需的知识与方法．即我们教师通常在课堂中所设计的“复习铺垫”。
所以我们这样设计是遵循了人类解决问题的一般规律。
其次，充分放手让学生去探索圆的面积计算公式。
我们认为，在探索圆的面积计算公式时。
最有价值的、最具有思维含量的地方是怎样让学生自己去想到把圆转化成已经学过的平面图形．而接下来的怎样让折出的图形更像三角形．怎样让剪拼出的图形更像平行四边形等等，都只是技术层面上的改进而已。
因此，麻老师在这一环节中。
没有告诉学生“剪拼”的方法，而是充分放手让学生去探索。
事实证明，只要有足够的时间。
学生能够探索出课堂中展示出的两种思路．而且在这一任务的驱动下．学生研究的兴趣非常浓厚，讨论得非常投入而热烈。
第三，这节课设计了三次探索．把重心放在了让学生经历探索过程，体验数学思想方法等过程性目标上．至于通过练习形成计算技能及解决实际问题的能力等都安排在以后的几个课时中去完成。
2．把基本活动经验和基本数学思想方法作为小学数学教学追求的终极目标。
数学课标修订组的专家提出了“四基”的概念。
他们认为，数学教学不仅要重视“双基”——即基础知识和基本技能，而且要重视获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本思想和基本活动经验。
圆的面积这节课的设计充分体现了这一理念。
三次探究活动，把学生推到了活动主体的位置上．把数学教学变成了数学活动的教学。
第一次探究活动，通过折一折和剪拼把圆转化成已经学过的三角形和平行四边形．得到了解决问题的思路。
然后在教师设计的“这两种方法有什么共同点?
”这一问题的引领下．通过反思体会了“转化”这一数学思想方法的妙用。
第二次探究活动，围绕着“怎样使折出的图形更像三角形”。
“使剪拼后的图形更像平行四边形”这些问题开展操作、想象活动。
充分体验了“极限思想”。
第三次探究活动，学生借助数字、字母、符号等，运用数学的思维方式进行思考．成功地推导出圆的面积计算公式。
在三次探究活动中．学生利用已有的知识和经验．进行操作、想象，进行交流与思维碰撞，他们经历过程与体验．积累了探究数学问题的经验．获得了研究数学问题的方法。
3．正确处理操作与思维的关系。
小学生的认知水平．决定了他们对许多数学知识的学习离不开操作。
但操作不是目的．要引导学生学会用数学的思维方式进行思考。
即借助数字、字母和符号等进行抽象的分析、判断和推理。
圆的面积这节课，第一次和第二次探究活动是以动手操作、直观演示为主，第三次探究活动的方式和方法不同于前两次．是要求学生摆脱动手操作．利用教师提供的示意图作为思维的支撑，用数学的思维方式进行思考。
学生在前两次探究的基础上．通过思考明确了圆与转化后的图形各部分之间的对应关系．从而推导出了圆的面积计算公式。
4．整合各种教学手段．提高课堂教学效率。
圆的面积这节课．根据教学内容的特点，根据教学目标以及学生的认知水平，将动手操作、课件演示和板书等各种教学手段有机结合．有效地促进了教学目标的达成，提高了教学效率。
如，教师在学生操作遇到困难．不能继续折下去和剪拼下去的时候．让学生进行想象。
而想象是看不见摸不着的，是内隐的，在这种情况下，为了让学生充分体会“极限思想”．教师恰到好处地利用课件的无可比拟的优势．进行直观动态的演示．让学生印证自己想象的结果，体验极限的思想。
再如，教师把学生每次探究的结果呈现在黑板上，这样学生便于直观地看到探究的过程．从而进行分析与比较：
教师把“转化”用红笔适时地进行板书，使这节课设计的出发点和归宿．也可以说是这节课的精髓直观地印在学生的头脑中：
教师把公式的推导过程板书在黑板上，起到了进一步梳理和强化探究结果的作用。
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