北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形全部教案Word文件下载.docx

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通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．

课件出示：

已知：

如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.

求证：

（1）AB＝BC＝CD＝AD；

（2）AC⊥BD.

分析：

①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等．

②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；

又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论．

学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评．

证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AD＝BC（菱形的对边相等）．

又∵AB＝AD，

∴AB＝BC＝CD＝AD.

（2）∵AB＝AD，

∴△ABD是等腰三角形．

又∵四边形ABCD是菱形，

∴OB＝OD（菱形的对角线互相平分）．

在等腰三角形ABD中，

∵OB＝OD，

∴AO⊥BD，

即AC⊥BD.

三、举例分析

例　如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD＝60°

，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．

①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°

，所以可以得到等边△ABD，BD＝6，菱形的边长也是6.

②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；

由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理可以求出OA的长度；

再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC＝2OA，求出AC的长．

解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD（菱形的四条边相等），

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），

OB＝OD＝12BD＝12×

6＝3（菱形的对角线互相平分）．

∵∠BAD＝60°

，

∴△ABD是等边三角形．

∴AB＝BD＝6.

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

OA2＋OB2＝AB2，

∴OA＝AB2－OB2＝62－32＝33.

∴AC＝2OA＝63（菱形的对角线互相平分）．

四、练习巩固

教材第4页“随堂练习”．

五、小结

1．什么叫做菱形？

2．菱形有哪些性质？

六、课外作业

教材第4～5页习题1.1第1～4题．

本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平．

第2课时　菱形的判定

1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．

2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．

4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．

菱形判定定理的证明及应用．

菱形的判定方法的综合运用．

一、复习导入

1．菱形的定义是什么？

同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？

这就是我们这节课所要研究的内容．

1．菱形的判定方法一

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．

2．菱形的判定方法二

用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．

教师转动木条，提出问题：

（1）转动木条，这个四边形总有什么特征？

（2）继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？

引导学生猜想：

当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．

你能证明你的猜想吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评．

如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.

▱ABCD是菱形．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC.

又∵AC⊥BD，

∴BD是线段AC的垂直平分线．

∴BA＝BC.

∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）．

3．菱形的判定方法三

已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？

学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：

如图，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D.

你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？

学生小组讨论交流，找到原因：

该四边形四边相等．

你能证明四边相等的四边形是菱形吗？

如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.

四边形ABCD是菱形．

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.

你能用折纸等办法得到一个菱形吗？

学生动手操作，教师巡视指导．

例　已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA＝2，OB＝1.

▱ABCD是菱形．

思考：

（1）观察题目中的数据，AB，OA，OB有什么数量关系？

（2）利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？

（3）如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？

1．教材第7页“随堂练习”．

2．教材第7页习题1.2第1题．

1．怎样判定一个四边形是菱形？

2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？

教材第7页习题1.2第2，3题．

在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．

第3课时　菱形的性质与判定的应用

1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．

2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．

菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法．

等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．

1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.

（1）求AD，DC，BC的长．

（2）对角线AC与BD有什么位置关系？

（3）若∠ADC＝120°

，求AC的长．

图①

图②

2．如图②，在▱ABCD中添加一个条件使其成为菱形．

添加方式1：

________________________________________________________________________.

添加方式2：

1．课件出示：

如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

∴∠AED＝90°

（菱形的对角线互相垂直），

DE＝12BD＝12×

10＝5（cm）（菱形的对角线互相平分）．

∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：

AE＝AD2－DE2＝132－52＝12（cm）．

∴AC＝2AE＝2×

12＝24（cm）（菱形的对角线互相平分）．

（2）S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD

＝2×

S△ABD

12×

BD×

AE

＝BD×

＝10×

12

＝120（cm2）．

注意：

学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；

对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点．

2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：

两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

为什么？

由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形．

例　（变式训练）如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12cm，AC长16cm.求：

（1）菱形的边长；

（2）菱形一条边上的高．

灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高．

同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？

教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路．

1．教材第9页“随堂练习”第1，2题．

2．教材第10页习题1.3第5题．

通过本节课的学习，你有哪些收获？

还有什么疑问？

1．教材第9页习题1.3第1～4题．

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？

请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的．

2　矩形的性质与判定

第1课时　矩形的定义和性质

1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理．

2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识．

3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值．

矩形的性质定理的理解及应用．

矩形的性质定理的应用．

课件出示教材第11页情境图，提出问题：

这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

你还能举出一些生活中矩形的例子吗？

1．探究矩形的性质定理

教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究．

（1）改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°

，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？

矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质．

（2）用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？

橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等．

（3）矩形是轴对称图形吗？

矩形是轴对称图形，它有2条对称轴．

（4）你认为矩形还具有哪些特殊性质？

矩形的四个角都是直角，对角线相等．

你能证明这些结论吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理：

矩形的四个角都是直角．

矩形的对角线相等．

2．探究直角三角形的性质定理

课件出示教材第12页图1－9，提出问题：

如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

由此你能得到怎样的结论？

学生观察、思考后发现：

AE＝12AC，BE＝12BD，BE是Rt△ABC的中线．

由此归纳直角三角形的一个性质定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

例1　如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°

，AB＝4cm，求这个矩形对角线的长．

利用矩形对角线相等且平分得到OA＝OB，由于∠AOB＝60°

，∴△AOB为等边三角形，则OA＝AB＝4cm，∴AC＝BD＝2OA＝8cm.

例2　如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：

DE＝12AC.

本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC的中点F，也可以取AC的中点G.

学生分四人小组，合作探究不同的证法．

证法一：

取BC的中点F，连接EF，DF，如图①.

∵E为AB中点，∴EF∥AC.∴∠FEB＝∠A.

∵∠A＝2∠B，∴∠FEB＝2∠B.∵DF＝12BC＝BF，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2.

∴∠1＝∠2.∴DE＝EF＝12AC.

证法二：

取AC的中点G，连接DG，EG，如图②.

∵CD是△ABC的高，

∴在Rt△ADC中，DG＝12AC＝AG.

∵E是AB的中点，∴GE∥BC.∴∠1＝∠B.

∴∠GDA＝∠A＝2∠B＝2∠1.

又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1.

∴∠2＝∠1.∴DE＝DG＝12AC.

1．教材第13页“随堂练习”．

2．如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E.求证：

AC＝CE.

要证AC＝CE，可以考虑证明∠E＝∠CAE.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，且∠CAE＝∠DAE－∠DAC.

另外一个条件是CE⊥BD，过点A作AF⊥BD于点F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE＝∠BAE－∠FAB.现在只要证明∠BAF＝∠DAC即可，而实际上，∠BAF＝∠BDA＝∠DAC，问题迎刃而解．

1．什么叫矩形？

2．矩形有哪些性质？

3．矩形有几条对称轴？

教材第13～14页习题1.4第1～4题．

本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，提高学生的探索创新思维和创造能力．首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望．教学过程中，先利用平行四边形活动框架，让学生通过观察、测量、思考、讨论等活动，得出矩形的性质．在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识．再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性、挑战性以及推理的严谨性．第2课时　矩形的判定

1．理解和掌握矩形的判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力．

3．通过对比已学的知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法．

理解和掌握矩形的判定定理．

矩形的判定定理的应用．

课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形活动框架．用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？

1．矩形的判定定理1

根据上面的实践活动提出问题：

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？

由此你能得到一个怎样的猜想？

学生讨论交流后回答，教师点评，并归纳：

矩形的判定定理1：

对角线相等的平行四边形是矩形．

矩形的判定定理1的证明过程：

（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；

（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；

（3）请学生交流大体思路；

（4）用规范的数学语言写出证明过程；

（5）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．

2．矩形的判定定理2

我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？

请证明你的结论，并与同伴交流．

学生讨论交流后回答，教师点评，并引导学生归纳：

矩形的判定定理2：

有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形的判定定理2的证明过程：

例1　实际问题：

（1）如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？

（2）如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？

（3）如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？

学生分小组讨论后回答，教师点评，并总结：

先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平行四边形是矩形”得证．

例2　如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．

1．教材第16页“随堂练习”．

2.已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,CM∥BD，DM∥AC.

四边形OCMD是矩形．

1．通过本节课的学习，你有什么收获？

2．矩形的判定定理有哪些？

教材第16页习题1.5第1～3题．

对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华．课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急．此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法．还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生．

第3课时　矩形的性质与判定的应用

1．能够运用矩形的性质定理和判定定理解决问题．

2．经历矩形的性质与判定的应用过程，发展学生的推理论证能力．

3．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学的严谨性．

矩形的性质定理与判定定理的应用．

灵活地运用矩形的性质定理与判定定理解决问题．

1．如图①，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°

，AB＝2.5cm，则∠DAO＝__________，AC＝__________cm，S矩形ABCD＝__________cm2.

2.如图②，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形．

如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．

学生小组合作完成本题的求解，教师点评并板书：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝BO＝DO＝12BD（矩形的对角线相等且互相平分），

∠BAD＝90°

（矩形的四个角都是直角）．

∵ED＝3BE，

∴BE＝OE.

又∵AE⊥BD，

∴AB＝AO.

∴AB＝AO＝BO.

即△ABO是等边三角形．

∴∠ABO＝60°

.

∴∠ADB＝90°

－∠ABO＝30°

在Rt△AED中，

∵∠ADE＝30°

∴AE＝12AD＝12×

6＝3.

本题的解法不唯一，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己不同的意见．

例　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：

四边形ADCE是矩形．

∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，

∴∠CAD＝12∠BAC，∠CAN＝12∠CAM.

∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN

＝12（∠BAC＋∠CAM）

＝12×

180°

＝90°

在△ABC中，

∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC.

∴∠ADC＝90°

又∵CE⊥AN，

∴∠CEA＝90°

∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．

1．在上一题中，条件不变，连接DE，交AC于点F（如图①）．

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．

（2）线段DF与AB有怎样的关系？

请证明你的结论．

2．如图②，四边形ABCD是由两个全等的等边△ABD和△CBD组成，点M，N分别是BC和AD的中点．求证：

四边形BMDN是矩形．

通过本节课的学习，你有什么收获？

还有哪些疑问？

教材第18～19页习题1.6第1～5题．

本课时，是综合运用矩形的性质定理和判定定理，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法