北京四中新高一入学分班考试数学试题真题含详细解析8.docx
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北京四中新高一入学分班考试数学试题真题含详细解析8
2019 年北京四中新高一入学分班考试数学试题 -真题
2019.8
姓名学校成绩
一、选择题（本大题共 10 小题，共 20 分）
1.如图，坐标平面上有一顶点为 A 的抛物线，此抛物线与方程式𝑦 = 2的图形交于 B、C 两点，△ 𝐴𝐵𝐶
为正三角形．若 A 点坐标为（−3,0），则此抛物线与 y 轴的交点坐标为何？
（）
A. （0, 9）B. （0, 27）C. （0,9）D. （0,19）
22
第 1 题图第 2 题图
2.已知锐角∠𝐴𝑂𝐵，如图，
⏜
⏜
（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作𝑃𝑄，交射线 OB 于点 D，连接 CD；
（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交𝑃𝑄于点 M，N；
（3）连接 OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A. ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐶𝑂𝐷
C. 𝑀𝑁//𝐶𝐷
B. 若𝑂𝑀 = 𝑀𝑁.则∠𝐴𝑂𝐵 = 20°
D. 𝑀𝑁 = 3𝐶𝐷
3.如图，直线𝑚 ⊥ 𝑛，在某平面直角坐标系中，x 轴//𝑚，y 轴//𝑛，点 A 的坐标为（−4,2），点 B 的坐标
为（2, −4），则坐标原点为（）
A. 𝑂1
C. 𝑂3
B. 𝑂2
D. 𝑂4
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4.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动
员起跳后的竖直高度𝑦（单位：
𝑚）与水平距离𝑥（单位：
𝑚）近似满足函数关系𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐（𝑎 ≠ 0）.
如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳
后飞行到最高点时，水平距离为（）
A. 10mB. 15mC. 20mD. 22.5𝑚
第 4 题图第 5 题图
5.如图，坐标平面上，二次函数𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 𝑘的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其
顶点为 D，且𝑘 > 0.
𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐷的面积比为 1：
4，则 k 值为何？
（）
A. 1B.
1 4 4
2 3 5
6.小苏和小林在如图 1 所示的跑道上进行4 × 50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离𝑦（单
位：
𝑚）与跑步时间𝑡（单位：
𝑠）的对应关系如图 2 所示．下列叙述正确的是（）
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小苏前 15s 跑过的路程大于小林前 15s 跑过的路程
D. 小林在跑最后 100m 的过程中，与小苏相遇 2 次
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7.一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型
A 类
B 类
C 类
办卡费用（元）
50
200
400
每次游泳收费（元）
25
20
15
例如，购买 A 类会员年卡，一年内游泳 20 次，消费50 + 25 × 20 = 550元.若一年内在该游泳馆游泳
的次数介于45 ∼ 55次之间，则最省钱的方式为（）
A. 购买 A 类会员年卡
C. 购买 C 类会员年卡
B. 购买 B 类会员年卡
D. 不购买会员年卡
8.一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示，通道由在同一平面内的 AB，BC，CA，OA，OB，OC 组成.为
记录寻宝者的行进路线，在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为 x，寻宝者
与定位仪器之间的距离为 y，若寻宝者匀速行进，且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，
则寻宝者的行进路线可能为（）
A. 𝐴 → 𝑂 → 𝐵B. 𝐵 → 𝐴 → 𝐶C. 𝐵 → 𝑂 → 𝐶D. 𝐶 → 𝐵 → 𝑂
9.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这
两种方式中选择一种，且去程有 15 人搭乘缆车，回程有 10 人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费
为 4100 元，则此旅行团共有多少人？
（）
参观方式
去程及回程均搭乘缆车
单程搭乘缆车，单程步行
缆车费用
300 元
200 元
A. 16B. 19C. 22D. 25
10. 某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单
位：
小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
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时间 t
人数
学生类型
男
性别
0 ≤ 𝑡 < 10 10 ≤ 𝑡 < 20 20 ≤ 𝑡 < 30 30 ≤ 𝑡 < 40 𝑡 ≥ 40
7 31 25 30 4
女
初中
8 29
25
26
36
32
44
8
11
学段
高中
下面有四个推断：
①这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间
②这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间
③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）
11. 在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形
ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；
②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；
③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；
④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形．
所有正确结论的序号是______．
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12. 某公园划船项目收费标准如下：
船型两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90 100 130 150
某班 18 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，则租船的总费用最低为____元．
13. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：
直线 l 和 l 外一点𝑃. （如图1）
求作：
直线 l 的垂线，使它经过点 P．
作法：
如图 2
①在直线 l 上任取两点 A，B；
②分别以点 A，B 为圆心，AP，BP 长为半径作弧，
两弧相交于点 Q；
③作直线 PQ．
所以直线 PQ 就是所求的垂线．
请回答：
该作图的依据是．
14. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点𝑃（𝑥, 𝑦），我们把点𝑃′（−𝑦 + 1, 𝑥 + 1）叫做点 P 伴随点．已知点𝐴1的
伴随点为𝐴2，点𝐴2的伴随点为𝐴3，点𝐴3的伴随点为𝐴4，…，这样依次得到点𝐴1，𝐴2，𝐴3，…，𝐴𝑛，
….若点𝐴1的坐标为（3,1），则点𝐴3的坐标为______，点𝐴2014的坐标为______；若点𝐴1的坐标为
（𝑎, 𝑏），对于任意的正整数 n，点𝐴𝑛均在 x 轴上方，则 a，b 应满足的条件为______．
15. 在平面直角坐标系 xO y 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点𝐴（0,4），点 B 是 x 轴
正半轴上的整点，记△ 𝐴𝑂𝐵内部（不包括边界）的整点个数为 m.当 m= 3时，点 B 的横坐标的所有可能
值是；当点 B 的横坐标为 4 n（n 为正整数）时，m=________（用含 n 的代数式表示．）
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1
16. 在下表中，我们把第 i 行第 j 列的数记为𝑎𝑖,j（其中 i，j 都是不大于 5 的正整数），对于表中的每个数𝑎𝑖,j
规定如下：
当 i≥ j 时，𝑎𝑖,j= 1；当 i< j 时，𝑎𝑖,j= 0.例如：
当 i= 2 ，j= 1时，𝑎𝑖,𝑗 = a2，= 1.按此规
定，a 1,3 =______；表中的 25 个数中，共有_____个 1；计算 a 1,1· 𝑎𝑖 ,1 + a 1,2· 𝑎𝑖 ,2 + a 1,3· 𝑎𝑖, 3 +
a 1,4 ·𝑎𝑖,4 + a1，5· 𝑎𝑖,5 的值为________．
a1,1
a2,1
a3,1
a4,1
a5,1
a1,2
a2,2
a3,2
a4,2
a5,2
a1,3
a2,3
a3,3
a4,3
a5,3
a1,4
a2,4
a3,4
a4,4
a5,4
a1,5
a2,5
a3,5
a4,5
a5,5
17. 阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：
在矩形 ABCD 中，AD= 8𝑐𝑚，AB= 6𝑐𝑚.现有一动点 P 按下列方式在
矩形内运动：
它从 A 点出发，沿着与 AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就
会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运
动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着与 BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着
与 CD 边夹角为45°的方向作直线运动… …如图 1 所示．问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，
P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少．
小贝的思考是这样开始的：
如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A 1 B 1 CD.由轴
对称的知识，发现 P 2 P 3 = P 2 E，P 1 A= P 1 E．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1） P 点第一次与 D 点重合前与边相碰________次；P 点从 A
点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是________cm；
（2）进一步探究：
改变矩形 ABCD 中 AD，AB 的长，且满足 AD> AB.动点 P 从 A 点出发，按照阅读
材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点
第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB∶ AD 的值为________．
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三、解答题（本大题共 10 小题，共 56 分）
18. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40 的
国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
𝑎.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组：
30 ≤ 𝑥 < 40，40 ≤ 𝑥 < 50，50 ≤ 𝑥 < 60，
60 ≤ 𝑥 < 70，70 ≤ 𝑥 < 80，80 ≤ 𝑥 < 90，90 ≤ 𝑥 ≤ 100）；
𝑏.国家创新指数得分在60 ≤ 𝑥 < 70这一组的是：
61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5
𝑐. 40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
𝑑.中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国
家所对应的点位于虚线𝑙1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保
留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新
型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成
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”
小康社会 的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
19. 小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成 4 组，第 i 组有𝑥𝑖首，𝑖 = 1，2，3，4；
②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（𝑖 + 1）天背诵第二遍，第（𝑖 + 3）天背诵第三遍，三遍后完
成背诵，其它天无需背诵，𝑖 = 1，2，3，4；
第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天第 7 天
第 1 组𝑥1
𝑥1
𝑥1
第 2 组
𝑥2
𝑥2
𝑥2
第 3 组
第 4 组
𝑥4 𝑥4
𝑥4
③每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首．
解答下列问题：
（1）填入𝑥3补全上表；
（2）若𝑥1 = 4，𝑥2 = 3，𝑥3 = 4，则𝑥4的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
20. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A、B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE
的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作𝐸𝐻 ⊥ 𝐷𝐸交 DG 的延长线于点
H，连接 BH．
（1）求证：
𝐺𝐹 = 𝐺𝐶；
（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．
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21. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数𝑦 = 𝑘 （𝑥 > 0）的图象 G 经过点𝐴（4,1），直线 l：
𝑦 = 1 𝑥 + 𝑏与图象 G
𝑥4
交于点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）求 k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA，OC，BC 围成的
区域（不含边界）为 W．
①当𝑏 = −1时，直接写出区域 W 内的整点个数；
②若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围．
22. 阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：
如图 1
𝐴𝐵𝐶中，点 D 在线段 BC 上，∠𝐵𝐴𝐷 = 75°，
∠𝐶𝐴𝐷 = 30°，𝐴𝐷 = 2，𝐵𝐷 = 2𝐷𝐶，求 AC 的长．
小腾发现，过点 C 作𝐶𝐸//𝐴𝐵，交 AD 的延长线于点 E，通过构造△ 𝐴𝐶𝐸，经过推理和计算能够使问
题得到解决（如图 2）．
请回答：
∠𝐴𝐶𝐸的度数为______，AC 的长为______．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD 中，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，∠𝐶𝐴𝐷 = 30°，∠𝐴𝐷𝐶 = 75°，AC 与 BD 交于点 E，𝐴𝐸 =
2，𝐵𝐸 = 2𝐸𝐷，求 BC 的长．
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23. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3与 x 轴交于点 A、𝐵（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴
交于点 C．
（1）求直线 BC 的表达式；
（2）垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点𝑃（𝑥1, 𝑦1 ），𝑄（𝑥2, 𝑦2），与直线 BC 交于点𝑁（𝑥3, 𝑦3），若𝑥1 <
𝑥2 < 𝑥3，结合函数的图象，求𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3的取值范围．
24. 有这样一个问题：
探究函数𝑦 = 1 𝑥2 + 1的图象与性质．
2𝑥
小东根据学习函数的经验，对函数𝑦 = 1 𝑥2 + 1的图象与性质进行了探究．
2𝑥
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数𝑦 = 1 𝑥2 + 1的自变量 x 的取值范围是;
2𝑥
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x
1 1 1
… −3 −2 −1 − −
2 3 3
1
2
1
2
3
…
y
… 25
6
3 1 15 53 55 17
− − −
2 2 8 18 18 8
3
2
5
2
m
…
求 m 的值；
.
（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点 根据描出的点，画出
该函数的图象;
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标
是（1, 3） .结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）:
.
2
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25.
（1）对数轴上的点 P 进行如下操作：
先把点 P 表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移 1 个单
′
位，得到点 P 的对应点𝑃 ．
点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段
，其中点 A，B 的对应点分
别为𝐴′,𝐵′.如图 1，若点 A 表示的数是
，则点𝐴′表示的数是_________；若点𝐵′表示的数是 2，则点
B 表示的数是_________；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点𝐸′与点 E 重合，则点
E 表示的数是_________；
（2）如图 2，在平面直角坐标系 xO y 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：
把每个点
的横、纵坐标都乘以同一种实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m> 0，
n> 0），得到正方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为𝐴′，𝐵′.已知正方形 ABCD
内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点𝐹′与点 F 重合，求点 F 的坐标．
26. 已知∠𝐴𝑂𝐵 = 30°，H 为射线 OA 上一定点，𝑂𝐻 = √3 + 1，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一
动点，连接 PM，满足∠𝑂𝑀𝑃为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转150°，得到线段 PN，
连接 ON．
（1）依题意补全图 1；
（2）求证：
∠𝑂𝑀𝑃 = ∠𝑂𝑃𝑁；
（3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接𝑄𝑃.写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有𝑂𝑁 = 𝑄𝑃，
并证明．
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27. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：
P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上
任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距离“，记作
𝑑（𝑀, 𝑁）．
已知点𝐴（−2,6），𝐵（−2, −2），𝐶（6, −2）．
（1）求𝑑（点 O
𝐴𝐵𝐶）；
（2）记函数𝑦 = 𝑘𝑥（−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑘 ≠ 0）的图象为图形𝐺.
𝑑（𝐺,𝐴𝐵𝐶） = 1，直接写出 k 的取值范围；
（3） ⊙ 𝑇的圆心为𝑇（𝑡, 0），半径为1.若𝑑（⊙ 𝑇,△ 𝐴𝐵𝐶） = 1，直接写出 t 的取值范围．
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28. 2019 年北京四中新初一分班考试数学试题 -真题
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：
设𝐵（−3 − 𝑚, 2），𝐶（−3 + 𝑚, 2），（𝑚 > 0）
∵ 𝐴点坐标为（−3,0），
∴ 𝐵𝐶 = 2𝑚，
∵△ 𝐴𝐵𝐶为正三角形，
∴ 𝐴𝐶 = 2𝑚，∠𝐷𝐴𝑂 = 60°，
∴ 𝑚 =
2√3
3
2
∴ 𝐶（−3 +√3, 2）
3
设抛物线解析式𝑦 = 𝑎（𝑥 + 3）2，
𝑎（−3 + 2√3 + 3）2 = 2，
3
∴ 𝑎 = 3，
2
∴ 𝑦 = 3 （𝑥 + 3）2，
2
当𝑥 = 0时，𝑦 = 27；
2
故选：
B．
设𝐵（−3 − 𝑚, 2），𝐶（−3 + 𝑚, 2），（𝑚 > 0），可知𝐵𝐶 = 2𝑚，再由等边三角形的性质可知𝐶（−3 + 2 √3, 2），
3
设抛物线解析式𝑦 = 𝑎（𝑥 + 3）2，将点 C 代入解析式即可求 a，进而求解；
本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐
标是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：
由作图知𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁，
∴ ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐶𝑂𝐷，故 A 选项正确；
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连接 ON，∵ 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 = 𝑀𝑁，
∴△ 𝑂𝑀𝑁是等边三角形，
∴ ∠𝑀𝑂𝑁 = 60°，
∵ 𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁，
∴ ∠𝑀𝑂𝐴 = ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐵𝑂𝑁 = 1 ∠𝑀𝑂𝑁 = 20°，故 B 选项正确；
3
记 MN 与 OA，OB 交点为 E，F，
∵ 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁，∴ ∠𝑂𝑀𝐸 = ∠𝑂𝑁𝐹，
又∵ ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐷𝑂𝑁，
∴△ 𝑀𝑂𝐸
𝑁𝑂𝐹，∴ 𝑂𝐸 = 𝑂𝐹，
∴ ∠𝑂𝐸𝐹 = 1 × （180° − ∠𝐸𝑂𝐹） = 1 × （180° − ∠𝐶𝑂𝐷） = ∠𝑂𝐶𝐷．
22
∴ 𝑀𝑁//𝐶𝐷，故 C 选项正确；
∵ 𝑀𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝑁 > 𝑀𝑁，且𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁，
∴ 3𝐶𝐷 > 𝑀𝑁，故 D 选项错误；
故选：
D．
由作图知𝐶𝑀 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝑁，再根据选项逐一判断可得．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，圆心角，弧，弦的关系等知
识点．
3.【答案】A
【解析】解：
如图所示，在平面直角坐标系中，画出点𝐴（−4,2），点𝐵（2, −4），点 A，B 关于直线𝑦 = 𝑥对
称，
则原点在线段 AB 的垂直平分线上（在线段 AB 的右侧），
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如图所示，连接 AB，作 AB 的垂直平分线，则线段 AB 上方的点𝑂1为坐标原点．
故选：
A．
先根据点 A、B 的坐标求得直线 AB 在坐标平面内的位置，即可得出原点的位置．
本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是
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