有余数的除法教学活动研讨材料.docx

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有余数的除法教学活动研讨材料

“有余数的除法”课堂教学研讨材人教版数学第五册第四单元《有余数除法》属于“数与代数”内容板块，本堂课的内容既有余数的产生、余数比除数小等概念性知识，也有竖式的介绍、试商、调商计算方面技能，如何构建完整的余数概念一直是争议的焦点。

笔者力图从系统论角度整体布局，另辟蹊径，进行了一些有意义的探索。

一、教材解读

（一）单元内容结构

教材内容安排如下表：

教学时可以分三个层次：

1.第一层次，让学生在平均分实物的过程中发现两种情况：

①刚好分完，没有剩余。

②分不完，有剩余。

在操作中体验余数是怎样产生的，在具体情境中寻找余数的变化规律。

2.第二层次，不再借助分实物，而是给出一个抽象的除法算式进行计算。

在此过程中，需要学生学会如何定商，而定商的原则就是除数和商的积必须小于（或等于）被除数，但同时又必须满足“余数小于除数”这一条件。

3.第三层次，利用所学的有余数除法的计算方法解决实际问题。

这一层次的教学重点是引导学生结合商和余数在实际情境中的含义。

（二）编排意图

（1）主题图

主题图通过校园里学生课外活动的情境提供了许多用除法计算的素材，如插旗子时按4面为一组的方式插；跳绳时，分成4人一组；打篮球的学生按5人一组进行分组；板报下面的花摆成3盆一组的形式。

这些素材中，有整除的，也有有余数除法，使学生认识到二者的本质都是平均分，加强知识间的前后联系。

（2）除法的意义（例1）。

教材首先安排了一幅学生布置会场摆花盆的情境图，在校园的一角摆放着一些盆花，一个小朋友说先搬15盆花，另一个小朋友问每组摆5盆，可以摆几组？

安排这幅情境图的目的是从学生已有的知识入手，通过摆花盆的活动抽象出除法竖式的书写过程，使学生体会到除法竖式每一步的实际含义。

（3）有余数除法的意义（例2）。

这部分内容是在学生已经理解了除法的意义和表内除法竖式写法的基础上，通过学生布置会场的情境，在摆花盆的活动中体会到在日常生活中会遇到把一些物体平均分后，还有余数的情况，并类推出有余数除法的竖式写法。

（4）余数和除数的关系（例3）。

教材中仍然以摆花为素材，提出一系列的数学问题：

如果上例中一共有16盆花，可以摆几组？

多几盆？

如果是17盆，18盆，…，24盆、25盆呢？

其目的：

一是进一步巩固有余数除法的含义和计算；二是通过学生的观察、比较、分析等活动，自己发现余数和除数的关系。

编排的优点：

从生活现实中引出“剩余”情形，借助直观可视的生活情景理解余数的意义，通过一定数量的具体情景题的操作计算后，从中体验、总结出试商的方法。

从低到高，由易到难，有层次递进，利于分散重点，突破难点，掌握计算方法。

存在的缺陷：

按照例1-例2-例3的顺序逐一研究，构建余数的意

义，最后获得对整体的认识，这样的建构概念的过程是机械的、低效的，而且余数的意义和除法竖式之间有断裂层面。

在引出余数后，学生最初是依靠实物操作、画图、乘法的方法来获取余数的，还未涉及余数的本质理解，处于初级层次。

只经过一个例子，学生的体验是不丰富的，马上教学显得太匆忙，人为得制造学习难点。

从实物操作抽象到除法竖式，需要经历一个数学化的过程，需要实物操作、画图、乘法、除法竖式之间有效的沟通、转化。

二、国内不同版本教材的比较

例题编排的差异：

西南师大版：

先学两位数除以一位数的估算，再安排“例1引出余数——例2竖式、调商——例3余数比除数小”——例4解决实际问题。

苏教版：

例1“分铅笔”，抽象出有余数的意义。

——例2有余数除法的求商方法。

——例3在探究中理解余数要比除数小。

——例4。

北师大版：

例1“分豆子”，感受余数。

——例2有余数除法的试商方法。

——例3余数与除数的关系。

——例4解决生活中的一些简单的实际问题。

人教版：

“例1没有余数除法——例2有余数除法——例3余数比除数小---例4，解决实际问题”，人教版教材编排缺少了如何“试商”的教学。

苏教版、北师大版的教材把“有余数的除法”放在二年级下册，西南师大版安排在三年级上册，相比之下，人教版“余数”这块内容后移。

5个教材版本的总体思路大致相同。

5个教材版本的共同点：

都是在初步认识除法的含义、掌握了表内乘除法计算的基础上，安排了有余数的除法。

基本思路是：

余数T有余数除法竖式T余数与除数的关系T解决实际问题余数。

三、学习的起点

问题1“有50块面包，每盒装6块，8盒能全部装下吗？

剩余几只？

”

问题2“一盒面包4个，幼儿园大班有30个小朋友，至少要买多少盒才够每人一个呢？

”1．测查：

笔者在3个班随机抽取60名学生进行课前测查，如下2．测试结果：

【问题1】

I类学生：

想到的是502，但是马上发现表内除法中找不到答案，然后他们想别的方法，看看8个盒子里可以装多少面包6X8=48,因为48V50，所以不够。

50—48=2只。

有35人做对，占58.3%。

H类学生：

只列算式50宁8，或502，但无法计算，有11人，占

18.3%。

皿类学生：

算式6+6+6+6+6+6+6+6=48，多了2只。

显然不够装，有8人，占13.3%

W类学生：

空白，无从下手，这3个数量的关系不清楚，有6人，

占10%。

【问题2】

I类学生：

30-4=?

，没学过，无法计算，有10人，占16.7%。

H类学生：

4X7=28，买7盒。

有38人，占63.3%。

皿类学生：

4X7=28,4X8=32,7盒少，8盒多，大概是7盒半。

有5人，占8.3%。

W类学生：

空白，理由是没学过。

有7人，占11.7%。

3．分析：

有近80%的学生想到除法列式，其中60%的学生能运用乘法解决问题，还有10%的学生根本无从下手，或答非所问。

可见，大部分学生愿意用乘法来解决除法问题，这是因为学生的逻辑起点是平均分和表内乘除法。

普遍接受分东西时，会出现“剩余”的情形，在现实生活中有相关的经验积累。

但对“剩余”和“余数”的认识很浅显，是低层次的，不完整的。

4．结论：

知识的生长点应该在平均分——“分东西”时，出现两种情况：

正好分完，无剩余。

有剩余，分不下去，出现：

余1,余2,余3,余？

通过动手操作，引出余数概念。

继而表象操作，逐步提升余数概念的认识。

四、重组教材

1.“系统论”观点

“系统论”认为，研究的客体是一个“整体”（系统），整体是由

组成它的各个部分依据一定的“关系”构建而成的。

因此研究一个客体，先要从整体上把握它的“基本结构”，然后再在这个“结构”的框架下分别研究它的各个部分，最后又综合为整体。

2•我的想法：

我认为，先领悟余数的本质内涵，这是学习除法竖式的基础，再学习除法竖式（表现形式），最后综合起来，这样有利于整体建构有余数除法的意义。

根据布鲁纳的认知理论，学生的思维发展一般经历“动作把握”到“图形把握”，再到“符号把握”三个阶段。

如下图布鲁纳的“认知理论”剖析“有余数除法”的“数学化”过程

实物操作

表象操作

符号操作

搭正方形

脑中搭正方形

算式运算

（具体）

（半具体、半抽象）（抽象）

寻找规律

实物操作

表象操作

符号操作

3.我的课堂：

引出余数

余数与除数的关系

除法竖式

解释解释

解释

方法沟通：

实物操作二===

画图====乘法====

除法竖式

寻找意义

我认为这样设计打破了教材的整体布局，把有余数除法的教学提前，竖式放在最后教学。

这样就在余数的产生、有余数除法算式、竖式的经历和体验的充分性上提供较大的时空保障。

五、目标定位：

1．通过实物操作活动，使学生经历余数产生的过程，领悟余数的真实含义，初步理解有余数除法的意义，掌握除法竖式的计算方法。

2．通过概括、抽象、综合等思维活动，实现从实物操作过渡到表象操作，再抽象到符号操作，学生经历从实物到符号的数学化过程。

3．培养学生初步的操作、观察、概括等能力和主动探究精神。

其中理解建立余数的概念及余数和除数的关系是本节课教学重点。

由于年龄小，推理能力差，因此，理解余数要比除数小的道理成为本节课教学难点。

六、课堂观察

【镜头一】

师：

出示正方形，搭这样的正方形要几根小棒？

8根能搭几个正方形？

能用算式表示吗？

师：

出示一袋小棒，猜猜搭的结果。

生1：

16根。

师：

如果是16根，搭了几个？

生1:

这个容易，16T=4,4X4=16。

4个呀！

师：

除了刚好，还可能会怎样？

生2:

如果是19根，又会怎样？

生3:

4个多3根。

师：

多3根？

怎么会多出来的？

生3：

只能搭4个正方形，就多了3根。

师：

生活中我们在“分东西”时，不可能总是刚刚好，不多也不少。

往往会出现有“剩余”，不能再继续平均分的情况，“剩余”在数学上有一个自己的名字，叫余数。

师：

这里的3根就是19根小棒搭正方形时剩余的，多出来的，3根就是余数。

生4：

多余的数！

（脱口而出）师：

真是这样的吗？

生众：

是？

不是？

……

师：

既然是多余的，那就拿掉吧！

（师假装拿走，又放了回去。

）生众：

不！

有用的。

生3：

拿走的话，就没有19根了，总数变了。

生2：

再加1根，又可以搭一个正方形了。

【镜头二】

师追问：

多3根，可不可以再搭一个正方形呢？

生众：

不能。

师：

你认为除了多3根还有别的情况吗？

生1：

可能多1根、2根、4根、5根。

师：

你觉得他这样说，对吗？

组织质疑：

可不可能多4根？

5根呢？

比5根更多呢？

生众：

可能？

不可能？

（许多学生犹豫了，难以决断。

）

生众：

……（教室里沉默了，但此时无声胜有声。

）

1分钟后，似乎有了些眉目。

有些学生开始动笔计算，有些学生在画图，有些学生借来小棒尝试搭正方形？

过了5分钟后，举手的渐渐多了起来。

生1：

我用小棒摆过了，多1根、2根、3根，是可能的。

多4根的话，又可以搭一个正方形，多5根、6根也一样能搭一个正方形，没有分完，不叫剩余吧。

生2：

我画图的结果和生1相同。

生3：

老师前面说过，余数是分东西时余下的数不能再分了，分不下去了，才叫余数。

4根、5根、6根都可以再分，所以不可能。

师：

如果小棒足够多，一直分下去，余数会有什么变化？

16根，17根，18根

引导学生比较：

16+4=4

17+4=4••…1

18+4=4••…2

19+4=4••…3

20+4=5

21+4=5••…1

22+4=5••…2

23+4=5••…324+4=6师：

想一想，搭正方形时，余数可能是几根？

生众：

1根、2根、3根，

师：

不可能是

生众：

不可能是4根、5根、6根，7根——比4小。

师小结：

现在想一想，余数到底是怎样的？

生1：

余数是“分东西”时剩余的数,余下的不能再继续平均分了。

生2：

余数肯定比除数小,如果比除数大,就能继续分,不叫剩余的数了。

师:

余数和除数一样大,可不可以?

生2：

不可以!

余数和除数一样大,还是能继续分下去。

（教师及时加以点拨，水到渠成。

）

师：

如果用小棒摆三角形，余数可能是……

生众：

1根、2根、3根—啊！

3根不可以，应该是1或2，要比3根少嘛。

【镜头三】

这些小棒如果有的多，可能多1、2、3根，确信吗？

生众：

确信!

师：

如果是多2根，猜猜有几根小棒？

学生提出18根，教师板书画图演示，还有吗？

学生提出22根，学生自己画图验证。

怎样检验？

师：

23根小棒结果会怎样？

验证时一名学生说出“4X5=20,20+3=23”，追问“4X5”什么意思？

学习竖式:

1学生尝试写23T的横式，交流、范写有余数除法横式，齐读算式,

说说各部分名称。

2学生写18根、22根的算式，指出这些叫做有余数除法横式。

3乘法、加法、减法有横式也有竖式，那除法呢？

让学生写出心目中有余数除法竖式。

4交流点拨，追问竖式里20怎么来的？

5除法竖式与“分东西”过程、画图、乘法之间有什么联系？

（趁热

打铁，沟通竖式与实物操作的内在联系。

）

6看书，范写竖式。

7学生试写其余有余数算式的竖式。

8反馈纠正,总结。

七、课后反思

1．整体感知，系统建构依据系统论原理，整体构建有余数除法的知识体系，整体沟通“具体操作、余数概念、除法竖式”三者间内在联系，打破教材的整体布局后勾勒了自己的单元教学体系目标，呈现出新意。

把有余数除法的教学提前，竖式放在最后教学，为余数的产生、有余数除法算式、竖式的经历，提供了充分的时间，同时注重各种方法间沟通。

最后，概括、综合，获得整体认知。

2．找准知识的生长点，促进新知识的迁移有余数的除法是已学过的除法（两种分法）的延伸和发展,抓住知识的生长点做到旧知识的复习,促进新知识的迁移，8个搭正方形，正好用完，点明"正好用完",没有剩下的小棒,目的是在新知识的生长点处引起学生的有意注意,为导入新知识"余数"埋下伏笔。

这样就自然引入分东西还有剩余的情况，为学习有余数的除法作好铺垫。

通过有目的的让学生观察比较：

16个小棒和19个小棒分的总数起变化了,但是意思没变,所以解法不变,也用除法计算。

在学生写出了除法算式后，会遇到计算上的困难，19除以4等于多少呢？

学生会想到动手分一分就能知道结果了。

因此利用演示搭正方形结果，学生最初的猜想或者是不惑之处得到了验证和解释，通过操作直观地将分的结果展示给学生，清晰地建立了分东西还有多余的情况，也初步建立了余数这一概念。

3．学生经历从实物到形式的数学化过程学生经历了从“动作把握”到“图形把握”，再到“符号把握”等智力发展的三个阶段。

如本节课，通过动手小棒“搭正方形”感受余数的实际意义，是动作把握；进而通过画图，理解“余数要比除数小的道理”，这是图形把握，它是对动作把握的概括；对图形把握的进一步概括就是符号把握，即除法列竖式学习，并运用它进行数学思考与交流。

本课，结合具体情境对材料的直观操作尤为重要；从具体操作到表象操作，再到形式操作是学生获得数学知识的一般思维规律。

4．沟通各种方法间的联系，理清除法竖式的意义

为了建立整体知识结构体系，沟通了各种方法之间的联系，通过操作建构除法竖式的意义，给除法竖式一个合理的解释。

学生能结合具体情景理解除法竖式每一步的来源，使之能超越学习材料的表象，

让学生领会方法间的本质联系，引导关注意义的变化。

如在建构有余数除法的意义时，23根小棒结果会怎样？

算式进行整理：

14X5+3=23,

223T=5••…3,

③

3有余数除法的竖式。

最后引导学生沟通这四种方法之间的联系，具体可让学生找一找各种表达式中的“3”在哪里？

都表示什么意思？

再去寻找“23”、“20”、“3”的含义，然后用线条把相对应的部分与有余数除法竖式中的各部分数字相连接。

数形结合理解有余数除法的意义，让学生所获得的知识，不再是孤立存在，而是在一个网络中间与其他知识建立了联系。

问题与思考：

作为一节计算类的概念课，《有余数除法》在整体解读的基础上作出了个性化的处理，强化了有余数除法概念的感受与体验。

但作为一节计算课，一定的技能是不可或缺的追求。

纵观这节课，竖式的引入对于学生而言是全新的，也是本节课的重难点之一。

尤其是在竖式中余数是怎样得到的，即被除数和除数、商两者乘积之差，学生接受应该有个过程，从实际操作到横式再到竖式都需要有个对应性的沟通过程，显然教师处理不到位，同时教师没能及时跟进整除余数竖式的书写教学，作为体验层面目标本课达成度较高，对整除和有余作了整体式沟通，最终应该落实到技能层面——也就是竖式的比较沟通，为什么整除被除数和除数、商两者乘积之差是0，再次比较，让学生切

实体会到余数的实际含义与表现形式。