万有引力与航天(基础复习)文档格式.doc
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（2）天体质量，密度的估算。
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由得被环绕天体的质量为，密度为，R为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则。
（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
①由得
∴r越大，v越小
②由得
∴r越大，越小
③由得
∴r越大，T越大
（4）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：
v1=7.9km/s，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：
v2=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。
③第三宇宙速度：
v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
（1）测天体的质量及密度：
（万有引力全部提供向心力）
由得
又得
【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！
经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。
这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！
若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。
试计算土星的质量和平均密度。
解析：
设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M.“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.
，其中，
所以：
．
又，
模型2：
2011年11月8日,“萤火1号”火星探测器发射升空.假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时,周期分别为和.火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出（
）
A.
火星的密度和火星表面的重力加速度
B.
火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C.
火星的半径和“萤火一号”的质量
D.
火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解:
A、因为万有引力提供探测器做圆周运动的向心力,则有:
;
联立方程可求得火星的质量M和火星的半径R,
根据密度公式得:
.
在火星表面的物体有,
可得火星表面的重力加速度,所以可得出火星的密度和火星表面的重力加速度,所以A选项是正确的.
B、从A选项分析知道可以求出火星的质量,因为不知道“萤火一号”的质量,所以不能求出火星对“萤火一号”的引力,故B错误.
C、从A选项分析知道可以求出火星的质半径,不能求出“萤火一号”的质量,故C错误.
D、从A选项分析知道可以求出火星的表面的重力加速度,因为不知道“萤火一号”的质量,所以不能求出火星对“萤火一号”的引力,故D错误.所以A选项是正确的.
（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：
（重力近似等于万有引力）黄金代换式
表面重力加速度：
轨道重力加速度：
【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。
设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有……
经过计算得出：
卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。
上述结果是否正确？
若正确，列式证明；
若有错误，求出正确结果。
题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。
正确的解法是
卫星表面＝g行星表面=g0即=即g=0.16g0。
已知地球半径为，地球表面重力加速度为，不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为，求卫星的运行周期。
答案
设卫星的质量为m，地球的质量为M
在地球表面附近满足
①
得
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
②
①式代入②式，得到
（2）考虑①式，卫星受到的万有引力为
③
由牛顿第二定律：
④
③、④式联立解得
3、人造卫星、宇宙速度：
宇宙速度：
（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）
【例3】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。
轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：
P
1
2
3
Q
A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度。
D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。
解：
由得，
而，
轨道3的半径比1的大，故A错B对，“相切”隐含着切点弯曲程度相同，即卫星在切点时两轨道瞬时运行半径相同，又，故C错D对。
如图所示，同步卫星与地心的距离为，运行速率为，向心加速度为；
地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球半径为，则下列比值正确的是（
）。
A:
B:
C:
D:
选项分析：
A、B项，同步卫星与地球自转的角速度相同，，，，故A项正确，B项错误。
C、D项，同步卫星：
，对于近地卫星：
，，故C项错误，D项正确。
综上所述，本题正确答案为AD。
模型3：
如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是和（为地球半径）。
下列说法中正确的是（
a、b的线速度大小之比是B:
a、b的周期之比是
C:
a、b的角速度大小之比是D:
a、b的向心加速度大小之比是
A项，根据万有引力与行星线速度的关系得，所以a、b的线速度大小之比，故A项错误。
B项，根据万有引力与行星绕转周期的关系得，所以a、b的周期之比为，故B项错误。
C项，根据万有引力与行星角速度的关系得，所以a、b的角速度之比为，故C项正确。
D项，根据万有引力与行星加速度的关系得，所以a、b的加速度之比为，故D项正确。
综上所述，本题正确答案为CD。
4、双星问题：
【例4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。
由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得
对M1：
G＝M1（）2l1 ∴M2＝
对M2：
G＝M2（）2l2 ∴M1＝
两式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝。
经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”.“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体.如图,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L,质量之比为.则可知（
A．
、做圆周运动的线速度之比为
B
．、做圆周运动的角速度之比为
C．
做圆周运动的半径为D．
做圆周运动的半径为
双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,故有:
所以又
所以可得,A、据可以知道,,所以A选项是正确的;
B、因为双星的角速度相等,故B错误;
C、因为,所以C错误;
D、因为,所以D选项是正确的.所以AD选项是正确的.
5、有关航天问题的分析：
【例5】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H＝3.4105m的圆轨道上运行了47小时。
求在这段时间内它绕行地球多少圈？
（地球半径R=6.37106m，重力加速度g＝9.8m/s2）
用r表示飞船圆轨道半径r=H+R==6.71106m。
M表示地球质量，m表示飞船质量，表示飞船绕地球运行的角速度，G表示万有引力常数。
由万有引力定律和牛顿定律得利用G＝g得 ＝2由于＝，T表示周期。
解得
T＝，又n=代入数值解得绕行圈数为n=31。
练习：
1．如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是和（为地球半径）。
a、b的线速度大小之比是B:
a、b的角速度大小之比是D:
2．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为和，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为、，则（
B:
C:
3．某网站报道，美科学家发现太阳系外第一颗“全宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．如果某一天发射一颗载人航天器到该行星上去，测得一个在地球表面质量为50kg的人在该行星表面的重力约为800N，而地球表面处的重力加速度为10m/s2.根据上述信息，你认为下列说法中正确的是（ ）
A．载人航天器的发射速度约为7.9km/sB．载人航天器的发射速度小于11.2km/s
C．该行星的半径与地球的半径之比约为2D．该行星的半径与地球的半径之比约为3
4．“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月,从发射到撞月历时433天,标志我国一期探月工程圆满结束.其中,卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周,再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行.若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的,月球半径为地球半径的,根据以上信息得（
A．绕月与绕地飞行周期之比为
B．绕月与绕地飞行周期之比为
C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为D．月球与地球质量之比为
5．嫦娥二号卫星已成功发射,这次发射后卫星直接进入近地点高度200公里、远地点高度约38万公里的地月转移轨道直接奔月.当卫星到达月球附近的特定位置时,卫星就必须“急刹车”,也就是近月制动,以确保卫星既能被月球准确捕获,又不会撞上月球,并由此进入近月点100公里、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整,进入100公里的近月圆轨道b.轨道a和b相切于P点,如图所示.下列说法正确的是（
嫦娥二号卫星的发射速度大于7.9
小于11.2
嫦娥二号卫星的发射速度大于11.2
嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的速度
嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为、则
6．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆.每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示.该行星与地球的公转半径比为（
）
B．
C
.D．
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