论文浅议距离与离差Word文档格式.docx
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2.1平面内点到直线距离的概念及判定1
22平面内点到直线距离的求法1
2.3空间内点到直线距离的计算1
3.点与平面间的距离2
3.1离差的定义及点到平面的距离定义3
3.2点与平面位置关系的判定3
3.3点到平面距离的计算3
3.4平面划分空间问题三元一次不等式的几何意义3
4.直线到直线的距离4
4.1空间两直线的相关位置的判定4
4.2空间直线间距离的计算5
5.平面到平面的距离6
5.1平面间的位置关系的判别6
5.2平面间距离的计算7
结束语8
参考文献8
英文摘要9
摘要：
总结平面及空间内点、直线、平面间的距离求法，并浅议距离和离差的关系关键字：
距离；
离差；
空间内直线
1•点到点的距离
对于点到点的距离可以分成两种状态考虑，即平面内点到点的距离和空间内点到的
距离•
定理1在平面内两点P^x-y」与P2（x2,y2）间的距离为
d-、（X2-xj2（y?
-yi）2
在空间两点P（x,y,z）与P2（x2,y2,z2）间的距离是
d=、（X2-Xi）2m-y」2亿-zj2
2•点到直线的距离
2.1平面内点到直线距离的概念及判定
平面内点到直线距离的定义为，过点向直线做垂线，垂线段的长度就叫做点到直线的距离。
若点满足直线方程。
则点在直线上，若点不满足直线方程则点在直线外
2.2平面内点到直线距离的求法
平面直线与点的相关位置有两种情况，即在直线上和不再直线上，在直线上时距离为零；
不再直线上时可根据高中时学习过的点到直线距离公式求解，平面内点M（x0,y0）
到直线AxByC=0的距离为
Ax。
By°
C
■A2B2
2.3空间内点到直线距离的计算
空间直线与点的相关位置有两种情况，即点在直线上与点不再直线上，点在直线上的条件是点的坐标满足直线方程，这是点与直线的距离为零
X「Xiy「yiZ「Zi
l:
-
XYZ
v和矢
显然点
这里M勺化，yt，乙）为直线l上的点，v=fx,y,z?
为直线l的方向矢量。
我们考虑
量为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于vx：
M0到丨的距离d就是这平行四边形的对应于卜为底的咼
因此我们有
2
|y°
-y’z°
-z
*z°
—zx°
—X1
+
x0—X1y°
—%
1YZ
ZX
XY
x-2y亠z=0
例1求点P（2,3,—1）到直线｛的距离
3x_2y+2z+17=0
解将直线方程化为标准方程
x-11yz亠25
-2-12
VXM1M0
y°
—y1z°
—乙
Z0-Z1X0—X1
+x°
—X1y°
-y
YZ
v
3•点与平面间的距离
3.1离差的定义及点到平面的距离定义
在求点与平面间距离之前，我们先引进点关于平面离差的概念
定义如果自点M0到平面二引垂线，其垂足为Q,那么矢量QM0在平面二的单位
法矢量n°
上的射影叫做点M°
与平面二间的离差，记做
=射影°
QM°
n°
那么，有如下
定理2点M°
与平面n°
%-p=0间的离差为
-°
、.二nr°
-p
这里r°
=OM°
推论1点M°
（x°
y°
z°
）与平面xcos:
：
£
亠ycos卩zcos容一p=°
间的距离的离差是
=x°
coS_：
iy°
cos■z°
CoAp
显然，离差的绝对值d，就是点M°
与平面兀之间的距离d。
3.2点与平面位置关系的判定
容易看出，空间的点与平面间的离差。
当且仅当点m°
位于平面二的单位法矢量n所指向的一侧，QM°
与n°
同向，离差■■:
>
°
;
在平面二的另一侧，QM°
方向相反,
离差<
；
当且仅当M°
在平面二上时，离差:
.=°
。
3.3点到平面距离的计算
|Ax°
+By°
+Cz+D|
d2
/A2B2C
3.4平面划分空间问题三元一次不等式的几何意义定理3
设平面二的一般的方程为
AxByCzD=°
那么，空间任何一点M（x,y,z）对平面的离差为
=■（AxByCz-D）
式中•为平面二的法化因子，所以有
1
Ax亠By亠Cz亠D=
对于平面二同侧的点，当皿，与M2是二同侧的点时：
的符号相同；
对于平面二异侧的店，■?
的符号相反；
因此可知平面二：
Ax-ByCzD=0把空间划分为两部分，
对于某一部分的点AxByCzD>
0;
对于另一部分点，则有AxByCzD<
0,在平面二上的点AxByCzD^0
4.直线到直线的距离
4.1空间两直线的相关位置的判定
空间两直线的相关位置有异面与共面，在共面中又有相交平行于重合三种情况，
现在我们来导出这些相关位置成立的条件.
设两个直线的方程为：
x—xy-yaiz
ii:
X1Y1Z1
①
x—冷y-yzz
l2:
'
X2丫2Z2
②
定理4判定空间两直线①与②的相关位置的充要条件为
1°
异面：
A=
X2—Xi
Xi
X2
y2—yi
Yi
丫2
Z2—乙
Zi
Z2
丰0；
2°
相交：
A
=0,
Xi:
丫
:
乙式
X2：
丫2：
Z
3。
平行：
=x2:
丫2：
z2
h（x2-Xi）:
（y2-yi）：
Z2-z）
4。
重合
丫2:
Z2
=（X2-Xi）:
（y^yi）:
Z2-z；
）
4.2空间直线间距离的计算
1•特殊情况时两直线间间距离
空间两直线上的点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离
显然，两条相交或重合的直线间距离等于零；
两平行直线间的距离等于其中中一条直线的任意一点到另一条直线的距离（在点到
直线的距离一节中研究）。
2.两直线异面时距离
公垂线的定义：
同时与两条异面直线垂直而且相交的直线只有一条，这条直线我们就称为这两条异面直线的公垂线，其夹在异面直线之间的部分就叫做两条异面直线的公
垂线段。
异面直线间距离的定义：
我们就把两条异面直线的公垂线的长度叫做两异面直线间的距离。
N2，那么l1与l2
定理5设两异面直线11、i2与它们的公垂线|0的交点分别为M、
之间的距离
所以两异面直线①、②的距离为
X2—X1
y2—%
Z2—
Z
X1
丫1
乙
X
1+
例3已知两直线
y
z-1
X-1
1:
—
一?
12:
-1
y-1z-1
10
间的距离
=1,1,0，从而有
解因为直线11过点M1（0,0,-1）,方向矢量
M2,V2）
所以h与12为异面直线
M2M「（v
“）2
■
V1“2
4
d
5.平面到平面的距离
5.1平面间的位置关系的判别
定理6
空间两个平面的相关位置有三种情形，即相交平行和重合，而且当且仅当两
平面有一部分公共点时它们相交，当且仅当两平面无公共点时它们相互平行，当且仅当一个平面上的所有点就是另外一个平面的点时，这两个平面重合，因此如果设两平面的方程为
lA/ByCz/D〒0
⑴
7：
1:
A2xByCz^D右0
⑵
那么，两平面间的距离跟两平面间的位置关系密切相关
定理两平面
（1）与
（2）相交的充要条件是
A<
!
:
B<
C厂
二A2：
B2:
c
平行的充要条件是
片
B!
C1-
D!
A2
B2
C2
D2
重合的充要条件是
=-C1
=-D1
ni={AiBC}与n2={A2,B2,C2},
当且仅当n1不平行于n2时，=与二2相交；
当且仅当①平行n2有与二2相互重合
所以
5.2平面间距离的计算
有了平面位置关系的判定定理，可以轻松判定两个平面间的位置关系，从而知道两平面间的距离
当两平面二i与二2重合和相交时，平面间距离为0
当两平面=与二2平行时，平面间距离为
D2_Di
Ai2Bi2Ci
F面对此结论简单证明
证明在平面兀上取一点M（x0,y0,z0）,
那么点M到二2的距离可根据点到平面计算出
结论得证
例4求下列两平面间的距离
—4y8z42=0,
19x-4y8z21=0,与19x
解根据平面间距离公式
结束语
本文归纳及总结了平面及空间内的点与直线与平面的位置关系，并着重讨论了空间内点与平面的距离与离差的关系，在此过程中充分运用了矢量这一工具，通过矢量来处理这类问题的好处是与坐标系的选取无关•
参考文献
高等教育出版社解析几何（第三版）吕林根许子道等编著
2:
杨振麟•点到平面距离的公式的一种简捷求法[J].南昌高专学报
3:
田宝运，王秀珍•浅谈点到平面距离的求法[J].数理化学习（高中版）
4:
贾士代殷都学刊1994--1点到平面的距离公式的简明证法
5:
张二艳点到平面及异面直线间的距离公式《北京印刷学院学报》2003年04
期
ONTHEDISTANCEANDDEVIATION
GUOShuai
Abstract:
Summaryplane,space,point,line,planemethodforfindingthedistaneebetween,andOntherelationshipbetweendistaneeanddeviation.
Keywords:
deviation;
fromthelinearspace
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