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202_年。
网上资：
超星慕课：
《实变函数》，李工宝，提供学校：
华中师范大学，网址
**************二、课程描述（课程在人才培养方案中的地位、内容、功能和作用）
（地位）本课程是数学与应用数学专业的专业主干课程，为三年级学生开设。
（内容）实变函数论是在19世纪末20世纪初主要由法国数学家Lebesgue创立的（当然不应忽略Jordan与Borel的历史贡献），其核心内容是Lebesgue测度与Lebesgue积分理论。
（功能作用）Lebesgue积分理论使得极限与积分可以方便自然的交换次序，并且扩充了人们所研究的函数的范围。
实变函数论与泛函分析^p，Fourier分析^p，遍历理论，积分方程理论有着紧密的联系，而由Lebesgue测度与积分理论发展起来的抽象测度与抽象积分理论使得概率论建立在现代的基础之上并且拓广了概率论的研究范围。
总之实变函数论在各数学分支中的应用成了现代数学的一个特征，因此实变函数论是学习和研究现代数学理论的基本工具。
另外随着应用数学与工程数学的发展，Lebesgue积分也成为工程师们的常识与工具。
三、课程学习目标1.通过本课程的学习，体会数学理论构思精巧之美，数学论证精致严谨之美，数学结论抽象普适之美；
通过了解实变函数的发展历感悟人类思想能力和潜力以及数学家们的伟大功绩；
通过了解实分析^p在现代数学和其他学科中的作用，体会数学理论在理论和实践中的威力。
培养自己对数学的热爱，进而激发传承数学知识的使命感和对数学教育事业的热爱。
（支撑毕业要求2.1）
2.了解朴素无限集合论的基础知识，掌握集列的运算与性质。
掌握一般度量空间的基础知识。
理解测度和积分的本质，系统掌握Lebesgue测度与Lebesgue积分理论，掌握通过集列的运算描述函数列运算或函数性质的集合分析^p方法，熟悉测度与积分工具并形成相关的基本技能。
在学习中对现代数学的基本研究方法、论述方法有一定体会。
（支撑毕业要求3.1与毕业要求3.5）
3.了解实变函数理论产生的背景，必然性，过程以及重要数学家的贡献。
了解Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为分析^p运算交换次序带来方便的事实并在理论上理解其原因。
了解实变函数理论与泛函分析^p，Fourier分析^p，遍历理论，积分方程理论，概率论的紧密联系及其在应用数学与工程数学中的应用。
（支撑毕业要求3.2）
4.通过对集合论知识的学习，理解无限集合论基本原理，熟练掌握集合运算，为中学数学相关部分的教学打下坚实的理论基础。
通过通过测度理论的学习，理解面积、体积（Jordan容度）的本质和局限。
（支撑毕业要求3.4）
5.在专业课程的学习中，能够及时通过反思提高学习效果，并在此过程中提升自身的反思能力。
（支撑毕业要求7.2）
《实变函数》学习目标与毕业要求的对应关系矩阵毕业要求指标点（毕业要求的二级指标）课程目标2.教育情怀：
认同数学教育与教师工作的价值，具有从事数学教育工作的意愿。
以学生为本，尊重爱护学生，传承科学精神，注重人文关怀，做学生锤炼品格、学习知识、创新思维、奉献祖国的引路人。
2.1热爱数学教育，具有正确的教师观，以传承数学知识，促进学生自主和全面发展，“做学生成长引路人”为自己的职业理想。
课程目标13.学科素养：
掌握数学学科的基本知识、原理和技能，理解数学的基本思想和方法。
了解数学学科的发展历史和知识体系。
了解数学学科与其他学科的联系，了解数学学科与社会实践的联系。
能够从较高的观点把握中学数学知识，掌握与数学教育相关的学习科学知识。
了解数学学科的基本研究方法和学术规范。
3.1接受系统的数学思维训练，理解数学科学的基本思想方法。
系统掌握数学的基本知识，特别是代数学，几何学，分析^p学和随机数学的基本知识、基本原理和基本技能。
具有较强的数学语言表达能力。
课程目标23.5初步体会和了解数学学科的基本研究方法、论述方法和学术评价标准，具有科学的批判精神和创新精神，初步形成自己的方法论。
3.2具有一定的数学史知识和较宽的专业视野，了解数学的发展历史、发展现状和发展趋势；
了解数学学科内部不同方向及它们之间的相互渗透发展，数学学科与其他学科的关联及应用。
课程目标33.4能够运用数学专业知识和学习科学相关知识指导中学数学教学，初步掌握在教学中促进中学生形成数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析^p等数学核心素养的方法和策略。
课程目标47.学会反思：
具有终身学习与专业发展意识。
了解国内外基础教育改革动态和数学教育发展趋势，合理制定学习和职业生涯规划。
初步掌握反思方法和技能，具有一定创新意识，学会运用批判性思维方法分析^p和解决数学专业问题以及教育教学问题。
7.2初步掌握反思方法和批判性思维方法和相关技能，具有创新意识和批判精神。
在专业课程的学习中，能够及时通过反思提高学习效果，并在此过程中提升自身的反思能力。
在教育实践、实训中，能够发现、辨析和质疑数学教学以及育人工作中遇到的现象和问题，形成积极的反思体验。
课程目标5四、教学内容与要求1.导论（2学时）
主要内容：
实变函数理论产生的历史背景，主要的发展过程，重要数学家的贡献以及实变函数理论的应用。
基本要求：
了解实变函数理论产生的背景，必然性，过程，重要数学家的贡献以及实变函数理论的应用。
重点：
实变函数发展重要节点；
实变函数以及后来的实分析^p理论在数学以及其他学科中的应用。
难点：
无作业及课外学习要求：
（按课程特点自己填写）
2．集合（10学时）
以朴素的观点介绍无穷集合论的基本知识，包括集合与元素的概念，集合之间的关系与运算；
映射，集的对等关系与势，无限集合，数学归纳法；
集族的运算，集列的上极限与下极限；
Bernstein定理，集合对等的基本证明方法；
常见的可数集合与不可数集合。
理解Cantor无限集合论的最大意义在于提供了一种严格处理和使用“无限”的数学理论。
掌握集与映射等有关概念；
掌握集合的运算，特别是集族的运算及性质；
掌握集的对等关系，理解势的概念。
掌握Bernstein定理的内容，了解其证明路，能够运用Bernstein定理证明集合对等。
理解可数集，不可数集的概念，掌握常见的可数集与不可数集。
集合的包含关系及证明；
集合（族）常见运算及性质；
对等与势，无限集合；
Bernstein定理；
常用可数集合与不可数集合；
集合的包含关系的外延式证明与代数证明；
集列的上极限与下极限；
证明两个集合对等；
基数的全序性；
Bernstein定理的证明；
可数集合的可数并仍可数；
可数集合的有限笛卡尔积可数；
实数集合不可数；
不可数集的判定；
无最大基数定理作业及课外学习要求：
3．点集（10学时）
距离与距离空间，邻域及邻域系公理，点列收敛；
点集间距离，点集直径，有界点集；
内点，外点，界点；
聚点及等价定义，孤立点；
内核，导集，边界，闭包及性质；
开集，闭集，完备集及性质；
直线上开集，闭集，完备集的构造；
Cantor集及其性质。
掌握内点，聚点，导集，闭包，开集，闭集，完备集等概念；
掌握直线上的开集的构造定理的内容，理解其证明；
了解Cantor三分集的构造方法与性质。
距离空间概念与距离公理；
点列的收敛性；
内点，界点，聚点，开核，导集，闭包及性质；
开集，闭集，完备集的定义及性质；
直线上开集，闭集，完备集的构造定理。
直线上开集构造定理的证明；
Cantor集性质的证明。
作业及课外学习要求：
4．勒贝格测度（10学时）
Lebesgue外测度概念及其性质；
Caratheodory条件;
Lebesgue可测集以及Lebesgue测度概念；
Lebesgue可测集（测度）关于集合的并，交，余，极限运算的性质；
可测集类以及可测集与开集，闭集，Borel集的关系。
掌握Lebesgue外测度概念及其性质；
理解Caratheodory条件;
掌握Lebesgue可测集以及Lebesgue测度概念；
掌握Lebesgue可测集（测度）关于集合的并，交，余，极限运算的性质；
掌握可测集类以及可测集与开集，闭集，Borel集的关系；
了解不可测集的存在。
Lebesgue外测度及其性质；
Lebesgue可测集以及Lebesgue测度定义；
可测集合的性质；
单调可测集列测度与极限可换；
开集，闭集，Borel集的可测性以及它们与可测集合的关系；
Lebesgue测度的正规性。
使用Lebesgue外测度定义进行证明；
Caratheodory条件与可数可加性的等价性的证明；
通过验证Caratheodory条件证明集合可测（包括若干可测集合性质的证明）；
Lebesgue测度的正规性的证明。
5．可测函数（12学时）
可测函数的概念与性质；
可测函数（列）的四则运算和极限运算；
可测函数的简单函数逼近；
叶果洛夫定理；
可测函数的构造，鲁津定理；
依测度收敛，黎斯定理，勒贝格定理。
掌握可测函数的概念与性质；
掌握可测函数（列）在四则运算或极限运算下的可测性；
掌握可测函数的简单函数逼近方法；
掌握叶果洛夫定理；
掌握鲁津定理，理解可测函数与连续函数之间的关系；
掌握依测度收敛概念和黎斯定理，勒贝格定理的内容并理解它们的证明；
掌握可测函数列几乎处处收敛，近乎一致收敛，依测度收敛之间的关系。
依测度收敛；
鲁津定理，黎斯定理，勒贝格定理及应用。
鲁津定理证明中使用的简单函数逼近方法；
叶果洛夫定理，黎斯定理，勒贝格定理证明中使用的集合分析^p方法。
6．勒贝格积分（20学时）
Riemann积分的局限性与建立新积分的思路；
Lebesgue积分的定义；
Lebesgue积分的性质；
掌握Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系；
积分极限定理，包括法图引理，列维定理，Lebesgue控制收敛定理，逐项积分定理，逐项微分定理及应用；
富比尼定理及应用。
掌握Lebesgue积分的定义，性质；
掌握积分极限定理，包括法图引理，列维定理，Lebesgue控制收敛定理，逐项积分定理，逐项微分定理的内容并理解它们的证明，能够较熟练地使用这些定理进行推理与运算。
掌握Fubini定理的内容，理解其证明，能够较熟练地使用Fubini定理进行推理与运算。
从非负简单函数到非负可测函数再到一般可测函数定义Lebesgue积分的过程；
Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系；
积分极限定理；
Fubini定理。
利用简单函数逼近证明非负可测函数Lebesgue积分的性质；
Levi定理，Fatou引理，Lebesgue控制收敛定理的证明与应用；
积分绝对连续性的证明与应用；
截面定理与Fubini定理的证明与应用。
《实变函数》教学内容与学习目标的对应关系矩阵章节内容学习目标1学习目标2学习目标3学习目标4学习目标5第一单元导论M第二单元集合LLL第三单元点集LMM第四单元Lebesgue测度MLM第五单Lebesgue可测函数MMHH第六单元Lebesgue积分HMH注：
“H（高）、M（中）、L（低）”表示该课程各章节对各项学习目标的支撑强度五、教学安排与教学方式《实变函数》总课时分配列表序号课程内容学时教学方式1导论2讲授2集合与集合的运算2讲授3对等与基数2讲授4可数集合2讲授5不可数集合2讲授6第一章习题课2讲授7度量空间和维氏空间，聚点，内点和界点2讲授8开集，闭集，完备集2讲授9直线上开集，闭集，完备集的构造2讲授10Cantor集简介2讲授11第二章习题课2讲授12外测度2讲授13可测集（I）2讲授14可测集（II）2讲授15可测集类2讲授16第三章习题课2讲授17可测函数2讲授18可测函数（II）2讲授19叶果洛夫定理2讲授20可测函数的构造2讲授21依测度收敛2讲授22第四章习题课2讲授23黎曼积分的局限性，非负简单函数的勒贝格积分2讲授24非负可测函数的勒贝格积分2讲授25一般可测函数的勒贝格积分（I）2讲授26一般可测函数的勒贝格积分（II）2讲授27第四章习题课（I）2讲授28黎曼积分与勒贝格积分2讲授29勒贝格积分的几何意义，富比尼定理（I）2讲授30勒贝格积分的几何意义，富比尼定理（II）2讲授31第四章习题课（II））2讲授32复习课2讲授注：
总学时64学时，其中：
讲授64学时。
六、考核要求、方式与成绩评定标准
（一）课程考核要求课程目标考核内容评价依据1.通过本课程的学习，体会数学理论构思精巧之美，数学论证精致严谨之美，数学结论抽象普适之美；
1.实变函数的诞生发展历史.2.实变函数与其他数学分支的联系及其在现代数学中的重要作用.1.课堂发言：
通过学生课堂发言的次数以及课堂发言的质量，考察学生语言表达、沟通技能、知识掌握程度以及运用所学知识分析^p和解决问题的能力。
2.思维导图作业：
主要考察学生的抽象思维和逻辑推理等数学学科核心素养，促进学生对概念及概念间关系的理解，培养学生反思意识。
集列的运算与性质1.集合分析^p方法3.度量空间的基础知识课堂发言：
平时作业:
3.思维导图作业：
4.期末考试：
通过解答型
题目考察学生相关技能掌握情况。
1.Lebesgue测度及性质可测函数及性质,包括叶果洛夫定理,鲁津定理,依测度收敛等Lebesgue积分概念基本性质,线性性质,关于积分区域的可加性,保不等式性,绝对连续性等2.积分极限定理,包括法图引理,列维定理,勒贝格控制收敛定理;
富比尼定理.1.课堂发言：
2.平时作业:
5.数学教育研究小论文：
通过对某一数学教育领域问题的提出，撰写文献综述，运用恰当研究方法开展研究，考察学生反思与创新意识。
1.阅读相关文献并了解Jordan容度理论,理解Jordan容度理论的合理性与局限性1.数学研究小论文：
对Jordan容度理论，撰写文献综述，运用恰当研究方法开展研究，考察学生反思与创新意识。
1.通过学习实变函数,初步体会和了解实变函数课程中展现的现代数学的基本研究方法、论述方法。
1.平时作业:
2.期末考试：
（二）考核方式与成绩评定标准（考核方式可以有大作业、小论文、期中考试、平时作业、期末考试、成长记录档案袋，思维导图作业，课堂表现（平时提问、出勤）等。
考试课过程性评价40%，期末60%；
考查课过程性评价100%）
平时成绩（40%）
课堂发言课程评价体系期末成绩（60%）
课堂表现数学教育研究小论文小组协作档案袋概念图作业教学设计作品多媒体课件作品小组讨论作业发现与提出问题作业1.平时表现考核与评价标准考核项目基本要求评价标准成绩比例（%）
优秀良好合格不合格平时表现课程目标1（支撑毕业要求1.4）
课堂表现积极；
课堂提问中基本概念正确、论述逻辑清楚；
按时交作业，作业正确，层次分明，语言规范。
课堂表现较积极；
课堂提问中基本概念正确、论述基本清楚；
按时交作业，作业正确，语言较规范。
课堂表现一般；
课堂提问中基本概念较正确、论述逻辑基本清楚；
按时交作业，作业基本正确，书写基本规范。
课堂表现不好；
课堂提问中不能正确回答问题；
或者基本概念不清楚、论述不清楚。
不能按时交作业。
30课程目标2（支撑毕业要求3.2）
课堂提问中能够正确应用相关知识对设计方案进行分析^p和评价；
按时交作业，作业正确，逻辑清楚；
层次分明，语言规范。
课堂提问中能够较正确应用相关知识对设计方案进行分析^p和评价；
按时交作业，作业正确；
语言规范。
课堂提问中能够基本对应用相关知识对设计方案进行分析^p和评价；
按时交作业，作业基本正确；
书写规范。
课堂提问中不能对设计方案进行分析^p和评价；
不按时交作业。
10课程目标3（支撑毕业要求10.3）
对英文教材中的专业词汇有很好的掌握，能准确翻译和理解相关概念。
对知识点有很好的掌握。
对英文教材中的专业词汇有较好的掌握，能较准确翻译和理解相关概念。
对知识点有较好的掌握。
部分掌握英文教材中的专业词汇，能较准确翻译和理解相关概念。
基本掌握关键知识点。
对教材中的专业词汇和概念不清楚，不理解，不能掌握关键知识点。
50课程目标4（支撑毕业要求11.1）
按时交作业，能够正确掌握项目管理方法和工作量评估方法，计算准确；
层次分明，书写规范。
按时交作业，能够较准确掌握项目管理方法和工作量评估方法，计算较准确；
按时交作业，能够基本准确掌握项目管理方法和工作量评估方法，计算基本准确；
课堂表现不好，不能掌握项目管理方法和工作量评估方法的计算过程。
102.大作业考核与评价标准考核项目基本要求评价标准成绩比例（%）
优秀良好合格不合格大作业课程目标1（支撑毕业要求1.4）
对研究的实际系统的需求获取充分，功能划分合理，质量需求分析^p正确；
在测试过程中能够正确应用测试方法编写测试用例。
对研究的实际系统的需求获取较充分，功能划分较合理，质量需求分析^p正确；
在测试过程中能够较正确的应用测试方法编写测试用例。
对研究的实际系统的需求获取基本充分，功能划分基本合理，质量需求分析^p基本正确；
在测试过程会用某种测试方法编写部分测试用例。
对研究的实际系统的需求获取不充分，功能划分不合理，质量需求分析^p不正确；
不会应用测试方法生成测试用例。
16.5课程目标2（支撑毕业要求3.2）
对研究的实际系统能够进行正确的技术和经济可行性分析^p，程序设计框架合理，模块划分合理。
对研究的实际系统能够进行较正确的技术和经济可行性分析^p，程序设计框架较合理，模块划分较合理。
对研究的实际系统能够进行基本的技术和经济可行性分析^p，程序设计框架基本合理，模块划分基本合理。
对研究的实际系统不能进行技术和经济可行性分析^p，程序设计框架不合理，模块划分不合理。
16.5课程目标5（支撑毕业要求11.3）
按时完成项目选择和确定；
能按照XX工程的实施过程编写相关文档；
文档规范，建模工具使用正确。
文档规范，建模工具使用较正确。
基本能够按时完成项目选择和确定；
能基本按照XX工程的实施过程编写相关文档；
文档基本规范，建模工具使用基本正确。
不能按时选择和确定项目；
相关文档编写过程不完整；
建模工具使用错误。
673.研究小论文考核与评分标准
（1）评价指标：
论文格式，【参考文献】：
^p，文章结构，内容表述
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