华罗庚数学思维训练导引三年级Word下载.docx

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=6472+5319+9354+6839-1996*4

=6472+5319+9354+6839-7984

=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）

=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）

=（6472+5319+6839）+1300+70

=18630+1370

=20000

在一道简算的大题中，有可能有好几个地方可以简便运算，一些技巧性的题目，简算会在过程中体现出来，而不让你一眼看出，大家要在解题过程中找出简算步骤，这就需加强练习，方可得心应手。

4．

（1）在加法算式中，如果一个加数增加50，另一个加数减少20，计算和的增加或减少量？

增加30

此题并非很难，只是初学者会认为缺少条件。

其实这与两个加数与和的本身值是无关的。

因为计算的只是“和的增加或减少量”。

如果我们用“A”来代替一个加数，B代表另一个加数，（A+B）代表和

（A+50）+（B-20）

=（A+B）+30

某些题目的某些条件并不是我们所需知的，用字母或符号代表这些不需知的未知数是我们必须学会的技巧。

（2）在加法算式中，如果被减数增加50，差减少20，那么减数如何变化？

增加70

与上题一样。

其实减数变化与被减数、减数和差的本身值是无关的。

我们用“A”来代表被减数，B代表减数，（A-B）代表差

减数=被减数-差

=（A+50）-[（A-B）-20]

=B+70

用字母表示数的方法用在这里很合适。

一些无需知的未知数在运算过程中就会抵消，这样会给计算带来方便。

5．计算：

1＋2＋1

1＋2＋3＋2＋1

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1

…………………

根据上面四式计算结果的规律，求：

1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1的值。

通过观察，我们发现：

所有数的和＝中间数×

中间数

1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1

＝193×

193

＝37249

这个数列我们特别讲一个很复杂的方法，但很锻炼大家的思维的。

设1式.............1+2+1

2式.............1+2+3+2+1

3式.............1+2+3+4+3+2+1

4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1

5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1

……

观察发现1式与2式差5，2式与3式差7，3式与4式差9，4式与5式差11……

又通过观察发现每两式相差的数都相差2（例如：

1式与2式差5，2式与3式差7，7-5=2；

再例如：

2式与3式差7，3式与4式差9，9-7=2）

再观察1式与2式差55与2式中的3差2

2式与3式差77与3式中的4差3

3式与4式差99与4式中的5差4

4式与5式差1111与5式中的6差5

观察上面这一步最后相差的都是式子中间的数减1

所以最后一个式子（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）与它上面一个式子（1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1）的差为：

193+（193-1）=385

所以（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）

=（1+2+1）+（5+7+9+11+13+15+17+...........+385）

=4+390*[（385-5）/2+1]/2

=4+390*191/2

=4+37245

=37249

当然，这样的方法考试不可取，平常炼一下，多见识几种方法还是有好处的。

6．请从3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。

9、77、231、693、985。

首先，我们观察数的特征，要使得5个数的和恰好是1995，那么我们需要通过求出3到4个数的和，使它们接近1955，剩下的比较小的差异通过一两个数进行“微小调节”。

通过我们观察数的特征，我们将几个较大的数相加，得到：

985+693+231=1909

1995-1909=86

这样比1995还相差86

所以我们只要在剩下的数里面寻找两个数的和是86即可

77+9=86

所以这五个数是：

一些题目往往不一定要按顺序思考，利用从相反方向出发的原则也是可以解一些灵活性较强的题的。

比如这个题目我们还可以用这12个数的和减去1995，用差来作为寻找的目标。

7．题目：

从1999这个数里减去253以后，再加上244，然后再减去253，再加上244......，这样一直减下去，减到第多少次，得数恰好等于0？

195次

这道题目看似简单，因为一个循环减少9，有的同学认为只要求1999能被9整除多少次即可。

其实还隐藏着一个问题：

如果1999这个数在某一点也就是在减253加244过程中有可能运算完只剩253，而减去253后就等于0。

我们来实验一下所述情况有没有可能发生

1999-253=1746

1746/（253-244）=194

194+1=195

恰好如我们所猜测的。

1746/（253-244）=194次

但是最后一次减去也是一次运算：

194+1=195次

结果正如分析所述，194+1的这个1就代表前面所减的253的那次。

为了需要，我们先减去了253，这样算起来会比后减253更方便。

《华罗庚学校思维训练导引》三年级第二节

1、有20人修筑一条公路，计划15天完成，动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。

如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？

19天

此题因中途抽出5人植树，修路的总人数发生变化。

但前3天并未变化。

我们并不需知道每人每天的工作量，不妨把它设为“1”，那么这条路的工作总量就是20×

15=300，3天后已经完成的工作量是20×

3=60，还剩下300-60=240的工作量由剩下的15人完成

根据分析可以得到：

我们假设每人每天的工作量为1，那么这条路的工作总量就是15×

20=300；

3天后已经完成的工作量是20×

3=60，3天后还剩下的工作量为300-60=240；

接下来时间里每天的工作人数为15人，所以还需要240÷

15=16天

16+3=19天

解此种类型的题目时，要抓住工作的总量的变化关系，找准需要设的单位1。

需要提醒的是：

此题不要忘了加上前3天。

2、2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。

买排球、足球、网球各1个的价钱可以买1个篮球。

那么，买一个篮球的价钱可以买多少个网球？

6个

此种题目只是一个思维的过程。

可以拿字母或符号来代表各种不同类型的球的价钱。

但在这里我们只介绍“口算法”，题目条件给得比较?

嗦，口算要求对其中的关系必须非常清楚，那么，我们就要从表示方式上简化。

∵2篮=6排 

3篮=6足

∴1排+1足+1网=1篮==〉 

6排+6足+6网=6篮

带入6排=2篮 

6足=3篮

∴2篮+3篮+6网=6篮

==〉1篮=6网

∴买1个篮球的价钱可以买6个网球

根据分析可以得到（略）。

这种类型的题目我们通常采用简单的式子来表示复杂的关系。

这样容易清楚地看到它们之间的联系。

从而达到简化、节约时间的目的。

3、三年级一斑选举班长，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选一人。

已知全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票。

如果得票比其他两人都多的候选人将成为班长，甲最少再得多少张票就能够保证当选？

4张

此题隐含的一个条件是：

“每人只能投一张票”知道这个条件后，这道题就能轻易破解了。

先求出目前已投的票数（17+16+11=44张），再求出还剩的票数（52-44=8张），甲想当班长，考虑最坏的情况：

剩下的8张票全落在甲、乙手中，甲必须得到多少才比乙多呢？

甲只要比乙多一票即可，目前17>

16，所以剩下的8票，甲至少要得到4票才能保证比乙多。

17+4>

16+4

如果甲得到3票，就有可能和乙竞选成平手（17+3=16+5）。

所以当甲再获得4张选票时，将能够保证当选班长。

剩下票数=52-17-16-11=8票，所以甲乙最多共得票=17+16+8=41

所以甲至少要得到（41+1）/2=21张票，而甲已经有17张票，

那么甲最少再得21-17=4张票就能够保证当选。

4.甲乙两队共同挖一条长8250米得水渠，乙队每天比甲队多挖150米。

已知先由甲队挖4天后，余下的由两队共同挖了7天，便完成了任务。

那么甲队每天挖多少米？

400

详解1：

设甲队每天挖X米，乙队每天挖（X+150）米；

根据水渠全长8250米得

4X+7X+7（X+150）=8250

18X=7200

X=400

∴甲队每天挖400米

详解2：

“已知先有甲对挖4天后，余下的由两对共挖7天”的意思就是：

甲做11天+乙独做7天。

而这句话又可以换一种理解：

总的工作量的=甲做11天+（甲做7天+150*7）

（8250-150*7）/（11+7）

=7200/18

=400（米）

理解一句话的方式不同，很有可能会带来几种不同的效果.

5、某单位举行迎春茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。

那么原来每箱苹果重多少千克？

32千克

4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，一共取走24*4=96（千克）；

结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量说明取走的96千克相当于原来4-1=3箱，故原来每箱96/3=32千克。

24×

4÷

3

=32（千克）

6、甲有桌子若干张，乙有椅子若干把。

如果乙用全部椅子换回数量同样多的桌子，则需补给甲320元；

如果乙不补钱，就要少换回5张桌子，已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元，那么乙原有椅子多少把？

20把

通过：

“则需补给甲320元；

如果乙不补钱，就要少换回5张桌子”说明5张桌子价值320元，可以求出每张桌子的价钱。

再通过这句话：

“已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元”可以求出椅子的价钱。

同时320元还是每张桌子比每把椅子多的钱数乘以乙原有椅子的把数的积。

所以，只需用320除以桌子的钱数减椅子钱数的差就能求出乙原有椅子多少把了。

根据分析可知，每张桌子的价钱：

320/5=64（元）故每张桌子64元

（64×

3+48）÷

5=48（元） 

故每把椅子48元

320/（64-48）=20（把） 

乙原有椅子20把

此题之关键在于320这个数，320包含了两个不同的含义，正是这两个不同的含义，使我们找到了解此题的。

这也正是巧妙之处。

7、实验室里有一只特别的钟，一圈共有20格，每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格。

今天早上8时的时候，指针恰好从0跳到9，问昨天晚上8时整的时候指针指着几？

2

大家不要被题目所迷糊，此题并非很难，只是叙述复杂，难以理解。

这段话的意思就是：

一个钟有20个格，每过7分钟，跳9个格。

在第6分59秒前，并不跳。

所以，只要求出一共12小时跳多少格，再除以这个钟的格数（20）就可以了。

从昨晚8时到今天早上8时，共12个小时60×

12=720（分）

720÷

7=102（次）……6（分）

102×

7=714（分）

所以在714分钟前（即昨晚8：

06）一共跳了102次

减去今天早上8时那一次，即101次

又因为指针每跳20次就回到原处

所以101/20=5（次）……1（次）

所以在昨晚8：

06时，指针跳到11处

所以昨天晚上8时整的时候指针还没有跳，指针指着11-9=2。

《华罗庚学校思维训练导引》三年级第三节

三年级上学期第03讲，应用题第2讲 

和差倍问题之一 

（偶数题）

2．三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。

要点：

先把一，二小组看成一个整体！

把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。

这也是一个和差问题。

解：

（180＋20）÷

2＝100（人）――第一，二小组的人数

（100－2）÷

2＝49（人）――第一小组的人数

综合：

［（180＋20）÷

2－2］÷

　　　　　　　　　　　　答：

第一小组的人数是49人。

4．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？

这是一个和倍问题。

减数是差的3倍，那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减数与差的和就是差的8倍，应该等于120，所以差＝120÷

8＝15。

120÷

（1＋3＋1＋2）＝15 

答：

差等于15。

6．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。

问这些学生中有多少名男生？

这是和差问题。

我们可以这样想：

如果这个班再多6个女生的话，最后一个女生就应该只与1个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7－1）6个人！

男生人数就是：

（50＋6）÷

2＝28（人）。

男生人数是2 

8人。

注：

还有一种解法，7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（人）

我的分析方法还不能说得很清楚。

请大家指正。

8．甲、乙、丙共有100本课外书。

甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，余数也都是1。

那么乙有多少本书？

这是和倍问题。

看懂题后可以这样理解，“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？

”。

即：

乙是1倍；

甲是乙的5倍多1；

丙是乙的（5×

5）倍多（1×

5＋1）6。

那么100减去（1＋6）的差对应（1＋5＋5×

5）倍，这样可求出乙是多少。

［100－1－（1×

5＋1）］÷

（1＋1×

5＋1×

5×

5）＝91÷

31＝3（本） 

乙有3本书。

10．有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件？

如果我们把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×

2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就刚好是1＋4＋2＋2＝9倍（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108÷

9＝12件，第二堆就是12×

4＝48件，第三堆就是12×

2＋2＝26件，第四堆就是12×

2－2＝22件。

（108＋2－2）÷

（1＋2×

2＋2＋2）＝108÷

9＝12（件）――第一堆

12×

2×

2＝48（件）――第二堆；

2＋2＝26（件）――第三堆；

2－2＝22（件）――第四堆；

每堆各有12件、48件、26件、22件。

12．用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。

如果：

车÷

马＝2，炮÷

车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？

这是一个差倍问题。

依题有，马是1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与马的倍数差是（2×

4－1）7倍，而炮与马的两数差是56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。

56÷

（8－1）＝8――马；

8×

2＝16――车

16×

4＝64――炮

8＋16＋64＝88――车＋马＋炮 

车、马、炮的和是88

14．甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。

问：

甲、乙原计划每天自学多少分钟？

差倍问题。

原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（30＋30）60分钟，现在的差数差是（6－1）5倍，这样可求出现乙每天自学的时间，加上30分钟，可得原计划每天自学时间。

（30＋30）÷

（6－1）＋30＝12＋30＝42（分钟） 

原计划每天自学42分钟。

《华罗庚学校思维训练导引》三年级第四节

三年级上学期第4讲，应用题第3讲　　　盈亏问题　

【教学内容】

　　盈亏类型以及用两种相似的条件限制同一对象的应用题．解题的基本步骤为先恰当设定单位，然后通过比较而求出一个单位对应的具体数值。

【典型问题】

2．少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；

如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个

树坑，就恰好挖完所有的树坑。

请问，共有多少名少先队员？

共挖了多少树坑？

关键在于条件的转换，把“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”转换成“每人挖6个树坑，还差2×

（6－4）个树坑。

”则本题成为“一盈一亏”的盈亏问题；

对比两个条件，因为每人多挖（6－5）一个；

所以就要多挖［3＋2×

（6－4）］个，这样就可求出人数，继而求出树坑数。

在这里我们把两个条件中每人挖的差（6－5）叫分差，因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。

本题中：

总差÷

分差＝人数；

推广可得：

两次分配的差叫分差，

总差分3种：

一盈一亏中：

盈＋亏＝总差；

在双盈或双亏中：

大数－小数＝总差；

分差＝份数　　　　份数在不同的题目中表示不同的意思。

［3＋2×

（6－4）］÷

（6－5）＝7（人）

　7×

5＋3＝38（个）--树坑数　　　　　　　　　　　　答：

共挖了38个树坑。

4．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。

问小明带了多少钱？

关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，

解1：

都转换成钢笔；

买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×

8－6）90角，这是双亏：

分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；

这样就可求出1支钢笔多少钱；

继而求出小明带了多少钱。

　［（12×

8－6）－15］÷

（8－5）＝75÷

3＝25（角）--钢笔的价钱

　　25×

5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

解2：

都转换成圆珠笔；

买5支圆珠笔多（12×

5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。

［（12×

5－15）－6］÷

（8－5）＝39÷

3＝13（角）--圆珠笔的价钱

　　13×

8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

6．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；

如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加

10个，问这批学生可能有多少人？

解答：

关键在于条件的理解，

每个寝室安排8个人，要用33个寝室；

因没说盈或亏，

我们只能认为至少有：

（33－1）×

8＋1＝257（人）；

至多有：

33×

8＝264（人）；

每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，

我们也只能认为至少有：

（33＋10－1）×

（8－2）＋1＝253（人）；

（33＋10）×

（8－2）＝258（人）；

根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。

　　（至少取大数，至多取小数，）

8．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。

如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；

每人5本，书不够。

如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；

每人4本，书不够。

问第二组有多少人？

因分给第一组，那么每人4本，有剩余；

说明第一组的人数不到48÷

4＝12人，多于（48÷

5＝9…3）9个人，即10到11人；

同理，第二组不到48÷

3＝16人，又多与48÷

4＝12人，即13到15人，

因15－10＝5（人）；

由此可知：

第一组是10人，第二组是15人。

10．用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？

绳长多少米？

绳三折，井外余2米，说明绳子比井深的3倍多（3×

2）6米；

绳四折，还差1米不到井口，说明绳子比

井深的4倍少（4×

1）4米，总差：

（因多1折，就差）；

（3×

2）＋（4×

1）；

分差：

（4－3）；

这样可求出井深。

［（3×

1）］÷

（4－3）＝10÷

1＝10（米）--井深

　10×

3＋2×

3＝36（米）--绳长

12．有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；

如果减少1条船，正好每条

船坐9个人。

这个班共有多少名同学？

条件可以这样理解，每条船坐6人，多6人；

每条船坐9人，差9人。

（9＋6）÷

（9－6）＝5（条）；

6＋6＝36（人）

14．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。

花球原价1元钱2个，白球