智康行程综合三Word文档下载推荐.docx

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整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；

60个小格，每

个小格为6度。

分针每分钟走1小格，每分钟走6度

时针每分钟走

小格，每分钟走0.5度

但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

三、线段示意图法在多人多次相遇中的应用

线段示意图，特别是折线示意图是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

【重点难点解析】

1.比例解行程问题

2.时钟问题

3.用枚举或线段画图解行程问题

【习题精讲】

【例1】

（难度等级※※）

有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；

再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【分析与解】

在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；

当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“

”，于是需要时间：

．

所以，再过

分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过

分钟，时针与分针第二次重合．

标准的时钟，每隔

分钟，时针与分针重合一次．我们来熟悉一下常见钟表（机械）的构成：

一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；

小刻度有60个，即为分钟数．

所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟（1小时），时针的速度为分针速度的

．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“

”．

【例2】

8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?

8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过40-x格，所以时针、分针共走过x+（40-x）=40格．

于是，所需时间为

分钟，即在8点

分钟为题中所求时刻．

【例3】

某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为1100，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是1100．那么此人外出多少分钟?

【分析与解】

如下示意图，开始分针在时针左边1100位置，后来追至时针右边1100位置．

于是，分针追上了1100+1100=2200，对应

格．

所需时间为

分钟．所以此人外出40分钟．

评注：

通过上面的例子，看到有时是将格数除以

，有时是将格数除以

，这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；

有时格数是分针追上时针的，对应速度差．

对于这个问题，大家还可以将题改为:

“在9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是1100”,答案还是40分钟．

【例4】

A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近（从后面追上也算作相遇）？

最近距离是多少？

甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在30分钟内，两人共行了（15060）306300米，相当于6个全程又300米，由图可知，第3次相遇时距离A地最近，此时两人共走了3个全程，即1000×

3=3000千米，用时3000÷

（150+60）=100/7分钟，甲行了60×

100/7=6000/7米，

相遇地点距离B地1000-6000/7143米．

【例5】

（难度等级※※※※）

从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的2千米处有个铁道路口，是每关闭3分钟又开放3分钟的．还有在第4千米及第6千米有交通灯，每亮2分钟红灯后就亮3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？

【分析与解】

画出反映交通灯红绿情况的st图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是0.5千米／分钟，此时恰好经过第6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要24分钟．

【例6】

A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是多少？

如图，箭头表示水流方向，ACE表示甲船的路线，BDF表示乙船的路线，两个交点M、N就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度相同．那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了（100－20）÷

2=40千米和100－40=60千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:

40=3:

2．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为4÷

（3－2）×

3=12米/秒，那么两船在静水中的速度为12－2=10米/秒．

【例7】

（难度等级※※※）

甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？

第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了AC这一段路；

第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从C地到B地再到C地，也就是2个BC段．由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以AC的长等于2倍BC的长．而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了2个AC段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为2AC:

2BC2:

1，所以甲车的速度是乙车速度的2倍．

【例8】

小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是

，因此，走上坡路需要的时间是

，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为

，所以，上坡速度是平路速度的

倍．

【例9】

一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？

出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的

前进，最终到达目的地晚1.5小时，所以后面以原速的

前进的时间比原定时间多用

小时，而速度为原来的

，所用时间为原来的

，所以后面的一段路程原定时间为

小时，原定全程为4小时；

出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的

前进，则到达目的地仅晚1小时，类似分析可知又前进90公里后的那段路程原定时间为

小时．所以原速度行驶90公里需要1.5小时，而原定全程为4小时，所以整个路程为

公里．

【例10】

王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；

返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，于是提前1小时40分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷

10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：

1.5÷

1/10=15（小时）；

按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷

7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：

5/3÷

1/7=35/3（小时），所以，原计划的速度为：

84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：

84×

15=1260（千米）．

【例11】

一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？

车速提高20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为

小时；

如果按原速行驶一段距离后再提速30%，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为

小时．所以前面按原速度行使的时间为

小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的

【例12】

上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；

相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；

8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点几分．

甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10×

3=30分钟，所以前后两段路程的比为20:

30=2:

3，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分．

【例13】

欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:

40，欢欢从家出发骑车去学校，7:

46追上了一直匀速步行的贝贝；

看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；

欢欢8:

00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．

欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，她调头后速度提高到原来的2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了20-6-3-6=5分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走14×

（6÷

4）=21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的．

【例14】

A、B两地相距950米．甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走40米；

乙跑步，每分钟行150米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近？

半小时内，两人一共行走（40＋150）×

30=5700米，相当于6个全程，两人每合走2个全程就会有一次相遇，所以两人共有3次相遇，而两人的速度比为40:

150=4:

15，所以相同时间内两人的行程比为4:

15，那么第一次相遇甲走了全程的

，距离B地11/19个全程；

第二次相遇甲走了16/19个全程，距离B地3/19个全程；

第三次相遇甲走了24/19个全程，距离B地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近．

【例15】

A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为（7200－2400）:

2400=2:

1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2:

3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的

．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的速度为

（米/分）．

【例16】

甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；

如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？

甲、乙两人速度比为

，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的

，乙走了全程的

．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的

，甲行了全程的

．由于甲、乙速度比为4:

3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了

，所以甲停留期间乙行了

，所以A、B两点的距离为

（米）．

【例17】

甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:

3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？

两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4:

3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；

第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了

个全程，与第一次相遇地点的距离为

个全程．所以A、B两地相距

（千米）．

【例18】

甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:

4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？

两车相遇时甲走了全程的5、9，乙走了全程的4、9，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为

，所以甲到达B地时，乙又走了

，距离A地

，所以A、B两地的距离为

【例19】

甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在A、B之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离B地1800米，第三次相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地多少米？

设甲、乙两人的速度分别为

、

，全程为s，第二次相遇的地点距离B地x米．

由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B地的距离为

，那么第一次相遇的地点到B地的距离与全程的比为

；

两人第一次相遇后，甲调头向B地走，乙则继续向B地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离，即1800米．根据上面的分析可知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到B地的距离的比为

类似分析可知，第三次相遇的地点到B地的距离与第二次相遇的地点到B地的距离的比为

那么

，得到

，故第二次相遇的地点距离B地1200米．

【例20】

甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；

甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

如图所示，假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处．根据题意可知DE210米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么

，可见

．那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的5/7，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和（CD加CE）是前一段时间内乙、丙所走的路程之和（AC加BC，即全程）的5/7，所以

，而

，可得CD280，CE70．

相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280÷

704倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为240÷

460（米/分），即乙每分钟走60米．当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的

，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么

当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的3/7，为

米．

【作业】

1.王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒.而闹钟却比标准时

间每小时慢30秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？

【答案】6秒

2.甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？

【答案】17

3.A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人第几次相遇时距A地最近？

【答案】第二次，800米

4.小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2千

米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到A点上方500米的地方．如

果他下山的速度是每小时4千米，下山比上山少用了52.5分钟．那么，他往返共走

了多少千米？

【答案】11千米

5.甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小

时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．

【答案】20千米

挑战自己（难度等级※※※※※）

一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇多少千米？