高中数学所有的公式Word格式.docx
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(1)、,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;
(2)、,且q≠>
p,则P是q的充分不必要条件;
(3)、p≠>
p,且,则P是q的必要不充分条件;
4、p≠>
p,且q≠>
p,则P是q的既不充分又不必要条件。
7函数单调性:
增函数:
(1)、文字描述是:
y随x的增大而增大。
(2)、数学符号表述是:
设f(x)在xD上有定义,若对任意的,都有
成立,则就叫f(x)在xD上是增函数。
D则就是f(x)的递增区间。
减函数:
y随x的增大而减小。
成立,则就叫f(x)在xD上是减函数。
D则就是f(x)的递减区间。
单调性性质:
(1)、增函数+增函数=增函数;
(2)、减函数+减函数=减函数;
(3)、增函数-减函数=增函数;
(4)、减函数-增函数=减函数;
注:
上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性:
函数单调
单调性
内层函数
↓
↑
外层函数
复合函数
等价关系:
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;
如果,则为减函数.
8函数的奇偶性:
(注:
是奇偶函数的前提条件是:
定义域必须关于原点对称)
奇函数:
定义:
在前提条件下,若有,
则f(x)就是奇函数。
性质:
(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x>
0和x<
0上具有相同的单调区间;
(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)=0.
偶函数:
在前提条件下,若有,则f(x)就是偶函数。
(1)、偶函数的图象关于y轴对称;
(2)、偶函数在x>
0上具有相反的单调区间;
奇偶函数间的关系:
(1)、奇函数·
偶函数=奇函数;
(2)、奇函数·
奇函数=偶函数;
(3)、偶奇函数·
偶函数=偶函数;
(4)、奇函数±
奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)
(5)、偶函数±
(6)、奇函数±
偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
9函数的周期性:
对函数f(x),若存在T0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,其中,T是f(x)的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T;
(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为2;
(3)、,此时周期为。
10常见函数的图像:
11对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;
两个函数与的图象关于直线对称.
12分数指数幂与根式的性质:
(1)(,且).
(2)(,且).
(3).
(4)当为奇数时,;
当为偶数时,.
13指数式与对数式的互化式:
.
指数性质:
(1)1、;
(2)、();
(3)、
(4)、;
(5)、;
指数函数:
(1)、在定义域内是单调递增函数;
(2)、在定义域内是单调递减函数。
指数函数图象都恒过点(0,1)
对数性质:
(1)、;
(2)、;
(3)、;
(5)、
(6)、;
(7)、
对数函数:
(2)、在定义域内是单调递减函数;
对数函数图象都恒过点(1,0)
(3)、
(4)、或
14对数的换底公式:
(,且,,且,).
对数恒等式:
(,且,).
推论(,且,).
15对数的四则运算法则:
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
(2);
(3);
(4)。
16平均增长率的问题(负增长时):
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
17等差数列:
通项公式:
(1),其中为首项,d为公差,n为项数,为末项。
(2)推广:
(3)(注:
该公式对任意数列都适用)
前n项和:
(1);
其中为首项,n为项数,为末项。
(2)
(4)(注:
常用性质:
(1)、若m+n=p+q,则有;
若的等差中项,则有2n、m、p成等差。
(2)、若、为等差数列,则为等差数列。
(3)、为等差数列,为其前n项和,则也成等差数列。
(5)1+2+3+…+n=
等比数列:
(1),其中为首项,n为项数,q为公比。
(1)(注:
(2)(注:
(3)
若的等比中项,则有n、m、p成等比。
(2)、若、为等比数列,则为等比数列。
18分期付款(按揭贷款):
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
19三角不等式:
(1)若,则.
(2)若,则.
(3).
20同角三角函数的基本关系式:
,=,
21正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
22和角与差角公式
;
;
.
=
(辅助角所在象限由点的象限决定,).
23二倍角公式及降幂公式
.
24三角函数的周期公式
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0)的周期;
函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期.
三角函数的图像:
25正弦定理
:
(R为外接圆的半径).
26余弦定理:
27面积定理:
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2).
28三角形内角和定理:
在△ABC中,有
29实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么:
(1)结合律:
λ(μ)=(λμ);
(2)第一分配律:
(λ+μ)=λ+μ;
(3)第二分配律:
λ(+)=λ+λ.
30与的数量积(或内积):
·
=||||。
31平面向量的坐标运算:
(1)设=,=,则+=.
(2)设=,=,则-=.
(3)设A,B,则.
(4)设=,则=.
(5)设=,=,则·
=.
32两向量的夹角公式:
(=,=).
33平面两点间的距离公式:
=(A,B).
34向量的平行与垂直:
设=,=,且,则:
||=λ.(交叉相乘差为零)
()·
=0.(对应相乘和为零)
35线段的定比分公式:
设,,是线段的分点,是实数,且,则
().
36三角形的重心坐标公式:
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
37三角形五“心”向量形式的充要条件:
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心.
(5)为的的旁心.
38常用不等式:
(1)(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4).
(5)(当且仅当a=b时取“=”号)。
39极值定理:
已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
(3)已知,若则有
(4)已知,若则有
40一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;
如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.即:
;
41含有绝对值的不等式:
当a>
0时,有
或.
42斜率公式:
(、).
43直线的五种方程:
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).
(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式()(、()).
两点式的推广:
(无任何限制条件!
)
(4)截距式(分别为直线的横、纵截距,)
(5)一般式(其中A、B不同时为0).
直线的法向量:
,方向向量:
44夹角公式:
(1). (,,)
(2).(,,).
直线时,直线l1与l2的夹角是.
45到的角公式:
(1).(,,)
直线时,直线l1到l2的角是.
46点到直线的距离:
(点,直线:
).
47圆的四种方程:
(1)圆的标准方程.
(2)圆的一般方程(>0).
(3)圆的参数方程.
(4)圆的直径式方程(圆的直径的端点是、).
48点与圆的位置关系:
点与圆的位置关系有三种:
若,则点在圆外;
点在圆上;
点在圆内.
49直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种():
50两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,,则:
51椭圆的参数方程是. 离心率,
准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离(焦准距)。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:
52椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
,;
53椭圆的的内外部:
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
54椭圆的切线方程:
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
(3)椭圆与直线相切的条件是.
55双曲线的离心率,准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离(焦准距)。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:
焦半径公式,,
两焦半径与焦距构成三角形的面积。
56双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1)若双曲线方程为渐近线方程:
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为
(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
(4)焦点到渐近线的距离总是。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
(3)双曲线与直线相切的条件是.
58抛物线的焦半径公式:
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
59二次函数的图象是抛物线:
(1)顶点坐标为;
(2)焦点的坐标为;
(3)准线方程是.
60直线与圆锥曲线相交的弦长公式
(弦端点A,由方程消去y得到
为直线的倾斜角,为直线的斜率,.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径:
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为两平面的法向量平行。
64向量的直角坐标运算:
设=,=则:
(1)+=;
(2)-=;
(3)λ=(λ∈R);
(4)·
=;
65夹角公式:
设=,=,则.
66异面直线间的距离:
(是两异面直线,其公垂向量为,是上任一点,为间的距离).
67点到平面的距离:
(为平面的法向量,,是的一条斜线段).
68球的半径是R,则其体积,其表面积.
69球的组合体:
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为
(正四面体高的),外接球的半径为(正四面体高的).
70分类计数原理(加法原理):
分步计数原理(乘法原理):
71排列数公式:
==.(,∈N*,且).规定.
72组合数公式:
===(∈N*,,且).
组合数的两个性质:
(1)=;
(2)+=.规定.
73二项式定理;
二项展开式的通项公式.
的展开式的系数关系:
;
74互斥事件A,B分别发生的概率的和:
P(A+B)=P(A)+P(B).
个互斥事件分别发生的概率的和:
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
75独立事件A,B同时发生的概率:
P(A·
B)=P(A)·
P(B).
n个独立事件同时发生的概率:
P(A1·
A2·
…·
An)=P(A1)·
P(A2)·
P(An).
76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率:
77数学期望:
数学期望的性质
(1).
(2)若~,则.
(3)若服从几何分布,且,则.
78方差:
标准差:
方差的性质:
(1);
(2)若~,则.
方差与期望的关系:
79正态分布密度函数:
,
式中的实数μ,(>
0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
对于,取值小于x的概率:
80在处的导数(或变化率):
瞬时速度:
瞬时加速度:
81函数在点处的导数的几何意义:
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
82几种常见函数的导数:
(1)(C为常数).
(2).(3).
(4). (5);
(6);
83导数的运算法则:
(1).
(2).(3).
84判别是极大(小)值的方法:
当函数在点处连续时,
(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.
85复数的相等:
.()
86复数的模(或绝对值)==.
87复平面上的两点间的距离公式:
(,).
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程,
①若,则;
②若,则;
③若,它在实数集内没有实数根;
在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1.研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);
已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,|x|,y},且A=B,则x+y=
2.研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R},求M∩N;
与集合M={(x,y)|y=x2,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}求M∩N的区别。
3.集合A、B,时,你是否注意到“极端”情况:
或;
求集合的子集时是否忘记.例如:
对一切恒成立,求a的取植范围,你讨论了a=2的情况了吗?
4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足条件的集合M共有多少个
5.解集合问题的基本工具是韦恩图;
某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法?
6.两集合之间的关系。
7.(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B);
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表:
(真且真,同假或假)
p
q
P且q
P或q
真
假
9、命题的四种形式及其相互关系:
互 逆
互 互
互 为 互
否 逆 逆 否
否 否
否 否
否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假;
逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗?
映射f:
A→B中,A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性,哪几种对应能够成映射?
11、函数的几个重要性质:
①如果函数对于一切,都有或f(-x)=f(x),那么函数的图象关于直线对称.
②函数与函数的图象关于直线对称;
函数与函数的图象关于直线对称;
函数与函数的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数在区间上是递增函数,则在区间上也是递增函数.
④若偶函数在区间上是递增函数,则在区间上是递减函数.
⑤函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的;
函数(的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的;
函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;
函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗?
13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?
函数y=的定义域是;
复合函数的定义域弄清了吗?
函数的定义域是[0,1],求的定义域.函数的定义域是[],求函数的定义域
14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗?
在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?
(取值,作差,判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
16、函数的单调区间吗?
(该函数在和上单调递增;
在
和上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!
17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?
(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论呀.
18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?
()
19、你还记得对数恒等式吗?
20、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”,你是否注意到必须;
当a=0时,“方程有解”不能转化为.若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?
二、三角、不等式
21、三角公式记住了吗?
两角和与差的公式________________;
二倍角公式:
________________;
解题时本着“三看”的基本原则来进行:
“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:
巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
22、在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?
正切函数在整个定义域内是否为单调函数?
你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
23、在三角中,你知道1等于什么吗?
(
这些统称为1的代换)常数“的种种代换有着广泛的应用.(还有同角关系公式:
商的关系,倒数关系,平方关系;
诱导公试:
奇变偶不变,符号看象限)
24、在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换.(如等)
25、你还记得三角化简题的要求是什么吗?
项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子,一定要算出值来)
26、你还记得三角化简的通性通法吗?
(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角,异名化同名,高次化低次);
你还记得降幂公式吗?
cos2x=(1+cos2x)/2;
sin2x=(1-cos2x)/2
27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?
29、辅助角公式:
(其中角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.
30、三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?
能写出他们的单调区、对称轴,取最值时的x值的集合吗?
(别忘了kZ)
三角函数性质要记牢。
函数y=k的图象及性质:
振幅|A|,周期T=,若x=x0为此函数的对称轴,则x0是使y取到最值的点,反之亦然,使y取到最值的x的集合为,当时函数的增区间为,减区间为;
当时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法:
令依次为求出x与y,依点作图
31、三角函数图像变换还记得吗?
平移公
(1)如果点P(x,y)按向量平移至P′(x′,y′),则
(2)曲线f(x,y)=0沿向量平移后的方程为f(x-h,y-k)=0
32、有关斜三角形的几个结论:
(1)正弦定理:
(2)余弦定理:
(3)面积公式
33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及意义?
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是.
②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.
34、不等式的解集的规范书写格式是什么?
(一般要写成集合的表达式)
35、分式不等式的一般解题思路是什么?
(移项通分,分子分母分解因式,x的系数变为正值,奇穿偶回)
36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?
(一般是根据定义分类讨论)
37、利用重要不等式以及变式等求函数的最值时,你是否注意到a,b(或a,b非负),且“等号成立”时的条件,积ab或和a+b其中之一应是定值?
(一正二定三相等)
38、(当且仅当时,取等号);
a、b、cR,(当且仅当时,取等号);
39、在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?
(特别是指数和对数的底或)讨论完之后,要写出:
综上所述,原不等式的解集是…….
40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”
41、对于不等式恒成立问题,常用的处理方