《数与形》有配套课件Word格式文档下载.docx

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数与形之间有没有关系呢？

今天这堂课我们就一起来研究数与形的关系。

（板书揭题：

数与形）

【设计意图：

从形和数两个看似对立的数学表象入手，引导学生思考它们之间的关系，从而引出话题，指明学习方向。

】

二、探究新课

（一）体会形中有数、数中有形，数形有关系。

1.出示正方形数，提出问题：

老师带了一组图形，它们有规律吗？

看到规律了吗？

【提问】如果沿着刚才的规律继续往下想，第4个图形是怎样的？

（出示图形）与你想的一样吗？

那说明你们找到的规律是对的。

【提问】你能用数或式子表达发现的规律吗？

请写在探索单上。

如果学生有困难，出示“温馨提示”

温馨提示：

你可以从小正方形的数量观察，

也可以从边长的角度观察，

还可以从小正方形的数量变化进行观察。

2.学生汇报

【预设】：

①1、4、9、16（追问：

这些表示的是什么？

）

②1×

1（1²

）、2×

2（2²

）、3×

3（3²

）、4×

4（4²

（追问：

你是怎么想的？

③11+31+3+51+3+5+7

如果学生一下子发现不了第③条规律，用以下方式进行引导：

【引导】：

还有用其他的式子来表达这些图形规律的吗？

大家仔细观察这些图形，能否从小正方形的数量变化角度来观察？

发现了增加的个数：

+3+5+7

（课件涂色增加的部分）

【追问】：

白色部分指的是什么？

（前一个正方形）。

为了方便比较，涂成与前面正方形一样的颜色（课件涂色）。

你有什么发现？

（第三个图形还可以用1+3+5来表示，第四个图形就用1+3+5+7来表示。

如果学生能发现第③条规律，则用以下方式追问：

你是怎么想到的？

5是指什么？

7是指哪一部分？

（增加的部分）增加的那部分在哪里？

上台指出增加的是哪一部分。

（课件动态涂色，以示区别）

那1+3表示什么，1+3+5表示什么呢？

（就是前一个正方形）。

（课件涂色）

你发现的这组数有什么特点？

（从1开始连续递增的奇数）

3.引导观察，发现规律

同学们，同一组图形，我们观察的角度一样吗？

（不一样）那我们一起体会一下，这三组图形是从哪个角度观察的。

（指着1、4、9、16）这是从正方形总个数的角度观察的。

（指着1²

、2²

、3²

、4²

）1×

1，2×

2，3×

3，4×

4这是从边的特点观察的，

（指着1、1+3、1+3+5、1+3+5+7）这是从增加的数量来观察的。

（手势纵向对比）你来观察对比一下，它们之间有联系吗？

【预设】它们是相等的。

也就是说1+3+5+7=4²

=16，依次板书其他几组等式。

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4²

【引导】请你仔细观察这些等式，有什么发现？

（不反馈）

继续写下去，1+3+5+7+9等于多少？

（5²

“5”是什么？

（正方形的边长）能结合图形说一下吗？

引导学生发现：

加数有5个，正方形的边长就是5，小正方形个数的和就是5²

。

不等学生反馈发现了什么，直接抛出更复杂的算式，让学生带着任务主动自觉地去总结前面的规律，体会算式与图形的关系，这样，任务驱动法教学，效果或许会更佳】

【小结规律】你发现了什么规律？

那就是算式的和等于排列成图形的正方形的个数。

图形的个数等于正方形每边的个数平方。

每边的个数等于加数的个数。

……

【验证规律】诶，真的吗？

我们验证一下（在前面几组等式中验证。

【应用规律】按这样的规律，1+3+5+7+9+11所对应的正方形是怎样的？

（6²

）是不是真的如此？

我们验证一下。

（课件验证）

【概况规律】用你自己的话，总结一下我们发现的规律。

有几个连续奇数相加，和就是几的平方。

【巩固应用】：

我们运用这个规律，做几个题目。

1+3+5+7+9+11+13+15=（有8个数，就是8的²

_______________________________=9²

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=

（引导想象成两个正方形。

边长分别是7和6。

4.拓展延伸

【过渡】：

那么长的式子，我们对应着图形，都能快速算出来。

真不错。

如果继续探究下去，这个图形还可以发现更多的规律。

展示

（左图）如果这样涂，这个图形就可以写成：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1

（右图）再换个角度，还可以这样看：

看到这个图，如果算最外圈的正方形个数，你是不是又有新的方法啦？

【小结】同学们，回顾我们刚才探索过程，我们是通过什么发现规律的？

（图形）。

在图形中，想到了数，又在数中，想到了形。

那你说，数和形，有没有关系？

（有）。

有怎样的关系？

数中有（形），形中有（数），它们密不可分。

板书：

数中有（形），形中有（数），

例1是通过数形结合，让学生感受“看数想形，看形想数”，形中有数、数中有形，数与形是有关系的。

首先引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律，并用数或式子表示出来，然后引导学生发现这些式子之间的关系，得出从1开始的连续奇数之和与“正方形数”之间的关系。

初步感悟数和形是可以相互印证的。

【过渡语：

】数和形还有怎样的关系呢？

我们接下来深入地来研究一下。

看老师写算式，我们继续找规律。

（二）体会以形助数、以数解形，数形互助

1.借助图形，计算

+……

【解读算式】发现没有？

这个算式有什么规律？

（后一个数分母是前一个数分母的2倍，也就是后一个分数是前一个分数的

）“……”什么意思？

（后面还要加上

……）

【提问】：

怎么计算这个式子？

试试看。

有没有简便的方法？

我们可以请谁帮我们找一找感觉？

（图形）

【提示说明】：

在探究单上印了三个图形，你可以任选其中一个图形，用它来研究。

怎么研究呢，先找到这个图形的

，然后在

的基础上再加上

，再加上

，你在图里加一加，画一画，求求和，看看最终的答案会是多少。

生做练习纸，自主探究。

学生反馈投影（请同学上台汇报）。

请你对照式子，说说你是怎么表示的？

我先在图形中，找到它的

，再在

的基础上，加上它的

，也就是加上

的一半。

依次类推。

也有同学是运用圆和线段来表示的。

无论选哪种图形，结果都是一样的。

【课件】课件演示另外2种图形。

【引导】你觉得运用图形，怎么样？

（直观，清晰）。

说说你的感受。

【追问】按照这样的规律，不停地加下去，你觉得和是多少？

（可能是1）

很接近很接近1。

几乎可以看成是1。

跟1差点。

2.借助算式推理

你们的想法都很有道理。

到底等于几呢？

我们继续在这个图里不停地画下去，能找到答案吗？

这就是图缺陷的地方。

它不能精确地表示一个结果。

当图形解决不了的时候，我们可以再借助谁来帮我们推理？

那我们就从你们说的答案“1”入手。

看看能否倒推出前面这个算式。

1=

=

（继续分：

第二个

分成两个

，第二个

按这样规律不停地分下去，能分多少个？

没完没了的话，我们可以用什么表示？

用“……”来表示。

同意吗？

后面这个“…”是不是就是从上面不断地分，分出来的，对吧？

1=

读一读这个结论。

3.小结

内心觉得他应该离1差点，但事实又告诉我们，它等于1，对吗？

这个问题很难，到了初中高中我们还要继续研究证明它为什么等于1。

那今天我们研究它的重点是什么？

我们是借着算式求和的这个过程，去体会数和形之间的关系。

我们回顾一下刚才的过程。

我们是借助什么找到了感觉？

通过画图，我们发现它的和跟“1”有关系?

但图又不能告诉我们，它到底等于多少。

在图形解决不了时，又是谁帮我们推理？

（数）。

可见，数和形还有怎样的关系？

（互帮互助，互相依赖，取长补短。

是啊，在数形结合时，数和形都有各自的优势。

“数”的优点是？

（精确、容易发现规律）；

“形”的优点是？

（直观、可视）他们配合起来，取长补短，互相帮助，解决很多问题。

以形助数，以数解形。

本环节在第一环节的基础上，通过例2使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简洁性。

但是当形还是无法精确表示结果时，又需要用数进行推理，体现数的精确性。

通过两个层面的互助，让学生逐步形成“以形助数、以数解形”数形互助的意识，体验数形结合的魅力。

三、经验回顾，拓展总结。

（一）回顾过去学习过程中数形结合的例子。

这样数形结合的例子，在我们以前的学习中有没有见过？

我们一起来回顾一下。

借助长方形，可以很好地解释一些计算的算理

c

b

（a+b）c=ac+bc

借助图形，抽象的运算定律变得直观、形象。

在解决问题中，线段图可以更清楚地表示出数量关系。

统计数据时，统计图可以利于我们分析数据。

25分=

在时间换算时，借助钟面进行想象，可以直接判断出几分钟，对于一个小时来说，占几分之几。

计算这些有规律摆放的物体数量时，可以用面积公式进行计算。

【总结】数和形虽然是数学学科的两大重要不同分支，但他们又有着内部结构上的和谐统一。

它们是互相支持，互相帮助的。

（二）引用华罗庚名言总结。

我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合的研究很深入。

他曾经对数与形做过这样的总结：

“数缺形时少直观，形少数时难入微；

数形结合百般好，隔离分家万事休”。

请学生说说对这句话的理解。

是呀，数与形就是这样，相辅相成，互相依赖，互相帮助，缺一不可的统一体。

（三）延伸到自然、社会

跳出数学，我们整个的大自然，不也都是互相帮助、互相依赖的吗？

（课件出示蜜蜂与花朵，树木与土地）

蜜蜂靠花朵吸收营养，花朵需要蜜蜂传播花粉。

树木从土地吸收养分，土地需要树木防风固沙。

我们的社会，人和人之间，也是互相依赖，互相依存的统一体。

人和人之间只有互相帮助，互相支持，社会才会越来越美好。

【作业设计】：

一、基础应用

1.根据例1的结论算一算。

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+……49=（）

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+17+15+13+11+9+7+5+3+1=（）

2.根据例2的启发算一算。

二、提升应用

1.下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？

红色：

1234

蓝色：

8101214

照这样接着画下去，第6个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？

第10个图形呢？

你能解释这其中的道理吗？

【积累“图形的问题需要借助数的规律去解决”的经验。

2.下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？

3²

-1=85²

-3²

=167²

-5²

=24

照这样接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？

积累“数的问题借助图形去解决”的经验】。

【板书设计】：

以形助数，以数解形

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4²

1+3+5+7+9=5²

数中有形，形中有数。

数与形

【教学反思】：

1.注重自主探究，以生为本。

自主学习能力一直以来都是教师极力培养学生的一种优秀能力，学生具有良好的自主学习能力不仅是学生积极性和主动性的一种表现，同时还能最大限度地反映出学生的学习兴趣、思维能力等多方面的能力，因此，本节课，无论是规律的发现，还是规律的总结，我都力求做到自主探究，以生为本。

2.注重引导学生从不同的角度探索，体现一题多用。

一题多解，有利于加强学生的思维训练 

教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；

有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；

有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。

在本课的例题1中，我没有仅限于让学生发现从1开始的连续奇数的和可以表示成加数个数的平方，还引导学生从不同的角度观察，发现其他的规律，体现了一题多用。

再如例题2，我不仅引导学生发现图形的直观的优点，又进一步从反推的角度来验证结果，体现数的精确性。

也体现了一题多用。

3.重视经验积累、数学思想渗透、数学情感培养。

数与形中隐藏着许多非常有意思的规律，容易引起学生的探究兴趣。

教学时我充分利用机会，培养学生积极的数学学习情感，体会数学思想的价值与魅力。