步步高高中数学 必修 5 数列打印版 学生Word下载.docx
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(2)
,2,
,8,
(3)9,99,999,9999;
(4)2,0,2,0.
(5)1,0,-1,0,1,0,-1,0
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函数关系.
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)-
(3)7,77,777,7777.
类型二 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{an}的通项公式an=
n∈N*.
(1)写出它的第10项;
(2)判断
是不是该数列中的项.
反思与感悟 在通项公式an=f(n)中,an相当于y,n相当于x.求数列的某一项,相当于已知x求y,判断某数是不是该数列的项,相当于已知y求x,若求出的x是正整数,则y是该数列的项,否则不是.
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式为an=
(n∈N*),那么
是这个数列的第______项.
答案 10
解析 ∵
=
∴n(n+2)=10×
12,∴n=10.
跟踪训练3,观察数列1,3,5,7,9,.........2m+1
.........
2m+1是第几项?
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列{
}是递增数列
2.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为( )
A.an=n,n∈N*B.an=n+1,n∈N*
C.an=n+2,n∈N*D.an=2n,n∈N*
3.已知数列{an}的通项公式an=
,n∈N*,则a1=________;
an+1=________.
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质:
(1)确定性:
一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性:
数列中的数可以重复.
(3)有序性:
一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:
①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.
1.2数列的概念与简单表示方法
(二)
1.理解数列的几种表示方法,能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.
知识点一 递推公式
思考1
(1)已知数列{an}的首项a1=1,且有an=3an-1+2(n>
1,n∈N*),则a4=________.
(2)已知数列{an}中,a1=a2=1,且有an+2=an+an+1(n∈N*),则a4=________.
答案
(1)53
(2)3
梳理 如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是数列的一种表示方法.
思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列,那么通项公式和递推公式有什么不同呢?
答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法.已知数列的通项公式,可以直接求出任意一项;
已知递推公式,要求某一项,则必须依次求出该项前面所有的项.
知识点二 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12,…为例,你能用几种方法表示这个数列?
答案 ①通项公式法:
an=2n.
②递推公式法:
③列表法:
n
1
2
3
…
k
an
4
6
2k
④图象法:
梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
类型一 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形,在四个三角形图案中,着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.
解 如题图,这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是an=3n-1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).
反思与感悟 数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n,且n∈N*,所以善于利用我们熟知的一些基本函数,通过合理的联想、转化,从而达到解决问题的目的.
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形点阵,就将其所对应石子的个数称为三角形数,则第10个三角形数是________.
答案 55
解析 三角形数依次为1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为1+2+3+4+…+10=55.
类型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项.
引申探究
数列{an}满足a1=2,an+1=
,求a2016.
反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项;
而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否有规律性.
跟踪训练2 在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.
命题角度2 由递推公式求通项
例3
(1)对于任意数列{an},等式:
a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)都成立.试根据这一结论,完成问题:
已知数列{an}满足:
a1=1,an+1-an=2,求通项an;
(2)若数列{an}中各项均不为零,则有a1·
·
…·
=an(n≥2,n∈N*)成立.试根据这一结论,完成问题:
a1=1,
(n≥2,n∈N*),求通项an.
反思与感悟 形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式;
形如
=f(n)的递推公式,可以利用a1·
=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.
跟踪训练3 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?
你能否求出该数列中的第2016项?
1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( )
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N*
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
2.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项an等于( )
A.n2+1B.n+1C.1-nD.3-n
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.
1.{an}与an是不同的两种表示,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法:
(1)图象法;
(2)列表法;
(3)通项公式法;
(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别:
通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,就可以求出该项的值an;
而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.
2.1等差数列
(一)
1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用.
知识点一 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列:
(1)0,5,10,15,20;
(2)4,4,4,4,…;
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征?
答案 从第2项起,每项与它的前一项的差是同一个常数.
梳理 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,可正可负可为零.
知识点二 等差中项的概念
思考 观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列:
(1)2,4;
(2)-1,5;
(3)a,b;
(4)0,0.
答案 插入的数分别为3,2,
,0.
梳理 如果三个数a,A,b组成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项,且A=
.
知识点三 等差数列的通项公式
思考 对于等差数列2,4,6,8,…,有a2-a1=2,即a2=a1+2;
a3-a2=2,即a3=a2+2=a1+2×
2;
a4-a3=2,即a4=a3+2=a1+3×
2.
试猜想an=a1+( )×
答案 n-1
梳理 若一个等差数列{an},首项是a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d.此公式可用累加法证明.
类型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列?
(1)9,7,5,3,…,-2n+11,…;
(2)-1,11,23,35,…,12n-13,…;
(3)1,2,1,2,…;
(4)1,2,4,6,8,10,…;
(5)a,a,a,a,a,….
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
类型二 等差中项
例2 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.
反思与感悟 在等差数列{an}中,由定义有an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),即an=
,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量(a,d)
例3 在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,求通项公式an.
反思与感悟 像本例中根据已知量和未知量之间的关系,列出方程求解的思想方法,称为方程思想.
跟踪训练3
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项,如果是,是第几项?
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?
反思与感悟 在实际问题中,若一组数依次成等数额增长或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.
跟踪训练4 在通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的气温.
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为( )
A.2B.3
C.-2D.-3
2.已知在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则角B等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.等差数列{an}中,已知a1=
,a2+a5=4,an=33,求n的值.
1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法:
(1)an+1-an=d(d为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列;
(2)2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列;
(3)an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1,d,n,an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量.
2.2等差数列
(二)
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
知识点一 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an=a1+(n-1)d,如果已知第m项am和公差d,又如何表示通项an?
答案 设等差数列的首项为a1,则am=a1+(m-1)d,
变形得a1=am-(m-1)d,
则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d
=am+(n-m)d.
思考2 由思考1可得d=
,d=
,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗?
答案 等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(1,a1),(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an)连线的斜率d=
.当两点为(n,an),(m,am)时,有d=
梳理 等差数列{an}中,若公差为d,则an=am+(n-m)d,当n≠m时,d=
知识点二 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1+2+3+…+100的吗?
推广到一般的等差数列,你有什么猜想?
答案 利用1+100=2+99=….在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
梳理 在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p,则an+am=2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗?
若是,公差是多少?
答案 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2)
=(an+1-an)+(an+3-an+2)
=d+d=2d.
∴{an+an+2}是公差为2d的等差数列.
梳理 若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有
数列
结论
{c+an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·
an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*)
{pan+qbn}
公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)
类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.
解 因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.
又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×
2=2n+1.
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.
跟踪训练1 数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于( )
A.0B.3C.8D.11
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?
若是,首项和公差分别是多少?
反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度,利用构造等差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征,这种解答方式的转变,同学们要在学习中体会,在体会中升华.
跟踪训练2 某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
类型三 等差数列性质的应用
例3 已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
1.在例3中,不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6,那么,在等差数列{an}中,若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N*,是否有am+an+ap=aq+ar+as?
2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=________.
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法:
一是灵活运用等差数列{an}的性质;
二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通项方法;
或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练3 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值.
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于( )
A.3B.-6C.4D.-3
2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于( )
A.32B.-32
C.35D.-35
3.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于( )
A.3B.-3
C.
D.-
1.等差数列{an}中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
3.1等差数列前n项和
(一)
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考 高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×
50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1+2+3+…+n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题:
设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,
又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,
∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…
+[(n-1)+2]+(n+1),
∴2Sn=n(n+1),
∴Sn=
梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和,其方法如下:
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d];
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d].
两式相加,得2Sn=n(a1+an),
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn=
根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,
代入上式可得Sn=na1+
d.
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1 等差数列{an}中,若已知a2=7,能求出前3项和S3吗?
答案 S3=
=3×
=3a2=21.
思考2 我们对等差数列的通项公式变形:
an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),分析出通项公式与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下Sn=na1+
d吗?
答案 按n的降幂展开Sn=na1+
d=
n2+(a1-
)n是关于n的二次函数形式,且常数项为0.
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形:
(1)Sn=n·
(2)Sn=
)n;
(3)
n+(a1-
)({
}是公差为
的等差数列).
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
思考 如果{an}是等差数列,那么a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30是等差数列吗?
答案 (a11+a12+…+a20)-(a1+a2+…+a10)