完整word版上海高中数学之立体几何练习打印doc.docx
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立体几何练习题
一、选择题
1．已知平面外不共线的三点
A,B,C到的距离都相等
则正确的结论是
A.平面ABC必平行于
B.平面ABC必与
相交
C.平面ABC必不垂直于
D.存在ABC的一条中位线平行于
或在
内
2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
的
（A）充分非必要条件；
（B）必要非充分条件；
（C）充要条件；
（D）非充分非必要条件．
3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个
“正交线面对”。
在一个
正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的
“正交线面对”的个数是
（A）48（B）18（C）24（D）36
4．已知二面角
l
的大小为600，m、n为异面直线，且
m
，n
，则m、n所成的角为
（A）300
（B）600
（C）900
（D）1200
5．已知球O半径为
1，A、B、C三点都在球面上，
A、B两点和A、C
两点的球面距离都是
，B、C两点的球面距离是
，则二面角BOA
C的大小是
4
3
（A）
（B）
（C）
（D）2
4
3
2
3
7．设m、n是两条不同的直线，
、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命
题是
A．m
n
mn
B．//,m
n//
mn
C．
m
n//
mn
D．
m,nmn
8．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确
的是
．．．
A．AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则
AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则ADBC
9．若l
为一条直线，
，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①
，
；②
，∥
；③l∥，l
．
其中正确的命题有
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．如图，O是半径为
1的球心，点
A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F
分别是大圆弧
?
?
E、F在该球面上的球面距离是
AB与AC的中点，则点
（A）
（B）
（C）
2
（D）
4
3
2
4
11．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别为AB、A1C1的中点，则
EF的长是
（A）2
（B）3
（C）5
（D）7
12．若P是平面
外一点，则下列命题正确的是
（A）过P只能作一条直线与平面
相交
（B）过P可作无数条直线与平面
垂直
（C）过P只能作一条直线与平面
平行
（D）过P可作无数条直线与平面
平行
l
13
l
与平面
，在平面
内必有直线m，使m与
．对于任意的直线
（A）平行
（B）相交
n,
（C）垂直
（D）互为异面直线
14
和共面的直线
m、
下列命题中真命题是
．对于平面
（A）若m
mn,则n∥
（B）若m∥,n∥,则m∥n
（C）若m
n∥,则m∥n
（D）若m、n与所成的角相等，则m∥n
15．关于直线m、n与平面
、
，有下列四个命题：
①若m//
，n//且
//
，则m//n；
②若
③若
m
，n
且
，则m
n；
m
，n//
且//
，则m
n；
④若m//，n且，则m//n。
其中真命题的序号式
A．①②B．③④C．①④D．②③
16．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行
④若直线l1,l2是异面直线，则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是
．．．
（A）1（B）2（C）3（D）4
17．如图，平面平面，A,B,AB与两平面、所成的角分别为和。
46
过A、B分别作两平面交线的垂线，
垂足为A'、B，则AB:
A'B'
（A）2:
1
（B）3:
1
（C）3:
2
（D）4:
3
18．如图，平面平面，
A,B,AB与两平面、所成的角分别为和。
过A、
46
A
B'B
A'
B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B，若AB=12，则A'B'
（A）4（B）6（C）8（D）9
二、计算题
1．如图，已知四棱锥
P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//DC,
AC
BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的
射影恰为O点，又BO
2,PO
2,PB
PD.
（Ⅰ）求异面直接
PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角
P
ABC的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，且PM
问为何值
时，PC平面BMD。
MC
【解】解法一：
QPO
平面ABCD，
PO
BD
又PB
PD,BO
2,PO
2，
由平面几何知识得：
OD
1,PD
3,PB
6
（Ⅰ）过D做DE//BC交于AB于E，连结PE，则
PDE或其补角为异面直线PD
与BC所成的角，
Q四边形ABCD是等腰梯形，
OCOD1,OBOA2,OAOB
BC5,AB22,CD2
又AB//DC四边形EBCD是平行四边形。
EDBC5,BECD2
E是AB的中点，且AE
2
又PA
PB
6，
PEA为直角三角形，
PE
PA2
AE2
6
2
2
在
PED中，由余弦定理得：
cosPDE
PD2
DE2
PE2
3
5
4
215
2PDDE
2
3
5
15
故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为
215。
15
（Ⅱ）连结OE，由（Ⅰ）及三垂线定理知，
PEO为二面角P
AB
C的平面角
sin
PEO
PO
2
，
PEO
450
PE
2
二面角PABC
的大小为
450
（Ⅲ）连结MD,MB,MO，
QPC
平面BMD,OM
平面BMD，
QPC
OM
又在Rt
POC中，PC
PD
3,OC
1,PO
2
，PM
23,MC
3
，
3
3
PM
2
故
2时，PC
平面BMD
MC
解法二：
QPO平面ABCD
PO
BD
又PB
PD，BO
2,PO
2，
由平面几何知识得：
OD
OC
1,BO
AO
2
以O为原点，OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，则各点坐标为
O（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），
C（1,0,0），D（0,
1,0），P（0,0,
2）
uuur
（0,1,
2），
uuur
（1,
2,0），
（Ⅰ）QPD
BC
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
uuur
uuur
215
2。
cos
PD
BC
PD
3,BC
5,PD
BC
PD,BC
uuur
uuur
。
PD
BC
15
故直线PD与BC所成的角的余弦值为
215。
15
（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为n（x,y,z），
uuur
uuur
uuur
0
2,
（2,0,2），
nAB
由于AB（
2,0），AP
由uuur
0
nAP
取n（1,1,
2）
，又已知平面
ABCD的一个法向量m
（0,0,1）
xy
得
z2x
，
cos
m,n
mn
2。
mn
2
又二面角PAB
C为锐角，
所求二面角P
AB
C的大小为45o
（Ⅲ）设M（x0,0,z0），由于P,M,C三点共线，z0
2x0
2，
QPC
平面BMD
OM
PC
（1,0,
2）（x0,0,z0）
0
x0
2z0
0
由
（1）
（2）知：
2
，z0
2
M（
2
2
PM
x0
。
0,
）
2
3
3
3
3
MC
故
2时，PC平面BMD。
2.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l
上的射影为A1,点B在l的射影
为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:
（I）直线AB分别与平面α,β所成角的大小；
（II）二面角A1－AB－B1的大小。
【解】解法一：
（Ⅰ）如图,连接A1B,AB1,
∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,
∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与
α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=
2,AB=2,
∴sin∠BAB1=
BB1
=
2
.
∴∠BAB1=45°.
AB
2
AA1
1
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1=AB
=
2,
∴∠ABA1=30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是
45°,30°.
（Ⅱ）∵BB1⊥α,
∴平面ABB1⊥α。
在平面α内过A1作A1E⊥AB1
交AB1于E，则A1
E⊥平面AB1B。
过E作EF⊥AB交
AB于F，连接A1F，则由三垂线定
理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平
面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=2.
∴Rt△AA1B中，
A1B=AB2－AA12=4－1=3。
由AA1·A1B=A1F·AB得
AA1
·A1B1×3
3
A1F=
AB
=
2
=
2,
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=
A1E
=
6
，
A1F
3
∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin
6
.
3
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）
如图,建立坐标系
则A1（0,0,0）,A（0,0,1）,B1（0,1,0）,B（
2,1,0）.在AB
上取一点
→
→
即（x,y,z
1）=t（2,1,
1）,
∴点F的坐标为（
2t,t,1
t）.
F（x,y,z）,则存在t∈R,使得AF=tAB
→
→
→
→
1
要使A
1F⊥AB,须A1F·AB=0,
即（
2t,t,1
t）·（2,1,1）=0,2t+t
（1
t）=0，解得t=
4
，
∴点F的坐标为（
21
3
→
21
3
4,4,
4）,
∴A
1F=（4,4,
4）.
设E为AB1的中点,则点
E的坐标为（0,1,
1）。
→
2,
1,
1）.
∴EF=（
2
2
4
44
→
→
=（
2
11
2,1,
1）=
1
1
1
=0,
→
→
又EF·AB
4
－,）·（
2
4
4
∴EF⊥AB,
44
∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
→→
（
2，1，3
）·（
2，－
1，1
）
1－
1+
3
又cos∠A1FE=
A1F·EF
=
444
4
44
=
81616
=
3
→→
219
31
=1
211
3
3
|A
F|·|EF|
16+16+16·
16+16+16
4·
2
1
∴二面角A1－AB－B1
3
的大小为arccos3.
3．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为
2的菱形，∠DAB＝60
，对角线AC与BD
相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为
60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解】
（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO,
于是，PO=BOtg60°=3,
而底面菱形的面积为23.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=1×23×3=2.
3
（2）解法一：
以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=
3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是
A（0,－3,0），B（1,0,0），D（－
1,0,0），P（0,0,3）。
E是PB的中点，则E（
1
3
于是DE
3
0,
3
3）.
0,
）。
=（
）,AP=（0,3,
2
2
2
2
uuuruuur
3
2
2
2
，θ=arccos
设DE与AP的夹角为θ，有cosθ=
。
9
3
3
4
4
4
3
4
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos2
.
4
解法二：
取AB的中点F，连接EF、DF.
由E是PB的中点，得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补
角）。
在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP,
于是,在等腰Rt△POA中,PA=6,则EF=
6
.
2
1
6
EF
4=
2
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=
3.
cos∠FED=2
DE
3
4
∴异面直线DE与PA所成角的大小是
2
.
arccos
4
4．在直三棱柱ABC
A1B1C1中，
ABC
90o,AB
BC
1.
（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；
（2）若A1C与平面ABC所成角为
45o，求三棱锥A1
ABC的体积。
【解】
（1）∵BC∥B1C1
，
∴∠ACB为异面直线B1C1
与AC所成角（或它的补角）
∵∠ABC=90°,AB=BC=1，
∴∠ACB=45°,
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
（2）∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.
∵∠ABC=90°，AB=BC=1
，AC=
2
∴AA1=2。
∴三棱锥A1
1
△ABC
1
2。
-ABC的体积V=
S
×AA=
6
3
5．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
CACBCD
BD
2,ABAD2.
A
（I）求证：
AO
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
【解】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
方法一：
（I）证明：
连结OC
D
O
C
BE
QBO
DO,AB
AD,
AO
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