高考数学复习同步练习 第3讲空间点直线平面之间的位置关系Word文档下载推荐.docx

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C．AB⊥CD

D．AB与CD所成的角为60°

解析　如图，把展开图中的各正方形按图（a）所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图（b）所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图（b）中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°

.

6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）．

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

解析　选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；

再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；

而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．

二、填空题

7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：

①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点．

在上面结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）．

解析　只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．

答案　①②④

8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：

把你认为正确的结论的序号都填上）．

解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

答案　③④

9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．

解析如题图所示，

由A′O⊥平面ABCD，

可得平面A′BC⊥平面ABCD，

又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，

即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°

答案90°

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

解析　法一　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．

法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．

答案　无数

三、解答题

11．

如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC綉

AD，BE綉

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（1）证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉

AD.

又BC綉

AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）解　由BE綉

AF，G为FA中点知，BE綉FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由

（1）知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

12．在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P（如图所示，其中P点不在对角线B1D1）上．

（1）过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？

并说明理由；

（2）过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈

，这样的直线有几条，应该如何作图？

解　

（1）连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图（a）．

∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.

图（a）

（2）∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图（b）．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈

当α＝

时，这样的直线m有且只有一条，当α≠

时，这样的直线m有两条．

图（b）

13.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

（1）求证：

E、F、G、H四点共面；

（2）设FG与HE交于点P，求证：

P、A、C三点共线．

证明　

（1）△ABD中，E、F为AD、AB中点，

∴EF∥BD.

△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，

∴GH∥BD，∴EF∥GH（平行线公理），

∴E、F、G、H四点共面．

（2）∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，

⇒P∈直线AC.

∴P、A、C三点共线．

14．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°

，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°

（1）求四棱锥的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

解　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PO⊥面ABCD，

∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，

即∠PBO＝60°

，在Rt△POB中，

∵BO＝AB·

sin30°

＝1，

又PO⊥OB，∴PO＝BO·

tan60°

＝

，

∵底面菱形的面积S菱形ABCD＝2

∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝

×

2

＝2.

（2）

取AB的中点F，连接EF，DF，

∵E为PB中点，∴EF∥PA，

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）．在Rt△AOB中，

AO＝AB·

cos30°

＝OP，

∴在Rt△POA中，PA＝

，∴EF＝

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝

∴cos∠DEF＝

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为

第4讲直线、平面平行的判定及其性质

1．若直线m⊂平面α，则条件甲：

“直线l∥α”是条件乙：

“l∥m”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（　　）

A．一定平行B．不平行

C．平行或相交D．平行或在平面内

解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.

3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）．

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α

解析　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；

l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；

l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；

l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．

4．设m，n是平面α内的两条不同直线；

l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

解析　对于选项A，不合题意；

对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；

对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；

对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.

答案　B

5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.

6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）．

A．①③B．②③C．①④D．②④

解析　对于图形①：

平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：

AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.

7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析　过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．

答案　6

8．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；

②a∥γ，b∥β；

③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的题号填上）．

解析　①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b（线面平行的性质）．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b（线面平行的性质）．

答案　①③

9．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．

①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；

②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；

③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；

④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．

解析　①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可能异面，故为假命题．

答案　②

10．对于平面α与平面β，有下列条件：

①α、β都垂直于平面γ；

②α、β都平行于平面γ；

③α内不共线的三点到β的距离相等；

④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；

⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α；

l∥β，m∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________（填正确结论的序号）．

解析　由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.

答案　②⑤

如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：

直线HG∥平面CEF.

证明　法一　如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.

∵F、H分别是AB、AC的中点，

∴K是△ABC的重心，

∴

又据题设条件知，

，∴EK∥GH.

∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，

∴直线HG∥平面CEF.

法二　如图，取CD的中点N，连接GN、HN.

∵G为DE的中点，∴GN∥CE.

∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.

连接FH，EN

∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，

∴FH綉

BC，EN綉

BC，∴FH綉EN，

∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.

∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，

∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，

∴平面GHN∥平面CEF.

∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.

12．

如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

E，B，F，D1四点共面；

（2）求证：

平面A1GH∥平面BED1F.

证明　

（1）∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，

∴BG綉A1E，∴A1G綉BE.

又同理，C1F綉B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，

∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．

∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB，

故E、B、F、D1四点共面．

（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H＝

又B1G＝1，∴

又

，且∠FCB＝∠GB1H＝90°

∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，

∴HG∥FB.

又由

（1）知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，

FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.

13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：

（其中M、N分别是AF、BC的中点）．

MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A－CDEF的体积．

解　由三视图可知：

AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2

，∠CBF＝

（1）

证明：

取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，

∴平面MNG∥平面CDEF，

又MN⊂平面MNG，

∴MN∥平面CDEF.

（2）取DE的中点H.

∵AD＝AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF＝DE.

∴AH⊥平面CDEF.

∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝

.S矩形CDEF＝DE·

EF＝4

∴棱锥A－CDEF的体积为V＝

·

S矩形CDEF·

AH＝

4

14．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

（1）证明　

∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，

又AE⊂平面ABE，则AE⊥BC.

又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ABE，

∴AE⊥BF，

又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，

又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.

（2）解　在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝

CE.

∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，

∴MG∥平面ADE.

同理，GN∥平面ADE.

又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.

又MN⊂平面MGN，

∴MN∥平面ADE.

∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.