图形与几何Word文档格式.docx
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第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。
刘晓玫：
刚才史老师介绍的框架里有一条主线叫图形与变化，原来我们叫图形与变换或图形的运动，但这次我们用的是变化，这是因为在这部分内容里，不光是数学上变换的东西，后面还有一些投影与视图的内容，另外解直角三角形也囊括在这里面，所以在这个里面叫变换显得不那么纯粹，叫运动，像解直角三角形这样的内容也有点牵强，我想用变化这个词可能能够比较好地把刚才那些问题给规避掉，所以就起了这样一个名字。
接下来我们进一步来看看，从具体的内容增减变化上，图形与几何这块又有哪些变化。
老师看了修订后的标准，首先会发现增加了打星号的内容，如关于相似三角形判定的演绎证明，圆中的垂径定理、切线长定理等。
作为选取部分，反映了课程标准理念中的“不同的人在数学上得到不同的发展”，相当于给学生提供一个弹性的空间，对那些有余力、有兴趣的学生，给他进一步多学一点数学的机会，学生有选择性的学或者教师有选择性的教。
另外前面几讲中涉及的十个核心概念中，增加了一个叫几何直观。
因为我们这部分内容针对的是图形，几何直观简单的说就是用图形说事，这在后面我们还会详细解读。
还有一些关于基本事实的增减变化等等。
章巍老师从教师的角度，对我们这个变化还有哪些感受，或者你发现哪些变化会引起老师们的注意？
章巍：
刚才史教授和刘教授分别对课程标准修订稿中图形与几何这部分整体框架，以及具体的一些变换，跟大家做了介绍。
作为一线教师的话，这些变化需要我们重新去领悟和把握。
首先我觉得应该对这部分的内容结构有一个整体的认识和把握，你比如两位教授前面谈到的四条主线变成了三条主线，这三条主线不光是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的、立体化的研究，它可以看作图形研究不同的三个途径，比如说都是一个三角形，我既可以用欧式的综合几何的角度去认识它，也可以用变换的角度去认识，同样可以把它放在坐标系，从坐标的角度去认识它。
所以同样是这些图形，有这样三条主线，可能就丰富了我们对这些图形的理解。
理解好这一点，可以使大家更深刻的体会到几何课程对学生们的教育意义。
另外从史教授刚才的介绍可以看出，图形与几何这部分涵盖的内容很多的，我们老师在教学过程中，还要抓住一些核心内容，比如三角形是最基本的平面图形之一，如果掌握了，其他图形就可以考虑转化为三角形去处理了。
再有，虽然课程的具体内容发生一些变化，但是我个人感觉，修订稿所倡导的这种思想、理念，和实验稿是一脉相承的。
所以我们在教学中所提倡的让学生动手操作、鼓励发现、鼓励合作探究，以及在此基础上完成对所学内容的归纳，最后再通过演绎的方式去证明的教学方式，还是应该继续在日常教学当中提倡的。
我在学习这个标准中还有几点体会，一是我觉得图形与坐标这部分内容，跟实验稿相比要求提高了。
比方说轴对称、平移现在要放到坐标系当中，利用量化的办法进行研究，所以从思维层次上讲提高了。
从要求上看，这个步子确实比较大，所以希望老师们能够进一步研读标准，以达到能够准确地去把握。
刚才我想章巍老师有一点谈的得非常好，“图形和几何”这部分内容整体的定位和要求是没有大变化的，和原来标准基本是一致的。
所以我想也提这样一点建议，就是老师们在把握图形与几何这部分内容的时候，一定要有一个整体的观点。
因为一些老师容易有这样的倾向：
好像几何更多的是演绎推理和证明，其他内容像附属品，花一点点时间学习学习就够了。
其实我们要看到，即使在证明这个方面，我们也希望能够把合情推理和演绎推理结合起来，注意标准中用“探索并证明……”，而不是仅仅去证明，尤其我们一直在提倡空间观念的培养、几何直观能力的发展，还有推理能力，都是我们几何学习中非常重要的。
希望老师能够整体认识和把握“图形与几何”的教育价值，这样才能使我们在对几何内容进行教学设计的时候，实现预期的目标。
那么，关于第一个话题“图形与几何”内容结构总体的介绍，我们就先谈到这儿，当然后面我们介绍具体内容的时候，还会让大家反过来体会内容的整体结构。
二、图形的性质内容与教学分析
下面我们一块儿来谈论第二个话题，标准中其中一条主线是图形的性质，下面我们就来分析一下图形的性质这条主线的内容以及定位，包括我们的教学中应该注意哪些问题。
我想首先请章巍老师来谈一谈，在这个标题下，我们对哪些图形有怎样的认识？
在上一节内容中，史老师已经把我们图形性质里面所涉及的主要图形向大家做了一个简单的介绍，在这里我们再详细地把标准中要求的一些图形做一个说明。
首先，我们所研究的这些图形可以从不同的角度进行分类，比如说把它们分成直线形、曲线形。
从维度上，有一维图形，重点是二维图形，当然还有简单的三维图形。
从图形的复杂程度上，有基本图形与组合图形。
具体来讲，这一部分由七个小的标题组成，前五个标题，详细地介绍了我们在初中阶段所要掌握的一些基本图形，比如说第一部分是点、线、面，介绍了构成几何图形的基本元素，第二部分是相交线与平行线，对相交与平行这两种平面直线位置关系的概念、定义、性质和判别做了介绍。
接下来一部分是三角形，这部分内容里面涉及到三角形边角的基本性质、三角形全等的性质和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质。
第四部分是四边形，重点介绍了平行四边形，以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形的判别和性质。
第五部分是圆，重点介绍了圆的中心对称性和轴对称性，以及由此引出的与圆有关的性质。
当然这里面还有圆与其他图形（圆与直线，圆与四边形，圆与多边形）的关系。
在六、七这两部分内容中，作为几何学习的一个有机组成部分，分别谈到了尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。
对于尺规作图，除了这是一种作图方法，更多的是运用了图形判定的一些办法，实际上是对图形判定的一个具体应用。
另外，只有明确了定义，公理、定理和证明的意义，我们才能够更好地对图形的性质进行探索和证明。
老师们可能会注意到，在“图形的认识”里也有一些变化，比如梯形没有了，可能有的老师觉得不愿意把它去掉，我想是不是这样考虑的：
首先小学我们已经有了梯形的概念，包括它的面积计算；
其次对于梯形来说，我们往往是把它分割成平行四边形和三角形来研究的，而平行四边形和三角形已经作为基本图形在前面研究得比较充分了，也就是说梯形自身已经没有更多新的东西了，即它的问题基本上都解决了。
当然如果老师们愿意把梯形给学生们介绍一些也未尝不可，但是标准没有再单独把它列入在本学段的内容当中。
另外，标准中增加了圆内接四边形，这里主要是一个初步的了解，目的是把直线形和曲线形结合起来认识，希望老师们在教学的时候能够很好地把握，没有必要任意扩充。
史老师你看还有什么关于这方面的补充。
关于认识图形我想我们不能只关注图形的概念和性质这些知识点，还应在这个过程中，关注图形之间的关系，利用认识图形发展空间观念与几何直观，这都是我们教学当中应该考虑的。
还有一点，这部分介绍的主要基本事实有了一定的变化和调整，这是不是为了使得我们的证明体系，或整个证明大厦的地基更科学更严谨？
章老师提到的这个问题，我想已经进入到另外一个话题。
前面我们说到几何课要认识图形，现在我们考虑认识这样一些图形，以及认识什么。
对于一个图形，一方面，我们要研究它的各个组成元素的性质。
比如三角形的内角和等于180度，这是三角形三个角的关系，以及三角形两边之和大于第三边，这是三角形三条边的关系。
再如平行四边形的对边、对角、以及角平分线等相关结论，都是围绕图形自身的属性来展开的。
另一方面，我们还要研究两个图形（多个图形）之间的关系，如全等、相似，还有图形之间所具有的旋转，平移关系，实际上这些东西都可以归结为一种关系。
刚才章巍老师谈到几何证明的出发点，最典型的如两个图形全等的条件，这些恰恰就是我们研究其他图形的出发点，叫基本事实（公理）。
所以，大家可以看到我们认识图形的什么了。
大概有这么两类，一个图形的要素之间的关系，还有不同图形之间的关系，这些关系更多的都是用命题的形式来呈现，有一些是定理，有些我们作为这些定理证明的基础的基本事实。
这样我们就谈了两个问题，一个是认识的对象，另一个是认识这些对象的什么，还有一个问题就是我们用什么样的手段和方式来认识刚才我们谈到的这些图形。
认识图形的手段我们说是非常丰富的，标准的实验稿也好，修订稿也好，都特别提倡，首先我们利用直观的方法、利用实验的方法，或者叫做操作性的办法。
包括拼图，测量这样的手段。
对，这些办法对于学生发展的空间观念、几何直观，实际上都是非常重要的。
包括认识图形的属性。
对，认识它的性质也是非常重要的，另外变换的方法、坐标的方法，以及演绎的办法，也就是逻辑推理证明，都是认识图形的办法。
过去的教学当中，对于利用证明的办法来认识图形这一点老师们都没有疑问，最主要的是合情推理的这些办法有时不太重视，实际上这个方面是非常重要的，结论当然重要，但得到这个结论的过程本身，对于学生来讲也是非常重要的，对他们的能力的发展都是不可或缺的。
对于基本事实，它们是进行逻辑推理的起点，我们不怀疑它的正确性，并以它作为依据展开我们的推理证明。
标准实验稿的基本事实是6条，现在做了一些调整，是9条，从这些基本事实出发，证明了关于线段、角、三角形，四边形大概40几个结论，还包括圆，相似形的一些性质。
那么谈到认识图形，我想这些方法都应是有机地联系的，往往一个结论我们先通过合情推理得到一种猜想，然后我们再用逻辑推理的办法来进行证明。
在这个过程当中，学生不但学会了证明，得到了一些结论，同时也积累了一些数学活动经验。
刚才史老师谈得很清楚，我们在认识图形的方式方法上是多样的，我们一些老师的教学当中，证明和演绎更容易受到青睐。
这次课程标准的目标比较重要的变化就是，把双基拓展到四基，从两个能力拓展到四个能力。
我们在认识图形的方式方法的多样性方面，如果给予关注，实际上也正是对从双基到四基实践的一个很好的机会。
因为在这个过程当中，所谓的合情推理，包括归纳类比，一些数学的思想都会渗透其中。
另外刚才史老师谈到，基本活动经验的积累，画图、拼图、测量，要让学生经历这样的过程，比如变换，折叠运动很可能与后面演绎推理的辅助线的引出、图形的构造是联系很密切的。
其实这样的操作活动对学生积累活动经验，提供了非常好的机会。
所以老师们应该认识到，图形认识方法的多样性，带给孩子们的收获不仅仅是一些具体的结论。
在图形的认识的教学当中，还有什么注意事项和问题，章巍老师结合你自己的教学实际，也可以看有哪些好的建议。
怎样才能够使学生经历合情推理的过程？
首先应该有一个恰当的问题情境，提供一个背景问题让学生充分地去展开探讨。
给了他这个情境和机会，给了他这个时间和空间，他的探讨过程才充分，他才真正能经历合情推理的过程，得到相应的数学结论，然后再去证明。
所以我觉得几何教学，特别是图形性质这部分教学，应该注重这种过程性，把过程同样作为教学目标，真正落实在每节课当中。
像两位教授提到的，学生在这个过程中，收获的就不仅是结论了，还有在这个过程中所发展的各种观念、能力，我觉得是这样。
史老师，在教学当中，你也听了很多中学老师的课，可能也发现一些问题，你看有什么好的建议？
刚才说到恰当的问题情境，我觉得对于同一个问题，不同的问法、不同的提法，可能就会带来不同的教学效果，换句话说，发展学生不同的能力。
比方说一个问题，若直接问：
请你证明，就把合情推理的阶段错过去了，学生就没有这个机会了；
如果换一种方式，你能发现它有什么性质？
这样，你把发现的性质都罗列一下，然后再从某一个结论把话题引出去证明，这样学生就有发现的机会了。
所以说，如果我们的教学设计能够把合情推理作为教学目标、把它重视起来，然后利用适当地把这个问题提出来，也就是创设恰当的问题背景。
因为图形的性质在我们教学当中占得比重比较大，所以老师对这部分内容的处理是不是能够很好地去按照标准的要求去做，对学生的“图形与几何”这部分内容的学习还是关系很重大的。
在研究图形的性质的过程当中，一个是研究的性质有哪些我们要明确，第二个研究它的手段和途径我们希望老师们也能够按照标准这样的要求做一个很好的设计。
在一节课当中，使过程性目标和结果性目标对接，其实这里面我觉得大有文章可做。
我们也很欣喜地看到，新课程实施后，老师们做得很好，通过我们对新课程标准修订稿进一步学习，老师们能够把这方面做得更好，真正能够发展学生的推理能力、空间观念和几何直观，另外对学生的情感态度、数学思想、数学活动经验等等方面都能有一个很好的触及。
关于这个话题，我们就先聊到这儿。
三、图形的变化内容与教学分析
老师们，下面我们再一起交流一下，图形的变化这部分的内容要求，以及我们教学当中应该注意的一些问题。
为什么要安排图形的变化的内容？
是不是可以从这样几个角度来分析，首先图形的变化应该是图形一种属性的体现，比如有很多图形本身就是轴对称的，如等腰三角形、正方形等等。
那么有一些图形又表现为中心对称，比如平行四边形，当然平行四边形也可以看成一条边是由其对边平移得到的。
所以在我们所学的图形中，大都已经隐含了我们用变化的角度来认识它，来看待它这样一种属性；
第二，在日常生活当中，我们也会看到图形的运动，又是一个很常见的现象。
所以，能够用运动变化的观点来认识图形，是更好认识我们周围世界的另一个角度；
还有就是从学生的可持续发展的角度来看，到了高中、甚至大学，变换也是进一步学习的内容；
另外从国际的课程的比较来看，国际上很多国家的几何课程，也都是把变换或者图形的运动，作为课程内容的重要组成部分。
所以，从刚才以上几个角度分析，大家就能够理解把图形的变化纳入到我们课程里面的缘由了。
对于图形变化的主要的脉络和线索，我想还请史老师给我们具体分析一下。
相对来讲，图形变换对于老师们是比较新的内容，我刚才说过，这里面有合同变换——轴对称，旋转，平移。
对于这些概念，从标准上来讲，对于教学实际上的要求，不是说要严格对它来进行定义，只是直观的描述。
所以，老师们在这个地方也不必过多地去深挖定义，主要是和学生们一起对它的性质做一些研究。
同时还有相似，相似的内容比较多，其中包括位似，另外就是投影，平行投影和中心投影，还有视图，都和相似联系得比较密切。
对于相似我们主要以三角形的相似为主，这里面还包括增加了一条基本事实，…
平行线分线段成比例。
增加这个基本事实的目的，是希望能够对后边三角形相似的判定提供证明的基础，当然这部分证明是打星号的内容，所以这个基本事实的给出实际上是针对学有余力的学生，对他们的证明学习进一步打基础。
关于相似里的位似，根据标准，要求是了解位似能够把图形放大或者缩小，老师们在这个地方也不必过多深究。
另外就是关于旋转，主要研究中心对称。
刚才史老师谈到，我们谈到的轴对称、旋转、平移，统称为合同变换，因为它们的共同特征是保持图形的大小不变。
在学习合同变换时，应主要把它作为认识图形的一种工具和途径，比如说等腰三角形具有轴对称性，我们发现它的底角能够重合在一起是相等的，这成为我们认识图形基本性质的方法。
另外，因为在生活中，轴对称的现象、旋转的现象、平移的现象都很常见，所以也是我们从数学的角度来认识现实世界的一个工具。
我们前面谈到的数学思考，实际上就是学会用数学的观点来认识现实世界，以前可能我们看一个图形或图案的时候，仅仅说这个很好看、很美，但现在我们看出这个图案是轴对称的，或这个图案之间具有旋转的关系等等。
审视的眼光不一样了，就会帮助我们进一步去创造，利用这些方法设计一些图案。
我们现在教学当中，利用变换去证明一些几何题，甚至有些很难，我想从标准的初衷不是这样的，这不是课程标准的本意。
也希望老师们不要在教学当中，在这个方面做很多工作，结果把学生注意力和精力引到另外一个方向上去。
另外我们现在内容里面的三视图，它和机械制图是不一样的，老师们不要以画机械制图的要求来要求学生，其目的是体会二维图形与三维图形之间的转换，这是非常重要的一个途径，这里侧重于能够从不同的方向去观察一个立体图形，利用投影画出来，而不是把重点放在怎么精确上，包括位置上的对齐等等，在处理这部分内容时，应该把握住这个度。
还有一点，在第三学段里，我们学习三角函数，但实际上这个地方我们没有从函数角度来定位，而是更多地研究一些特殊三角形的边角关系，没有从变量的角度，目的还是解直角三角形，它的要求和高中的三角函数是不一样的。
在教学当中，图形的变化这块具体的教学，章巍老师可以谈一谈，有没有一些什么建议，包括值得我们注意的问题。
我谈几点建议。
首先说图形的变化这一部分，跟传统的几何教学的演绎证明还是不同的，可能老师有些时候对难度和深度的把握会有不同的理解。
我觉得变换得建立在学生直观经验的基础上，换句话，我们对轴对称，对旋转、平移，不仅从文字上去理解，或者能用它去做题，应更多的让学生建立丰富的大量的实例，只有经历这样一个过程，才能够把这种变换内化在自己对图形的认识当中、自觉去从变换的角度认识图形。
另外一点，有些老师为什么不是很重视图形变化这部分内容呢？
往往觉得，它和演绎证明联系不大，作用不强。
应该说，虽然我们不能用变换的方式去完整地处理综合证明的题，但是我们不妨用变换的角度去认识这些问题，挖掘这些问题的证明思路。
我们会看到，所有跟等腰三角形有关的证明题，往往都跟等腰三角形的轴对称性相关，如果要添加辅助线，往往都是在对称轴上做文章。
同样所有跟平行四边形有关的证明问题，往往跟对称中心是相联系的，两条对角线的交点起着很关键的作用，所以图形变换往往能够成为我们解决和研究图形非常有利的工具。
另外一点，研究变换要抓住这些变换形式中最本质的数学内涵，其实合同变换也好，相似变换也好，我们主要的是研究一个图形在变化之后的不变性。
克莱因曾说过，几何学就是研究在变化当中的不变量，合同变换的性质主要集中在哪些角、哪些边保持着相等，相似变换虽然不能保边相等了，但是它保角相等，边之间变成了一种稳定的比例关系。
如果从这些角度去认识变换的话，我们能认识到变换更统一的、更深层的东西。
最后一点，就像刚才刘教授所提到的，不建议老师们把变换作为一种手段去挖掘难题，当将变换作为命题手段的时候，往往偏离了我们把它作为研究图形途径的初衷，所以在这儿准确把握教学难度和考试难度，也是我们在教学中应该关注的问题。
我觉得刚才章巍老师这一点谈的很好，在变换这个地方，老师们还要认识到在这样的一个变换当中，哪些东西不变，因为不变的东西是一种规律的体现，所以这是我们要研究的东西。
好，那我们这个话题就谈到这儿。
四、图形与坐标内容与教学分析
好，老师们下面我们继续探讨关于图形与坐标这个线索之下的一些内容和教学上的一些建议。
谈到这一部分我一直有一个问题，可能也是在实践教学当中很多老师的一个困惑，因为我们知道在原来实验稿之前的大纲里面是把坐标这部分内容，放在我们学习函数之前的一节，要学习函数了，我们首先介绍坐标系是怎么组成的，所以很多老师始终认为这就是为函数服务的，坐标系最主要的作用体现在画函数图象上。
那么，我们为什么把图象与坐标这部分内容，放在图形与几何这个模块里面来，同时还在坐标系里面赋予了这么多的内容，包括与图形变换的联系呢？
我想，引入直角坐标系，首先就是要确定平面上一个点的位置，这和生活有很密切的联系。
比方说我们下棋的棋盘、电影院里的座位、地图等等，把这个东西抽象出来就是坐标系了，在初中就是平面直角坐标系。
我们画函数的图象当然利用的也是坐标，但这比确定点的位置更抽象，比如我们画时间和路程关系的图象，1小时，50公里，这两个量的单位完全是不同的，但是它是有序数对这一点是不变的，所以我们可以借助坐标系画出它的图象，然后利用图象来研究函数的性质。
所以画函数的图象，应该是平面直角坐标系的一个进一步的应用。
首先我认为标准的研制可能基于这样一个考虑，就是坐标系更多的还是确定点的位置的一个工具。
因此在图形与几何里给出就是很自然的东西。
刚才史老师也谈到了，我们有了坐标系之后，因为有了有序数对和点的对应，恰与函数中自变量和因变量之间的关系相似，所以使得坐标系又成为研究函数的工具。
从这个意义上讲，把坐标系放在图形与几何里应该是顺理成章的事情。
我明白了，实际上坐标系的本源在几何图形上，在研究函数的时候，只是借用这样一个二维平面，利用表示几何图形当中点的位置的方法来产生函数的图像。
进一步我们说在图形与坐标里面到底借助坐标系做一些什么、在第三学段我们可以做哪些事情。
从标准来讲，首先是熟悉坐标系最基本的要素，比如坐标轴、单位，原点等等，然后要让学生了解用一个数对可以刻画点的位置，进一步刻画图形的位置，一个图形的关键点的位置确定了，这个图形的位置就确定了。
当然这时候都是静止的，在学习了图形的运动后，就进一步研究坐标的变化和图形的变化之间的联系。
这一点，前面史老师曾经谈过，标准的修改稿和原来实验稿有一些变化，提高了要求，比如要让学生知道，沿着坐标轴的方向平移一个图形，它的坐标变化和图形变化的联系。
还有轴对称等等。
当然我们也不能做太复杂的东西，其宗旨就是希望学生通过这部分的学习，能够体会用坐标系刻画点的位置，点的位置和变化和图形的运动变化之间的规律，仅此而已，没有解析几何这样的要求。
对，是这样的，比如按照标准，轴对称就是研究以坐标轴为对称轴的情况。
另外，要求在坐标系里研究图形的平移，而不要求去探究图形的旋转。
再就是位似，我们只研究直线形（多边形），并且多边形还要有一条边放在坐标轴上，位似中心是坐标原点。
所以，也希望老师们能够再好好研读一下标准上的要求，在教学当中把握住这个要求的度。
另外在这部分内容的具体教学上，是不是我们再看有没有什么好的经验和建议给老师们。
经过10年时间的实践，老师们也积累了丰富的教学经验，就我个人而言，也想谈自己的一点感受，跟大家分享。
第一点，我觉得图形与坐标的教学，应该贯穿在咱们整个教学始终，其实很多时候我们都可以培养学生这种量化的、坐标化的感受，比如说数轴，还比如说我们在
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