学年人教B版高中数学必修5全册知识导航学案Word格式文档下载.docx

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a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

知识导学

本节知识在现实生活中应用广泛，与前面学过的很多内容联系密切.所以学习本节前，要对相关的知识进行系统的复习.如初中我们学习过的勾股定理、三角形的面积公式以及三角形的内心、外心、重心、垂心等性质，还有三角形内角和、三边关系、内角平分线定理等相关内容.这些知识对本节的学习起着基础性的作用.

由于此类问题主要有两类考查方式：

一是与三角函数结合，再是与平面向量尤其是向量的数量积结合，求值或判断三角形的形状.所以学习中还要注意与三角函数、平面向量等知识联系，将新知识融入到已知的知识体系中，从而提高综合运用知识的能力.

疑难突破

1.如何恰当地使用正、余弦定理?

剖析:

正、余弦定理揭示的都是同一个三角形的边角间的关系，有了这两个重要定理后，对于三角形问题的解决就有了一定的信心.在应用时，通常视题中所给的具体条件而定.一般说来，正弦定理常宜解决下列问题：

（1）已知两角及一边，求其他元素；

（2）已知两边及其中一边的对角，求其他元素.而余弦定理常宜解决下列问题：

（3）已知三边，求各角；

（4）已知两边及其夹角，求其他元素.

由于三角形全等的判定定理有“角角边”“角边角”“边边边”“边角边”，所以以上的

（1）（3）（4）情形都只有一解，而

（2）这样的情形可能有一解、两解或无解.

当然这也不是绝对的，有关解三角形的问题，在具体的问题中如何恰当地使用这两个定理必须视具体问题而定，有时在同一个问题中可能这两个定理要同时使用才能达到目的或者使用其中的任何一个定理都可以达到目的.另外,还应当注意使用方式，是利用定理的原始形式还是使用相应的某种变形形式，这都是要在具体问题中去具体地分析才行.

2.解决三角形问题时，除了正、余弦定理及三角形面积公式是基础外，还要用到哪些基础知识?

应注意的问题是什么？

有什么规律？

另外还用到的知识主要有:

（1）三角形的一些性质，如：

内角和定理、勾股定理、大边对大角等，如cos（B+C）=-cosA，tan

，sin（2A+2B）=-sin2C.

（2）三角变换.三角变换是基础，是计算和证明的关键.

规律：

（1）分析条件，缩小差异，尽量实现边角的统一，或化边为角，化角为边；

（2）选用合适的公式，将三角变换和解三角形问题结合起来.（3）注意画图，分清题意，注意条件和结论的联系，选准突破口.

1.2应用举例

1.在解决与三角形有关的实际问题时的一些名词、术语

（1）铅直平面：

与海平面垂直的平面.

（2）仰角与俯角：

在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角.当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线以下时，称之为俯角，如图1-2-1所示.

（3）方位角：

相对于某一正方向的水平角，如北偏东60°

如图1-2-2所示.

图1-2-1图1-2-2

2.应用解三角形知识解实际问题的解题步骤

（1）根据题意画出示意图；

（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元素和未知元素；

（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；

（4）给出答案.

本节知识在现实生活中应用广泛,如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等.这些都要对正弦定理及余弦定理以及三角形的相关性质有一个全面而准确的把握，所以在学习本节前要对这些相关知识进行系统地复习回顾,才能在此类问题中熟练应用，从而解决问题.该部分知识在高考中单独命题的可能性较小，所以我们不需要学习的太深太难，关键是把握该类题型的求法.

1.对于与解三角形有关的题目一般方法是怎样的？

解三角形问题都是以三角形为载体，解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角关系，能依据题设条件合理地设计解题程序，进行三角形中边角关系互化.判断三角形的形状是常见题型，主要的方法有两种：

一是利用已知条件寻找边的关系；

二是寻求角的值或角的关系，有时已知条件中有边角混杂的式子，可用正弦定理或余弦定理进行边角互化，以达到化异为同的效果.对三角函数式的变形仍以常用的三角公式为基础.

2.“方位角”“仰角”“俯角”等一些表示方位的角有何区别?

在实际生活中，方位角是大家所熟悉的，首先在地图上，东西南北这四个基本方位要能区分开来.“仰角”就是由低处往高处望，相应视线与水平线所成的角；

而“俯角”就是由高处往低处看，相应的视线与水平线所成的角.另外，常见的还有其他一些角，对于在具体问题中所出现的新名词，自己应该根据具体问题体会其含义,从而正确地将问题解决.只有这些角能正确地区分开来，才能将问题恰当地解决.

2.2等差数列

1.等差数列的定义

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d（n∈N+）.

2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+（n-1）d.

3.等差中项

若三个数a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且A=

4.等差数列前n项和公式

Sn=

或na1+

5.等差数列的单调性

等差数列{an}的公差为d,若d＞0,则数列为递增数列,且当a1＜0时,前n项和Sn有最小值;

若d＜0,则数列为递减数列,且当a1＞0时,前n项和Sn有最大值.

6.等差数列的常用性质

已知数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d.

（1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;

推论:

若m+n=2p,则am+an=2ap.

（2）等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列,公差等于m2d,即

Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列,则有S3m=3（S2m-Sm）.

（3）从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.

如a1,a4,a7,a10,…（下标成等差数列）.

等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前n项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:

一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对a,d的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.

1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢?

判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:

（1）定义法:

an+1-an=d（常数）（n∈N+）

{an}是等差数列;

（2）递推法:

2an+1=an+an+2（n∈N+）

（3）性质法:

利用性质来判断;

（4）通项法:

an=pn+q（p、q为常数）

（5）求和法:

Sn=An2+Bn（A、B为常数,Sn为{an}的前n项和）

{an}是等差数列.

其中（4）（5）两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用

（1）

（2）（3）这三种方法,而方法（3）还经常与

（1）

（2）混合运用.

证明数列{an}是等差数列有两种基本方法:

（1）利用等差数列的定义,证明an+1-an（n≥1）为常数;

（2）利用等差中项的性质,即证明2an=an-1+an+1（n≥2）.

2.如何求等差数列前n项和的最值?

可从以下两个方面思考:

（1）利用前n项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.

Sn=na1+

当d≠0时,此式可看作二次项系数为

一次项系数为a1-

常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=

x2+（a1-

）x上的点集,坐标为（n,Sn）（n∈N+）,因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:

当d＞0时,Sn有最小值;

当d＜0时,Sn有最大值.

（2）结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当d＞0时,则数列为递增数列,且当a1＜0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前n项和Sn有最小值;

当d＜0时,则数列为递减数列,且当a1＞0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前n项和Sn有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.

2.3等比数列

1.等比数列的有关概念

（1）一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,表示为

=q（n≥1）（q≠0）.

（2）若三个数a,G,b满足G2=ab,则G叫做a,b的等比中项.

（3）等比数列的通项公式an=a1qn-1.

（4）等比数列的前n项和公式

2.等比数列的性质

（1）若m+n=p+q（m,n,p,q都是正整数）,则am·

an=ap·

aq.在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.a1an=a2an-1=a3an-2=…=al·

an-l+1.

（2）当q＞1时,如果存在一项a＞0（或＜0）,那么等比数列中的数随项数的增大而增大（或减少）.当0＜q＜1时,如果存在一项a＞0（或＜0）,那么等比数列中的数随项数的增大而减少（或增大）.当q=1时,等比数列中的数等于同一个常数.当q＜0时,等比数列中的数不具有单调性.

（3）如果数列{an}是等比数列,那么数列{c·

an}（c为常数）,{an-1}、{|an|}也是等比数列,且其中{c·

an}的公比不变,{an-1}的公比等于原公比的倒数,{|an|}的公比等于原公比的绝对值.另外若有m个等比数列,它们的各对应项之积组成一个新的等比数列.

等比数列与等差数列有很多类似的性质,所以在学习的时候应该把等比数列和等差数列进行类比,从定义到通项公式、前n项和公式、性质以及解决问题的思路都要进行比较.通过复习等差数列的定义和性质去学习理解等比数列的定义和性质,在学习中注意理解等差数列中的“差是一个常数”与等比数列中的“比是一个常数”.并在学习本节知识前复习指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象等有关知识,类比等差数列的通项公式与一次函数的关系来理解等比数列与指数函数的关系.学习的时候应注意区分它们的不同之处.

1.等比数列概念的理解.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.要注意理解“公比q≠0”,等比数列的首项不为0,等比数列的每一项都不为0,即an≠0;

另外,强调“从第2项起”,是为了保证每一项的前一项存在,公比的基本特征是“同一常数”,如果漏掉了“同一”两字,就会破坏等比数列中各项的共同性质.

2.等比数列前ｎ项和的推导利用了错位相减法,如何理解这一方法?

错位相减法求数列和的实质是把等式两边同乘以等比数列的公比q,得一新的等式,错位相减求出Sn-qSn,这样可以消去大量的“中间项”,从而能求出Sn.当q=1时,Sn=na1;

当q≠1时,Sn=

.这是分段函数的形式,分段的界限是q=1.

对于形如{xn·

yn}的数列的和,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列,也可以这样求和:

错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

利用这种方法时,要注意到公式及其他应用问题对公比的分类讨论.若已知q≠1,求等比数列前n项和的方法一般是利用Sn的表达式的特点;

当q=1时,求和就简单多了,这时数列的每一项都相等,直接将这n个相等的数相加即可得.

3.1不等关系与不等式

1.比较两实数大小的理论依据

a-b＞0

a＞b;

a-b=0

a=b;

a-b＜0

a＜b.

2.不等式的性质

（1）对称性:

a＞b

b＜a.

（2）传递性:

a＞b,b＞c

a＞c.

（3）加法法则:

a+c＞b+c.

推论1:

a+b＞c

a＞c-b;

推论2:

a＞b,c＞d

a+c＞b+d.

（4）乘法法则:

a＞b,c＞0

ac＞bc;

a＞b,c＜0

ac＜bc.

a＞b＞0,c＞d＞0

ac＞bd;

a＞b,ab＞0

;

推论3:

a＞b＞0

an＞bn（n∈N+,n＞1）.

（5）开方法则:

（n∈N+,n＞1）.

两个实数比较大小和他们的差之间的关系是不等式性质的基础,也是两个实数比较大小的根据.不等式的性质是本章的理论基础,要求准确理解,否则会成为百错之源.通过对性质的证明,认真体会逻辑推理的严谨性.要善于用简洁精确的数学符号语言表达和推证数学结论,理清知识之间的逻辑因果关系.

1.作差法和作商法的适用范围.

作差法和作商法是比较实数大小或证明不等式的重要方法.

一般的实数大小的比较都可以采用作差法,但是要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解、配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系.

作商法主要使用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要使用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较.例如,比较aabb与

大小就可以使用作商法.

在解决这些问题的时候,要根据题目的具体结构特点,选择其中一种合适的方法.如是和差的形式一般用作差法,乘除的形式一般用作商法.

2.证明或比较实数大小的方法及注意事项.

证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法.

实数比较大小,可采用作差或者作商法说明不等式两边的数或者式子的大小,从而得出结论.这里需要注意的是,使用作商法之前必须判断要证式子两边为正,才能进行下去.

在证明不等式时还可以利用已经证明的结论,或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小得出结论.需要注意的是,有些结论的递推是双向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的对称性就是双向的,而传递性就是单向的.在不等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符号.

有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明,它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.

要注意不等式与函数的结合,函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具,尤其是函数的单调性.如:

a3＞b3,可根据幂函数y=x3在R上是单调递增得到.

3.2均值不等式

1.几个重要不等式

（1）a2+b2≥2ab（a,b∈R）;

（2）

≥

（a,b＞0）;

（3）

+

≥2（ab＞0）;

（4）ab≤（

）2（a,b∈R）.

2.利用算术平均数与几何平均数之间的关系求最大值、最小值

（1）若a,b＞0，且a+b=P（P为常数），则ab存在最大值为

.若a,b＞0，且ab=S（S为常数），则a+b存在最小值为

（2）应用均值不等式求最值应满足的条件是一正、二定、三相等.

本节的主要问题是均值不等式的应用，要理解并且牢记公式及其变形.它的应用范围是非常广泛的，如：

求最值、证明不等式、解决实际问题、比较大小、求取值范围等.其中应用最重要的是积大和小定理：

两个正数当和是定值时积有最大值，当积是定值时和有最小值.应用该定理要注意三个限制条件——一正、二定、三相等.当等号成立的条件不成立时，要从函数的性质（单调性）入手思考.

1.利用均值不等式求最值时应满足什么条件?

剖析：

利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.

“一正”,所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.例如,很容易根据均值不等式得出y=x+

≥2的错误结论.

“二定”,含变量的各项的和或者积必须是常数，例如要求a+b的最小值，ab必须是定值.求ab的最大值,a+b必须是定值.

“三相等”,具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值.例如，y=

+

，满足“正”和“定值”的条件，但要取等号必须

=

，即x2+2=1，这是不可能的，所以其最小值不是2.在利用均值不等式求最值时,必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立就可能得出错误的答案.

2.利用均值不等式求函数最值时,凑定值有哪些技巧?

利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点:

（1）将所得出的恒为正的函数式平方，然后再使用均值不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题;

（2）有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数，再使用均值不等式求解.主要是一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值;

（3）有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立;

（4）有时候使用均值不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如ab≤（

）2、

≥（

）2等.

3.3一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式ax＞b的解集

（1）若a＞0,解集为｛x｜x＞

｝;

（2）若a＜0,解集为｛x｜x＜

（3）若a=0,b＞0时，解集为

，a=0,b＜0时，解集为R.

2.一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集，其中Δ=b2-4ac，x1,x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，且x1＞x2.

（1）当a＞0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x＞x1或x＜x2｝;

若Δ=0,解集为｛x｜x≠x1,x∈R｝;

若Δ＜0,解集为R.

（2）当a＜0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x2＜x＜x1｝;

若Δ=0,解集为

若Δ＜0,解集为

3.一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要条件是a＞0,Δ＜0.一元二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立的充要条件是a＜0,Δ＜0.

一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的综合角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集.含有参数的不等式要注意分类讨论.分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化.

1.怎样解决含参数的一元二次不等式恒成立问题.

含参数的不等式恒成立问题中,求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围.一般遇到这类问题时，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：

（1）分离变量法

如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数值域的方法将问题化归为解关于参数不等式的问题.

一般地分离变量后有下列几种情形：

①f（x）≥g（k）

［f（x）］min≥g（k）;

②f（x）＞g（k）

［f（x）］min＞g（k）;

③f（x）≤g（k）

［f（x）］max≤g（k）;

④f（x）＜g（k）

［f（x）］max＜g（k）.

（2）数形结合

对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显时，可以作出它们的图象，利用图象运动变化的特点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式.

（3）分类讨论法

当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件.

（4）利用判别式

可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，利用判别式来求解.

以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理.

2.怎样解已知含有参数的二次不等式或者方程的解,求另一与此有关的方程或者不等式问题.

在解决与已知变量相关的二次不等式（或方程）问题时可以从以下几个方面考虑:

（1）利用二次方程根与系数的关系（韦达定理）:

它在解决二次方程相关系数问题时可以起到桥梁的作用,可以沟通已知和待求问题之间的联系.所以,在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法.

（2）利用二次函数的图象（数形结合）:

有些方程或不等式问题用纯代数式运算比较麻烦或者计算量较大,可以考虑该问题与二次函数的关系,根据条件设出对应的二次函数,画出二次函数的图形,由图形（主要是二次函数与x轴的交点）情况判断待求问题的解,也可以根据图形直接解不等式（尤其是含有参数或者绝对值的不等式）.

（3）分解因式法:

有些虽然不是二次方程或者不等式,或变量的系数含有字母,但是却能进行因式分解,这样可以先考虑因式分解,把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解,再对解的情况进行讨论即可.

3.4不等式的实际应用

数学应用性问题,就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或者非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题.利用不等式解实际应用问题一般分以下几个步骤:

1.阅读理解材料:

应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向.

2.建立数学模型:

根据前面的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所求和已知的对应关系，以便确立下一步的努力方向.

3.讨论不等关系:

根据以上建立的数学模型和题目要求,应用与不等式有关的知识，讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值.

4.作出问题结论:

根据以上步骤得到的理论参数值,结合题目要求作出问题的结论.

本节课的主要内容是利用所学的不等式的有关知识解决实际问题，关键在于正确理解题意，寻找相等与不等关系，把实际问题转化成数学模型，因此必须具备较强的阅读理解能力.不等式应用题要注意与函数等有关内容的结合.

1.应用题大多用文字、图表等进行叙述，要解决题设问题首先要理解题中所叙述内容的含义，也就是说，阅读题意就是最关键的一个环节