年全国高中数学联赛江西赛区预赛试卷及详细解答Word格式文档下载.doc
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C.
对于其中任一点P，以P为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则.
由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。
据对称性可知。
因此等腰三角形共有个。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．设适合等式则的值域是。
由将换为，有,两式消去得.
8．若对满足的任何角,都有
，则数组=。
。
左边
与右边比较得
9．等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有个。
58。
将二个数列的各项皆减3，化为0，7，14，…，2002与0，5，10，…，2000，前者为不大于2002的各数中7的倍数，后者可看成以上范围内的5的倍数，故公项为35的倍数.
∴
10．若对所有正数不等式都成立，则的最小值是。
由当时取等号，故的最小值是。
11．若为一个平方数，则正整数。
10。
，设有，于是有故
12．用标有1，2，3，15，40克的法码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有种。
55。
用1，2，3这三只法码，可称出区间中的全部整克数,增加15克的法码后，量程扩充了区间，再增加40克的法码后，
量程又扩充了三个区间：
，
但区间与有三个整数重复，计算上述各区间内的整数个数，则得能称出的不同克数共有6+13+（13+13+13）-3=55种。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．直角三角形中，分别是直角边上的任意点，自向引垂线，垂足分别是。
证明：
四点共圆.
共圆,共圆，
又共圆,由共圆，得所以
故共圆.
14．的三条边长为，证明.
由于只要证：
……①
注意：
故由①，只要证……②
取等号当且仅当此时为正三角形，即
15．试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.
首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，。
再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:
为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。
当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；
当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为
二○○六年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
答案及评分标准
2006年9月24日上午（8∶30-11∶00）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是（）
由依次得
，互易得.
2．集合由满足如下条件的函数组成：
当时，有，对于两个函数，
以下关系中成立的是（）
．
，取，
则.
中，则比式等于
如图易知，
因此选
4．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（）.
由以及
得，
5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则的最大值为（）.
不能确定.
.（时取等号）
6．函数的值域为（）
的定义域为则，令，则
因，则.
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.
7．若，则.
.
由条件得，
8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为，则
由，即当时，
，所以，于是，
9．为实数，满足，则的最大值为.
设，则
，（当时取等号）.
10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为.
从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有个数.
11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.
个“线段对”.
任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；
含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；
不含的侧面恰有两条中位线与异面；
因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.
但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.
12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.
种.
将其转化为具有五个扇形格的
圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。
设有个扇形格的圆盘染五色的方法数
为，则有
，于是
13．设为正数，证明：
证：
对归纳，时显然成立等号；
设时结论对于任意个正数成立，
当时，对于任意个正数，据假设有
，…5分
所以
只要证，…
平方整理，只要证，
……10分
由柯西不等式
……………15分
即
所以
即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.…………20分
14．三角形中，是的中点，、、分别是边上的点，且△的外接圆交线段于若点满足：
在圆中，由于弦故圆周角，因此，
、、、与、、、分别共圆，于是…………………5分
设点在边上的射影分别为、、，则
△∽△∽△，故由得，
设△的内心为今证四点共圆：
连因分别共圆，
则，
又由，，所以△∽△
因此
而所以因为故得，因此、、、四点共圆，于是……………10分
延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为⊙O的切线.
延长AD交⊙O于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②………………………15分
延长到,使，则为平行四边形,
...③
由②得...
由③、得∽
所以，,即BPM=CPD.…………………20分
15．数列满足：
，（其中表示的整数部分，），试求的值.
观察数列开初的一些项：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24
28
33
38
44
50
57
64
72
80
88
我们注意到，数列严格单增，每个正整数，顺次在数列中出现，并且除了首项之外，每个形如的数连续出现三次，其它数各连续出现两次.…5分
一般地，我们可证明数列的以下性质：
若记，则,
若记则当时，有…10分
对归纳.据上面所列出的项可知，当时结论成立.设性质对于成立，即在时，，则
再对满足的归纳：
当时，由于，则，
因为，则
设当时，均有，则当时，因为
…
即有，所以
由于
故由归纳法，当时，
特别是，当时，上式成为
又由，当，有
由可知，对于当时，亦有
，从而性质成立.…………………15分
因为，取，则，，
因此.…………………20分
二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（）．
、；
、；
、；
、；
2、设，又记则（）．
3、设为锐角，，则的大小顺序为（）．
4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）.
、.
5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为（）.
、；
、；
、；
、.
6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（）．
、、；
7、若实数满足：
，则.
8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为．
9、计算.
10、过直线：
上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为.
11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是.
12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，
则．
13、数列满足：
；
令
求．
14、如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，
为直角三角形．
15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．
二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（）
答案：
若，则，不合条件，排除，又由
，故与同号，排除；
且当时，有可能成立，
例如取，故选．
2、设，又记则（）
，据此，，，因为型，故选.
3、设为锐角，，
则的大小顺序为（）
，
，故.
选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；
选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；
四色全用有种（因为固定位置），合计种.
设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则，，则，.
用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，；
从而
解：
据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；
设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则
故．（当或时取等号）
.解：
设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义，，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时，
点坐标为，据得，，椭圆的方程为.
据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；
所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体；
例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.
12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则．
简称这种数为“好数”，则一位好数有个；
两位好数有个；
三位好数有个；
…，位好数有个；
，记，因，，即第个好数为第个六位好数；
而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；
而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；
而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；
则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则．
求
改写条件式为，则
所以，；
为直角三角形.
证：
由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点;
因是的内心，故共线，且.
又是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，，又因
则.作于，则有，
，且，所以，，故得，因此，是的中位线，从而
∥，而，则.故为直角三角形．
证二：
记，因是的中垂线，则，由条件
延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，
即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形．
15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．
称为的数码组，则；
一、当数码组只含一个值，为，共得个值；
二、当数码组恰含二个值，．
、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个
，可取个值，则数码组个数为，对于每组，
有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，据构成三角形条件，有，
的取值
中的个数
共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．
以上共计个．
三、当数码组恰含三个值，．
、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，同情况，有个值．
以上共计个值．
四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值．
综上，全部四位三角形数的个数为个．
2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、选择题（每小题分,共分）
、若函数的值域为，则实数的取值范围是（）.
、；
、．
、设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）.
、；
、四面体的六条棱长分别为，且知，则
.
、 ；
、 ；
、．
、若对所有实数，均有，则（）.
、；
、；
、．
、设，是的小数部分，则当时，的值（）．
、必为无理数；
、必为偶数；
、必为奇数；
、可为无理数或有理数．
、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：
（甲）.必为合数；
（乙）.必为两个平方数的和.
你的判断是（）
A.甲对乙错；
B.甲错乙对；
C.甲乙都对；
D.甲乙都不一定对.
二、填空题（每小题分，共分）
、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为.
、设，则函数的最小值为.
、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则．
、.
、数列满足：
，且对每个，是方程的两根，则.
、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为．
三、解答题：
、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；
分别是的内心与旁心．
、（分）设为非负实数，满足，证明：
、（分）对于元集合，若元集，
满足：
，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）．
试确定集共有多少个“等和划分”．
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
欲使的值域为，当使真数可取到一切正数，故或者；
或者且，解得
将代入椭圆方程并整理得，，
因直线和椭圆有公共点，则判别式，利用
，化简得，所以．即．
四面体中，除外，其余的棱皆与相邻接，若长的棱与相邻，不妨设，据构成三角形条件，可知，，
，于是中，两边之和小于第三边，矛盾。
因此只有.另一方面，使的四面体可作出，例如取.故选
、若对所有实数，均有，则（）.
记，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意．
令，则，是方程的两根，
则，所以当时，，令，则当时，，故所有为偶数，
，，
因，所以为的小数部分，即，
奇数．
答案:
设，为正整数；
则
…，
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