浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案Word格式文档下载.doc

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2．已知一个角大于120º

的三角形的三边长分别为，则实数的取值范围为（B）．

A．B．C．D．

第3题图

B.

由题意可知：

解得。

3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，

则二面角M-CD1-A的余弦值为（C）．

A．B．C．D．

C.

以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，且平面的法向量为，平面法向量为。

因此，即二面角M-CD1-A的余弦值为。

4．若实数满足，则的最大值为（C）．

A．B．C．D．2

由满足的条件知，所以，当取等号。

5．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为（D）．

A．B．C．D．

参考答案：

D.

如图5-1所示，

A

B

C

P

Q

R

H

图5-1图5-2

（1）当的直角顶点在的斜边上，则四点共圆，所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点.

过作于，则,所以,此时的最大值为.

（2）当的直角顶点在的直角边上，如图5-2所示，设,则

在中，

在中，,

由正弦定理,

，因此.

这样，，当且仅当取等号，此时的最小值为.

6.已知数列的通项，，若，则实数等于（D）．

A．B．C．D．

则，所以

，经检验只有符合题意。

7．若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（C）．

A．B．C．D．

不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为，面积为过的直线的倾斜角为。

当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，，此时正方形的面积。

同理，当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，；

当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，.

8．若集合，则集合中的元素个数为（B）．

A．4030B．4032C．20152D．20162

由已知得，因为一奇一偶，所以两者之一为偶数，即为共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合共有4032个元素.

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）

9．已知函数满足，，且，则．

.

，所以

10．若数列的前项和，，则=．

又，故,

11．已知F为抛物线的焦点，点A（3，1），M是抛物线上的动点．当取最小值时，点M的坐标为．

设抛物线的准线为.过M作的垂线，垂足为则

当三点共线时取等号，此时M的坐标为。

12．若，则.

解答:

设，则，代入方程得或，即

或，所以。

13.设函数，其中表示中的最小者．若，则实数的取值范围为．

当时，此时有；

当时，此时有。

14．已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则的最大值为．

24.

，则又

此时共圆，由正弦定理得，则。

在中，,由余弦定理得,即，所以，当时取“=”，因此的最大值为24.

15．设，若对任意，都有，则

首先令知.其次考虑过定点（0,2）的直线，与开口向上的抛物线，满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧，因此.又，故.

三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）

16．设，函数．若对任意实数，方程有两个相异的实根，求实数的取值范围．

因为方程有两个相异的实根，即方程有两个相异的实数根，所以………………………………4分

即对任意实数恒成立，所以

，…………………………………………………12分

解得.…………………………………………………………………………16分

17．已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆心．

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标．

（Ⅰ）设椭圆的半焦距长为，则，解得，所以椭圆方程为.………………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线的率存在时，可设直线的方程为，点的坐标为，其中.

联立方程，消去得…………

（1）

所以即

……………………

（2）……………………………………………8分

联立方程消去得

………………（3）

……………………………（4）…………………………12分

（2）-（4）得………………………………（5）

（5）代入（3）得………………（6）…………………………16分

（6）代入得.

经检验或符合题意，这样点的坐标为.…………18分

18．已知数列满足．证明:

．

证明：

因为，所以

……………………8分

又，

所以.……………………16分

所以.因此……18分

四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）

附加1已知数列满足，，．

（I）证明：

是正整数数列；

（II）是否存在，使得，并说明理由．

（Ⅰ）由得

，………………………………

（1）

同理可得，………………

（2）……………………5分

由

（1）

（2）可知，为方程的两根，又，即有，即

因为所以为正整数.……………………………………………………10分

（Ⅱ）不存在，使得.…………………………………………………15分

假设存在，使得，则.

一方面，，所以,即

，所以.

由费马小定理知，所以…………………………20分

另一方面，.事实上，假设，则，即，所以，而，这样得到.矛盾.

所以，由费马小定理得.

这样得到.矛盾.所以不存在，使得.………………25分

附加2设k为正整数，称数字的排列为“N型”的，如果这些数满足

（1）；

（2）；

（3）．

记为所有“N型”排列的个数．

（I）求，的值；

（II）证明：

对任意正整数k，均为奇数．

首先注意到的值只能取这些数字，因为必须有2k个值比它小，而的值只能取这些数字，因为必须有2k个值比它大。

记（）时的N型排列个数为，则

，.

化简得

.………………………………………………………10分

（1）计算可得………………………………………………………………15分

（2）易知，（），.

当时，对于所有，是偶数。

事实上对于，（）时的任何一个N型排列，此时数字只能放在的位置，数字只能放在

上（字母N的两头），和的数字可以互换得到一个新的N型排列，于是是偶数（）.……25分

（也可以从表达式说明是偶数（），它的组合意义就是将m个白球，n个红球，n个蓝球排成一行的排列数。

于是任何一种排列，交换红蓝球可对应另一种排列。

于是为奇数！

………………………25分）