2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)Word下载.docx

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（A）19（B）20（C）21.5（D）23

【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32．中位数是，故选B．

（4）

【2015年重庆，理4】“”是“”的（）

（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

【解析】，故选B．

（5）

【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：

，故选A．

（6）

【2015年重庆，理6】若非零向量满足，且，则与的夹角为（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】，结合，可得，

（7）

【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则判断框图可填入的条件是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】，，，判断框内应该填，故选C．

（8）

【2015年重庆，理8】已知直线：

是圆：

的对称轴，过点

作圆的一条切线，切点为，则（）

（A）2（B）（C）6（D）

【解析】，其圆心坐标为，半径．由题意可知直线是圆的直径所在直线，它过圆心，所以．由几何图形可知，，故选C．

（9）

【2015年重庆，理9】若，则＝（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

【解析】，

将式带入上式可得：

，故选C．

（10）

【2015年重庆，理10】设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点．若到直线的距离小于

，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】由题意可得：

．在中，由射影定理有：

．即点到直线的距离为，由题意得：

<

．而双曲线的渐近线斜率，故选A．

二、填空题：

本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

（11）

【2015年重庆，理11】设复数的模为，则．

【答案】3

【解析】复数的模为．．

（12）

【2015年重庆，理12】的展开式中的系数是（用数字作答）．

【答案】

【解析】．故的展开式中的系数为．

（13）

【2015年重庆，理13】在中，，，的角平分线，则．

【解析】由正弦定理可得：

，

，再由正弦定理可得：

．

考生注意：

（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

（14）

【2015年重庆，理14】如图，圆的弦相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，，，，则．

【答案】2

【解析】由切割线定理可得：

．再由相交弦

定理可得：

（15）

【2015年重庆，理15】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极

点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．则直线与曲线的交点的极坐标为．

【解析】直线的直角坐标方程为．由

．由．

故直线与曲线的交点的极坐标为．

（16）

【2015年重庆，理16】若函数的最小值为5，则实数__．

【答案】4或-6

【解析】分情况讨论：

（1）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：

在处取得最小值5，所以；

（2）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：

在处取得最小值5，，综上，可得实数或4．

三、解答题：

本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）

【2015年重庆，理17】

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统

习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，

从中任意选取3个．

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望．

解：

（Ⅰ）令表示事件“三种粽子各取到一个”，则．

（Ⅱ）所有可能取值为，且，，．

故分布列见表：

1

2

且（个）．

（18）

【2015年重庆，理18】

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设．

（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）讨论在上的单调性．

（Ⅰ）由题，故的最小正周期

，最大值为．

（Ⅱ）由知，从而当即时，单调递增；

当即时，单调递减．因此，在单调递增，在单调递减．

（19）

【2015年重庆，理19】

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥中，平面，，，分别为线段上的点，且，．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅰ）因平面，平面，故．又，，故

为等腰直角三角形，且．因，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）如图，取的中点，连．由（Ⅰ）知为等腰直角三角形，故，

．又，故，因此，从而．

以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系

．则，，，，，故，

，．设为平面的法向量，则

即，取得．由（Ⅰ）知平面，故即为平面的法

向量．因，故所求二面角的余弦值为．

（20）

【2015年重庆，理20】

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数．

（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围．

（Ⅰ）由题，因在处取得极值，故，得．因此，．从而，，所以曲线在点处的切线方程为即．

（Ⅱ）由题知对恒成立，故即对恒成立．显然在单调递减，故，所以，即的取值范围为．

（21）

【2015年重庆，理21】

（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆

的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且

（Ⅰ）若，，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，求椭圆的离心率．

（Ⅰ）由题，故．又，故，因此，从而椭圆方程为．

（Ⅱ）连，由题，故，从而，因此，所以，得．

（22）

【2015年重庆，理22】

（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列中，，

（Ⅰ）若，，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，证明：

（Ⅰ）由，得．因，故，得．因此是首项为3公比为2的等比数列，从而．

（Ⅱ）由题，因，故．

因，即，

故，

因此，从而．

综上可知．

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