高考北京卷理科数学含答案Word格式.doc

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（A） （B）

（C） （D）

（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

（6）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为

（A）1 （B）2

（8）设集合则

（A）对任意实数a， （B）对任意实数a，（2，1）

（C）当且仅当a<

0时，（2，1） （D）当且仅当时，（2，1）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．

（10）在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．

（11）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．

（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．

（13）能说明“若f（x）>

f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

（14）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；

双曲线N的离心率为__________．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

学@科网

（15）（本小题13分）

在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

（16）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求证：

AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）证明：

直线FG与平面BCD相交．

（17）（本小题12分）

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型

第一类

第二类

第三类

第四类

第五类

第六类

电影部数

140

50

300

200

800

510

好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.1

好评率是指：

一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．

（18）（本小题13分）

设函数=[]．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；

（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

（19）（本小题14分）

已知抛物线C：

=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：

为定值．

（20）（本小题14分）

设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记

M（）=．

（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：

对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；

当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：

对于B中的任意两个不同的元素，

M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．学科&

理科数学试题参考答案

一、选择题

1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D

二、填空题

9． 10． 11． 12．3

13．y=sinx（答案不唯一） 14．

三、解答题

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．

由正弦定理得=，∴sinA=．

∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．

（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．

如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，

∴AC边上的高为．

（16）（共14分）

（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵CC1⊥平面ABC，

∴四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点，

∴AC⊥EF．

∵AB=BC．

∴AC⊥BE，

∴AC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．

∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．

如图建立空间直角坐称系E-xyz．

由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．

∴，

设平面BCD的法向量为，

∴，∴，

令a=2，则b=-1，c=-4，

∴平面BCD的法向量，

又∵平面CDC1的法向量为，

∴．

由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．

（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），

∴，∴，∴与不垂直，

∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．

（17）（共12分）

（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，

第四类电影中获得好评的电影部数是200×

0.25=50．

故所求概率为．

（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．

故所求概率为P（）=P（）+P（）

=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．

由题意知：

P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．

故所求概率估计为0.25×

0.8+0.75×

0.2=0.35．

（Ⅲ）>

>

=>

．

（18）（共13分）

（Ⅰ）因为=[]，

所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）

=［ax2–（2a+1）x+2］ex．

f′

（1）=（1–a）e．

由题设知f′

（1）=0，即（1–a）e=0，解得a=1．

此时f

（1）=3e≠0．

所以a的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）（x–2）ex．

若a>

，则当x∈（，2）时，f′（x）<

0；

当x∈（2，+∞）时，f′（x）>

0．

所以f（x）<

0在x=2处取得极小值．

若a≤，则当x∈（0，2）时，x–2<

0，ax–1≤x–1<

0，

所以f′（x）>

所以2不是f（x）的极小值点．

综上可知，a的取值范围是（，+∞）．

（19）（共14分）

（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．

由得．

依题意，解得k<

0或0<

k<

1．

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．

所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）知，．

直线PA的方程为y–2=．

令x=0，得点M的纵坐标为．

同理得点N的纵坐标为．

由，得，．

所以．

所以为定值．

（20）（共14分）

（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以

M（α，α）=[（1+1−|1−1|）+（1+1−|1−1|）+（0+0−|0−0|）]=2，

M（α，β）=[（1+0–|1−0|）+（1+1–|1–1|）+（0+1–|0–1|）]=1．

（Ⅱ）设α=（x1，x2，x3，x4）∈B，则M（α，α）=x1+x2+x3+x4．

由题意知x1，x2，x3，x4∈{0，1}，且M（α，α）为奇数，

所以x1，x2，x3，x4中1的个数为1或3．

所以B{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1），（0，1，1，1），（1，0，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0）}.

将上述集合中的元素分成如下四组：

（1，0，0，0），（1，1，1，0）；

（0，1，0，0），（1，1，0，1）；

（0，0，1，0），（1，0，1，1）；

（0，0，0，1），（0，1，1，1）.

经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M（α，β）=1.

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．

所以集合B中元素的个数不超过4.

又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}满足条件，

所以集合B中元素个数的最大值为4.

（Ⅲ）设Sk=（x1，x2，…，xn）|（x1，x2，…，xn）∈A，xk 

=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n），

Sn+1={（x1，x2，…，xn）|x1=x2=…=xn=0}，

则A=S1∪S1∪…∪Sn+1．

对于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M（α，β）≥1.

所以Sk（k=1，2，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．

所以B中元素的个数不超过n+1.

取ek=（x1，x2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）.

令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.

故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．