高考数学一轮复习专题平面向量的概念及其线性运算教学案文Word下载.doc
《高考数学一轮复习专题平面向量的概念及其线性运算教学案文Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习专题平面向量的概念及其线性运算教学案文Word下载.doc(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:
a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求a与b的
-b的和的
运算叫做
a与b的差
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
高频考点一 平面向量的概念
例1、下列命题中,不正确的是________(填序号).
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c.
解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵=,∴||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,
∥且,方向相同,因此=.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
答案 ①
【方法规律】
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与的关系:
是与a同方向的单位向量.
【变式探究】下列命题中,正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
答案 ③
高频考点二 平面向量的线性运算
例2、
(1)在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则=( )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
(2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;
y=________.
解析
(1)=+=+=+
(-)=+=a+b,故选A.
(2)由题中条件得,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.
答案
(1)A
(2) -
(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
①观察各向量的位置;
②寻找相应的三角形或多边形;
③运用法则找关系;
④化简结果.
【变式探究】
(1)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个靠近B点的三等分点,那么等于( )
A.- B.+
C.+ D.-
(2)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°
,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
A.1B. C. D.
(2)∵=+=+,
∴2=+,即=+.
故λ+μ=+=.
答案
(1)D
(2)D
【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;
求差用三角形法则;
求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值.
【变式探究】如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为( )
A.B.C.D.
答案 A
高频考点三 共线定理的应用
例3、设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
(1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b).
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线,
又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,
使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±
1.
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立.
【变式探究】
(1)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
(2)已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0} B.∅ C.{-1} D.{0,-1}
答案
(1)B
(2)D
高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用
例4、如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
解 设=ma+nb,
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.[3分]
又∵A、M、D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得=t,
即(m-1)a+nb=t.[5分]
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴a+nb=t1,
∴
消去t1得,4m+n=1.②
由①②得m=,n=,∴=a+b.
【感悟提升】
(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.
(2)易错点是找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
【方法技巧】
1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;
向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;
平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论:
对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
【易错提醒】
1.解决向量的概念问题要注意两点:
一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;
二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
1.【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则()
(A)-8(B)-6(C)6(D)8
【答案】D
2.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,,,则的值是▲.
【答案】
【解析】因为,
,
因此,
【2015高考新课标1,理7】设为所在平面内一点,则()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】A
【解析】由题知=,故选A.
1.(2014·
辽宁卷)设a,b,c是非零向量,已知命题p:
若a·
b=0,b·
c=0,则a·
c=0,命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)
【答案】A
【解析】由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;
命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
2.(2014·
新课标全国卷Ⅰ]已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
【答案】90°
3.(2014·
四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )
A.-2B.-1
C.1D.2
【答案】2
【解析】c=ma+b=(m+4,2m+2),由题意知=,即=,即5m+8=,解得m=2.
4.(2013·
江苏卷)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
【答案】
【解析】如图所示,=-=-=(-)+=+,
又=λ1+λ2,且与不共线,
所以λ1=-,λ2=,
即λ1+λ2=.
5.(2013·
陕西卷)设a,b为向量,则“|a·
b|=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
6.(2013·
四川卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.
(1)求cosA的值;
(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.
【解析】
(1)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得
[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,
则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.
(2)由cosA=-,0<
A<
π,得sinA=.
由正弦定理,有=,所以sinB==.
由题意知a>
b,则A>
B,故B=.
根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×
5c×
解得c=1或c=-7(舍去),
故向量在方向上的投影为||cosB=.
7.(2013·
四川卷)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=________.
【解析】根据向量运算法则,+==2,故λ=2.
8.(2013·
重庆卷)在平面上,⊥,|OB1|=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
又(x-a)2+y2=1,得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2,则y2≤1;
同理由x2+(y-b)2=1,得x2≤1,即有x2+y2≤2②.
由①②知<x2+y2≤2,所以<≤.
而||=,所以<||≤,故选D.
1.已知下列各式:
①++;
②+++;
③+++;
④-+-.其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题知结果为零向量的是①④,故选B.
答案 B
2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·
a
3.如图,在正六边形ABCDEF中,++=( )
A.0 B.C. D.
解析 由题图知++=++=+=.
答案 D
4.设a0为单位向量,下述命题中:
①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;
若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于( )
A. B.2 C.3 D.4
解析 +++=(+)+(+)=2+2=4.故选D.
6.在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则等于( )
A.b+c B.c-b
C.b-c D.b+c
7.设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析 ∵=a+b,=a-2b,
∴=+=2a-b.
又∵A,B,D三点共线,∴,共线.
设=λ,∴2a+pb=λ(2a-b),
∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1.
8.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
解析 连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,
所以=+=b+a.
9.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为( )
A.- B.-
C.- D.不存在
10.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则( )
A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上
解析 因为2=2+,所以2=,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.
11.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
12.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.
解析 +-2=(-)+(-)=+,-==-,∴|+|=|-|.
故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.
答案 直角三角形
13.向量e1,e2不共线,=3(e1+e2),=e2-e1,=2e1+e2,给出下列结论:
①A,B,C共线;
②A,B,D共线;
③B,C,D共线;
④A,C,D共线.其中所有正确结论的序号为________.
解析 由=-=4e1+2e2=2,且与不共线,可得A,C,D共线,且B不在此直线上.
答案 ④
14.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m=________.
解析 由已知条件得+=-,如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点.
延长BM交AC于E点,延长CM交AB于F点,同理可证E,F分别为AC,AB的中点,即M为△ABC的重心,
∴==(+),即+=3,则m=3.
答案 3
-17-