线性代数向量空间的练习题.docx

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线性代数向量空间的练习题

一、单项选择题

1．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组是由A的列向量构成的向量组，向量组是由的列向量构成的向量组，则必有

A．若线性无关，则线性无关B．若线性无关，则线性相关

C．若线性无关，则线性无关D．若线性无关，则线性相关

2．设?

1,?

2,?

3,?

4是一个4维向量组，若已知?

4可以表为?

1,?

2,?

3的线性组合，且表示法

惟一，则向量组?

1,?

2,?

3,?

4的秩为

A．1B．2

C．D．4

3．设向量组?

1,?

2,?

3,?

4线性相关，则向量组中

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

4.设有向量组A：

1，?

2，?

3，?

4，其中?

1，?

2，?

3线性无关，则

A.?

1，?

3线性无关B.?

1，?

2，?

3，?

4线性无关

C.?

1，?

2，?

3，?

4线性相关D.?

2，?

3，?

4线性相关

5．向量组?

1,?

2,?

s的秩不为零的充分必要条件是

A．?

1,?

2,?

s中没有线性相关的部分组

C．?

1,?

2,?

s全是非零向量B．?

1,?

2,?

s中至少有一个非零向量D．?

1,?

2,?

s全是零向量

6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=.如果|A|=2，则|-2A|=

A.-3B.-4

C.D.32

7.设α1，α2，α3，α是三维实向量，则

A.α1，α2，α3，α4一定线性无关B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出

C.α1，α2，α3，α4一定线性相关D.α1，α2，α3一定线性无关

8.向量组α1=，α2=，α3=的秩为

A.1B.2

C.D.4

9.下列命题中错误的是．．

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则

A.α1必能由α2,α3，β线性表出

C.α3必能由α1,α2，β线性表出

B.α2必能由α1,α3，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出

11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有

A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

二、填空题

1．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________.

2.设向量组?

1=,?

2=,?

3=线性相关，则数a=________.

3.向量组?

的秩为_____________。

4．已知向量组?

T,?

T线性相关，则数a?

______.

5．设向量组?

T,?

T，且?

2,?

2，则向量组?

1,?

2的秩为______.

6.实数向量空间V={|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

TT7.设4维向量?

β=，若向量γ满足2?

γ=3β，则γ=__________.

8.设α=，则与α反方向的单位向量是_________________.

9.设A为5阶方阵，且r=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______________.

三、计算题

1．求向量组α1=，α2=，α3=的秩.

2.求向量组?

1=T，?

2=T，?

3=T，?

4=T的一个极大无关

组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

3.设向量组为?

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

4．设向量组?

T,?

T，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

5.设向量α=，求101.

6.设向量组α1=，α2=，α3=，α4=.

求该向量组的一个极大线性无关组；

将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

7.设向量组?

T,?

T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

8.求向量组α1=，α2=，α3=的秩和一个极大无关组.

四、证明题

1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：

向量

组β1，β2，β3线性无关.

2.证明：

若向量组?

1,?

2,?

n线性无关,而?

n,?

2,?

3,?

1+?

n，则向量组?

1,?

2,?

n线性无关的充要条件是n为奇数。

3．设向量组?

1,?

2,?

3线性无关，且?

k1?

k2?

k3?

3．证明：

若k1≠0，则向量组

2,?

3也线性无关．

4.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：

α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

5.若α1，α2，α3是Ax=b的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

《第四章向量空间》自测题

分钟）

1.下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是。

R中，分量满足x1+x2+…+xn=0的所有向量；R中，分量是整数的所有向量；

R中，分量满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；

Rn中，分量满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。

．设R的一组基为?

1,?

2,?

3,?

4,令

nnn

2,?

3,?

4,?

4，

则子空间W?

{k1?

k2?

k3?

k4?

4|ki?

F,i?

1,2,3,4}的维数为，它的一组基为。

.向量空间Rn的子空间W?

{|x1?

x2?

0,x1?

xn?

R}的维数为

它的一组基为。

a114.设W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即Wa

a12?

aij?

，则它的维数为，a22

一组基为。

5．若A=?

12120

为正交矩阵，且|A|=－1，则a=，?

=。

二、计算题

1.设R3的两组基为：

和?

，

向量α=

求由基?

1,?

2,?

3到基?

1,?

2,?

3的过渡矩阵。

求α关于这两组基的坐标。

将?

1,?

2,?

3化为一组标准正交基。

2.在R中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，

3x1?

2x2?

5x3?

4x4?

3x1?

x2?

3x3?

3x4?

3x?

5x?

13x?

11x?

234?

3．已知?

1,?

2,?

3是3维向量空间R3的一组基，向量组?

1,?

2,?

3满足

3,?

证明：

1,?

2,?

3是一组基。

求由基?

1,?

2,?

3到基?

1,?

2,?

3的过渡矩阵。

求向量1?

3关于基?

1,?

2,?

3的坐标。

．已知A是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A－E|。

三、证明题

1.设k1?

k2?

k3?

0，且k1k3?

0。

证明：

L。

.设A为正交矩阵，证明：

A为正交矩阵。

3．设A、B为n阶正交矩阵，且|A|?

|B|。

证明：

A+B为不可逆矩阵。

参考答案

一、选择、填空

1．A

2．dimW=3，一组基为?

1,?

2,?

3．dimW=n-2，一组基为?

T,?

T．dimW＝3，一组基为?

。

5．a=

，=

二、计算题

3的过渡矩阵:

101

1．基?

1,?

2,?

3到基?

1,?

α关于?

1,?

2,?

3的坐标是

α关于?

1,?

2,?

3的坐标是

13?

21?

。

9393

2．解空间的维数是2，一组基为?

。

3．提示：

证明?

1,?

2,?

3与?

1,?

2,?

3等价，从而r=3，线性无关。

3到基?

1,?

2,?

3的过渡矩阵为?

基?

1,?

。

向量?

关于基?

1,?

2,?

3的坐标为。

．A?

AE?

ATAT?

2k?

三、证明题

1.提示：

证明两个向量组等价，即{?

}，则生成子空间L?

L。

.证明：

A*T?

AA?

AAT?

E。

0。

3．提示：

AE?

1B?

AB?

1B?

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