高考数学全国卷理科数学试题全部解析Word格式文档下载.doc
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若复数满足,则;
若复数,则.
A. B. C. D.
【解析】设,则,得到,所以.故正确;
若,满足,而,不满足,故不正确;
若,,则,满足,而它们实部不相等,不是共轭复数,故不正确;
实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故正确;
4.记为等差数列的前项和,若,则的公差为()
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
【解析】
联立求得
得
选C
5.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是()
【答案】D
【解析】因为为奇函数,所以,
于是等价于|
又在单调递减
故选D
6.展开式中的系数为
【答案】C.
对的项系数为
对的项系数为,
∴的系数为
故选C
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
8.右面程序框图是为了求出满足的最小偶数,那么在和两个空白框中,可以分别填入
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】因为要求大于1000时输出,且框图中在“否”时输出
∴“”中不能输入
排除A、B
又要求为偶数,且初始值为0,
“”中依次加2可保证其为偶
故选D
9.已知曲线,,则下面结论正确的是()
A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
首先曲线、统一为一三角函数名,可将用诱导公式处理.
.横坐标变换需将变成,
即
.
注意的系数,在右平移需将提到括号外面,这时平移至,
根据“左加右减”原则,“”到“”需加上,即再向左平移.
10.已知为抛物线:
的交点,过作两条互相垂直,,直线与交于、两点,直线与交于,两点,的最小值为()
设倾斜角为.作垂直准线,垂直轴
易知
同理,
又与垂直,即的倾斜角为
而,即.
,当取等号
即最小值为,故选A
11.设,,为正数,且,则()
【答案】取对数:
.
则
,故选D
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列,…,其中第一项是,接下来的两项是,,在接下来的三项式,,,依次类推,求满足如下条件的最小整数:
且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.
设第组的项数为,则组的项数和为
由题,,令→且,即出现在第13组之后
第组的和为
组总共的和为
若要使前项和为2的整数幂,则项的和应与互为相反数
→
故选A
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量,的夹角为,,,则________.
【答案】
∴
14.设,满足约束条件,则的最小值为_______.
不等式组表示的平面区域如图所示
由得,
求的最小值,即求直线的纵截距的最大值
当直线过图中点时,纵截距最大
由解得点坐标为,此时
15.已知双曲线,(,)的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为_______.
【解析】如图,
,
∵,∴,
又∵,∴,解得
∴
16.如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为,、、为元上的点,,,分别是一,,为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以,,为折痕折起,,,使得,,重合,得到三棱锥.当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
)的最大值为_______.
【解析】由题,连接,交与点,由题,
,即的长度与的长度或成正比
设,则,
三棱锥的高
令,,
令,即,
体积最大值为
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.的内角,,的对边分别为,,,已知的面积为.
(1)求;
(2)若,,求的周长.
【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.
(1)面积.且
由正弦定理得,
由得.
(2)由
(1)得,
又
,,
由余弦定理得①
②
由①②得
,即周长为
18.(12分)如图,在四棱锥中,中,且.
(1)证明:
平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
【解析】
(1)证明:
∵
∴,
又∵,∴
又∵,、平面
∴平面,又平面
∴平面平面
(2)取中点,中点,连接,
∴四边形为平行四边形
由
(1)知,平面
∴平面,又、平面
∴、、两两垂直
∴以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
设,∴、、、,
∴、、
设为平面的法向量
由,得
令,则,,可得平面的一个法向量
∵,∴
又知平面,平面
∴,又
∴平面
即是平面的一个法向量,
由图知二面角为钝角,所以它的余弦值为
19.(12分)
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性:
(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到).
附:
若随机变量服从正态分布,则.
,.
【解析】
(1)由题可知尺寸落在之内的概率为,落在之外的概率为.
由题可知
(2)(i)尺寸落在之外的概率为,
由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件,
因此上述监控生产过程的方法合理.
(ii)
,需对当天的生产过程检查.
因此剔除
剔除数据之后:
20.(12分)
已知椭圆:
,四点,,,中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于、两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:
过定点.
【解析】
(1)根据椭圆对称性,必过、
又横坐标为1,椭圆必不过,所以过三点
将代入椭圆方程得
,解得,
∴椭圆的方程为:
(2)当斜率不存在时,设
得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
当斜率存在时,设
联立,整理得
,此时,存在使得成立.
∴直线的方程为
当时,
所以过定点.
21.(12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【解析】
(1)由于
故
当时,,.从而恒成立.
在上单调递减
当时,令,从而,得.
单调减
极小值
单调增
综上,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增
(2)由
(1)知,
当时,在上单调减,故在上至多一个零点,不满足条件.
当时,.
令.
令,则.从而在上单调增,而.故当时,.当时.当时
若,则,故恒成立,从而无零点,不满足条件.
若,则,故仅有一个实根,不满足条件.
若,则,注意到..
故在上有一个实根,而又.
且.
故在上有一个实根.
又在上单调减,在单调增,故在上至多两个实根.
又在及上均至少有一个实数根,故在上恰有两个实根.
综上,.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参考方程]
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)若,求与的交点坐标;
(2)若上的点到距离的最大值为,求.
【解析】
(1)时,直线的方程为.
曲线的标准方程是,
联立方程,解得:
或,
则与交点坐标是和
(2)直线一般式方程是.
设曲线上点.
则到距离,其中.
依题意得:
,解得或
23.[选修4-5:
不等式选讲]
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围.
【解析】
(1)当时,,是开口向下,对称轴的二次函数.
当时,令,解得
在上单调递增,在上单调递减
∴此时解集为.
当时,,.
当时,单调递减,单调递增,且.
综上所述,解集.
(2)依题意得:
在恒成立.
即在恒成立.
则只须,解出:
故取值范围是.
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