和全国各地高考数学概率统计试题汇编Word格式文档下载.doc
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0.1
0.5
1
（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为
（Ⅲ）合格品的件数为（件）
4．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）；
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。
（求：
，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
解:
（1）由题意可知：
（2）由题意可知：
（3）由题意可知：
，因此有当，，时，有．
5.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？
说明理由。
解：
（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为
（II）随机变量的分布列为随机变量的分布列为
（III）（万元）
（万元）
所以应该生产甲品牌汽车。
0.054
0.006
0.01
40
60
70
80
90
100
成绩
图4
6.某班50位学生期中考试数学成绩的频率
分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
，
，，，，。
（1）求图中的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，
该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，
求得数学期望。
解：
（1）（0.0063+0.01+0.054+）×
10=1
=0.018
（2）的人数=0.0181050=9
的人数=0.0061050=3
2
当时,
当时,
++=
的数学期望为.
7.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
甲运动员得分：
13、25、8、16、20、7、15、11、22、28
乙运动员得分：
12、17、20、10、15、12、18、6、24、16
（1）把甲、乙得分数据做成茎叶图；
（2）把甲、乙得分数据做成频率分布直方表；
（3）分别求出甲乙的平均数及方差。
（1）如图1所示；
图1图2
（2）如图2所示；
（3），=45.45
，=28.3
8．某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
，，，，．
（1）求图中a的值
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文
成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的
人数与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．
分数段
x：
y
1：
2：
3：
4
4：
5
解
（1）:
（2）:
50-60段语文成绩的人数为：
3.5分
60-70段语文成绩的人数为：
4分
70-80段语文成绩的人数为：
80-90段语文成绩的人数为：
90-100段语文成绩的人数为：
（3）:
依题意：
50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人……………………9分
60-70段数学成绩的的人数为=50-60段语文成绩的人数的一半=……10分
70-80段数学成绩的的人数为=……………11分
80-90段数学成绩的的人数为=…………12分
90-100段数学成绩的的人数为=………13分
9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工
随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
结算时间（分钟/人）
1.5
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
（Ⅰ）由已知得，，所以，．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次
购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物
的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
（分钟）．
（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，
分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，
“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
，，．
因为，且是互斥事件，所以
．
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为．
10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：
mm）对工期的影响如下表：
降水量X
工期延误天数
6
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：
（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.
解析：
（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：
.
所以的分布列为：
0.3
0.4
0.2
于是，；
故工期延误天数的均值为3，方差为.
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又.
由条件概率，得
故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
11．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，
求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：
将频率视为概率）
购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，
将频率视为概率得
，，，
，．
X的分布列为
X
1．5
2．5
Ｐ
X的数学期望为
（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，
为该顾客前面第位顾客的结算时间，则
．
由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以
．
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为．
12．某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：
件）．已知每个工人每天可生产Ａ部件6件，或Ｂ部件3件，或Ｃ部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．
（Ⅰ）设生产Ａ部件的人数为，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的
时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
（Ⅰ）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：
天）分别为由题设有
其中均为1到200之间的正整数．
（Ⅱ）完成订单任务的时间为
其定义域为
易知，为减函数，为增函数．
注意到于是
（1）当时，此时
．
由函数的单调性知，当时取得最小值，
解得．由于，而，
故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为．
（2）当时，由于为正整数，故，此时
记，易知为增函数，则
由函数的单调性知，当时取最小值，解得．由于，
而
此时完成订单任务的最短时间大于．
（3）当时，由于为正整数，故，此时
由函数的单调性知，当时取最小值，
解得．类似
（1）的讨论．此时完成订单任务的最短时间为，大于．
综上所述，当时，完成订单任务的时间最短，此时，生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44，88，68．
13.设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；
当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；
当两条棱异面时.
（1）求概率
（2）求的分布列，并求其数学期望.
解
（1）若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意一个顶点恰有三条棱,所以共有对相交棱,因此
若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的有6对,故
于是
所以随机变量的分布列为
0
P
因此.
14.如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。
（4）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（5）求这3点与原点O共面的概率。
（1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为[来源:
Z§
xx§
k.Com]
（2）满足条件的情况为,,,,,
所以所求概率为.
15.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？
非体育迷
体育迷
男
女
55
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差
附：
0.05
3.841
6.635
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：
15
45
女
75
将列联表中的数据代入公式计算，得
因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意，从而的分布列为
，.
16.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
0102030405060
0.025
0.020
0.022
0.018
0.010
0.005
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。
（I）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
（II）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。
【答案与解析】
解
（1）由频率分布直方图可知,在抽取的100人中“体育迷”为25人,从而完成列联表如下:
将列联表中的数据代入公式计算得,
因为3.030<
3.841.所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（1）由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
其中表示男性,表示女性.
由10个基本事件组成,而且这些基本事件的发生是等可能的,用A表示“任选2人中,至少有一人为女性”
这一事件,则事件A由7个鸡巴事件组成,
所以
17.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：
元）关于当天需求量
（单位：
枝，）的函数解析式。
（3）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：
枝），整理得下表：
日需求量n
14
16
17
18
19
20
13
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：
元），求的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由。
（1）当时，
当时，
得：
（2）（i）可取，，
的分布列为
（ii）购进17枝时，当天的利润为
得：
应购进17枝
18.现有甲、乙两个靶。
某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；
向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。
该射手每次射击的结果相互独立。
假设该射手完成以上三次射击。
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX
（Ⅰ）；
（Ⅱ）
EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=.
19.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；
蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：
红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.
（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：
红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.
20. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望.
（1）设：
“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1-P（C）=1-P=，解得P=………………………………4分
（2）由题意，P（=0）=
P（=1）=
P（=2）=
P（=3）=
所以，随机变量的概率分布列为：
P
故随机变量X的数学期望为：
E=0……………………12分.
21．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和．
（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么．
，解得．
（或，解得．）
（Ⅱ）设“系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么.
答：
系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
22.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：
（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
依题意这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则
，
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，
则，由于与互斥，故
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
（3）的所有可能值为0,2,4,由于与互斥,与互斥,故
所以的分布列为
随机变量的数学期望.
23.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
解（ⅰ）从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.
（ⅱ）
（1）在抽取的6所学校中，3所小学分别记为2所中学分别记为
大学记为，则抽取2所学校的所有可能结果为种。
（2）从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果有种，
所以.
24．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：
取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）求X的数学期望E（X）．
【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。
（Ⅰ）X的可能取值有：
3，4，5，6．
；
;
；
故，所求X的分布列为
（Ⅱ）所求X的数学期望E（X）为：
E（X）＝．
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