宁夏高考数学试卷理答案与解析文档格式.doc
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∴；
故选：
C．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用．等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视．
5．（5分）（2008•海南）下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c
【考点】排序问题与算法的多样性．菁优网版权所有
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．
由流程图可知：
第一个选择框作用是比较x与b的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，
∵条件成立时，保存最大值的变量X=C
故选A．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：
①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：
不能准确理解流程图的含义而导致错误．
6．（5分）（2008•海南）已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣aix）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（ ）
【考点】一元二次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】先解出不等式（1﹣aix）2＜1的解集，再由a1＞a2＞a3＞0确定x的范围．
，
所以解集为，又，
【点评】本题主要考查解一元二次不等式．属基础题．
7．（5分）（2008•海南）=（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】二倍角的余弦．菁优网版权所有
【分析】本题是分式形式的问题，解题思路是约分，把分子正弦化余弦，用二倍角公式，合并同类项，约分即可．
原式=
=
=2，
故选C．
【点评】对于三角分式，基本思路是分子或分母约分或逆用公式，对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．
8．（5分）（2008•海南）平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，
D．存在不全为零的实数λ1，λ2，
【考点】向量的共线定理；
必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
【分析】根据向量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数λ使得成立，即可得到答案．
若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得；
若，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得，
即，符合题意，
【点评】本题主要考查向量共线及充要条件等知识．在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，还要注意特殊情况是否成立．
9．（5分）（2008•海南）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；
据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；
分3种情况讨论可得，
甲在星期一有A42=12种安排方法，
甲在星期二有A32=6种安排方法，
甲在星期三有A22=2种安排方法，
总共有12+6+2=20种；
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及分类讨论的思想，注意按一定的顺序分类，做到不重不漏．
10．（5分）（2008•海南）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
A． B． C． D．2ln2
【考点】定积分在求面积中的应用．菁优网版权所有
【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得．
如图，面积．
【点评】本题主要考查定积分求面积．
11．（5分）（2008•海南）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）
【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；
压轴题．
【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．
点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，
【点评】本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合．
12．（5分）（2008•海南）某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】计算题；
【分析】设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值
结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，
由题意得，⇒n=1，
所以（a2﹣1）+（b2﹣1）=6⇒a2+b2=8，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．
【点评】本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2008•海南）已知向量知=（0，﹣1，1），=（4，1，0），|λ+|=，且λ＞0，则λ= 3 ．
【考点】向量的模．菁优网版权所有
【分析】根据所给的向量坐标写出要求模的向量坐标，用求模长的公式写出关于变量λ的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的限制，把不合题意的结果去掉．
由题意知λ+=（4，1﹣λ，λ），
∴16+（λ﹣1）2+λ2=29（λ＞0），
∴λ=3，
故答案为：
3．
【点评】向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
14．（5分）（2008•海南）设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ．
【考点】双曲线的应用．菁优网版权所有
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．
a2=9，b2=16，故c=5，
∴A（3，0），F（5，0），
不妨设BF的方程为y=（x﹣5），
代入双曲线方程解得：
B（，﹣）．
∴S△AFB=|AF|•|yB|=•2•=．
．
【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；
解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．
15．（5分）（2008•海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 ．
【考点】球的体积和表面积；
棱柱的结构特征．菁优网版权所有
综合题；
【分析】先求正六棱柱的体对角线，就是外接球的直径，然后求出球的体积．
∵正六边形周长为3，得边长为，故其主对角线为1，从而球的直径，
∴R=1，
∴球的体积
【点评】正六棱柱及球的相关知识，易错点：
空间想象能力不强，找不出球的直径．空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养．
16．（5分）（2008•海南）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：
mm），结果如下：
甲品种：
271273280285285287292294295301303303307
308310314319323325325328331334337352
乙品种：
284292295304306307312313315315316318318
320322322324327329331333336337343356
由以上数据设计了如下茎叶图：
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度 ；
② 乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度 ．
【考点】茎叶图．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】利用茎叶图中的数据可以计算乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；
通过观察茎叶图中数据的分布可知甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大．
（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：
乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．
（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：
乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．
（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．
（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
【点评】主要考查利用茎叶图估计总体特征，属于基础题．
三、解答题（共8小题，22--24题选做其中一题，满分70分）
17．（12分）（2008•海南）已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项an；
（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．
【考点】等差数列的通项公式；
等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【分析】
（1）用两个基本量a1，d表示a2，a5，再求出a1，d．代入通项公式，即得．
（2）将Sn的表达式写出，是关于n的二次函数，再由二次函数知识可解决之．
（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，
解出a1=3，d=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．
（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．
所以n=2时，Sn取到最大值4．
【点评】本题是对等差数列的基本考查，先求出两个基本量a1和d，其他的各个量均可以用它们表示．
18．（12分）（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°
（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；
用空间向量求直线间的夹角、距离．菁优网版权所有
【专题】证明题；
转化思想．
【分析】方法一：
如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D﹣xyz．
连接BD，B'
D'
．在平面BB'
D中，延长DP交B'
于H．
求出．
（Ⅰ）利用，求出．即可．
（Ⅱ）平面AA'
D的一个法向量是．通过，得到．即可．
方法二：
如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D﹣xyz．求出解题过程同方法一．
方法一：
则，．连接BD，B'
在平面BB'
设，由已知，
由
可得．解得，所以．（4分）
（Ⅰ）因为，
所以．即DP与CC'
所成的角为45°
．（8分）
D的一个法向量是．
因为，所以．
可得DP与平面AA'
D所成的角为30°
．（12分）
系D﹣xyz．则，，．
设P（x，y，z）则，∴（x﹣1，y﹣1，z）=（﹣λ，﹣λ，λ）
∴，则，由已知，，
cos==
∴λ2﹣4λ+2=0，解得，∴（4分）
【点评】本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．
19．（12分）（2008•海南）A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2
P
0.5
0.3
（Ⅰ）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
（Ⅱ）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100﹣x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值．（注：
D（aX+b）=a2DX）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；
函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
（1）Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2的分布列，可以得到Y1和Y2的分布列，得到分布列，余下的问题只是运算问题，分别求出变量的方差．
（2）由题意知f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，写出用x表示的方差的解析式，结合二次函数的最值问题，得到结果．
（Ⅰ）∵Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2的分布列
可以得到Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
Y2
2
8
12
0.2
0.5
0.3
EY1=5×
0.8+10×
0.2=6，
DY1=（5﹣6）2×
0.8+（10﹣6）2×
0.2=4，
EY2=2×
0.2+8×
0.5+12×
0.3=8，
DY2=（2﹣8）2×
0.2+（8﹣8）2×
0.5+（12﹣8）2×
0.3=12．
（Ⅱ）
=，
当时，
f（x）=3为最小值．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
20．（12分）（2008•海南）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：
y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．
【考点】圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
（Ⅰ）先利用F2是抛物线C2：
y2=4x的焦点求出F2的坐标，再利用|MF2|=以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程；
（Ⅱ）先利用，以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程．
（Ⅰ）由C2：
y2=4x知F2（1，0）．
设M（x1，y1），M在C2上，因为，
所以，得，．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，
于是
消去b2并整理得9a4﹣37a2+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．
故椭圆C1的方程为．
（Ⅱ）由知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，
故l的斜率．设l的方程为．
消去y并化简得9x2﹣16mx+8m2﹣4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），，．
因为，所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+y1y2
=x1x2+6（x1﹣m）（x2﹣m）
=7x1x2﹣6m（x1+x2）+6m2
==．
所以．此时△=（16m）2﹣4×
9（8m2﹣4）＞0，
故所求直线l的方程为，或．
【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与椭圆位置关系的综合考查．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．
21．（12分）（2008•海南）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：
函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：
曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
（I）欲求在点（2，f
（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（Ⅱ）由函数y1=x，都是奇函数．可得和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点．利用导数求出过此点的切线方程为，令x=1得切线与直线x=1交点．令y=x得切线与直线y=x交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．
（Ⅰ），
解得或
因a，b∈Z，故．
已知函数y1=x，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令x=1得，切线与直线x=1交点为．
令y=x得y=2x0﹣1，切线与直线y=x交点为（2x0﹣1，2x0﹣1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
22．（10分）（2008•海南）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．
（1）证明：
OM•OP=OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：
∠OKM=90°
【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
（1）在三角形OAM中考虑，因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM，从而由射影定理即得；
（2）结合
（1）问的结论，利用比例线段证明两个三角形△ONP、△OMK相似，通过对应角相等即可得．
【解答】证明：
（1）因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA2=OM•OP，
故OM•OP=OA2得证．
（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同
（1）有：
OB2=ON•OK，又OB=OA，
所以OM•OP=ON•OK，即，又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP～△OMK，
故∠OKM=∠OPN=90°
即有：
【点评】本题考查的高考考点是圆的有关知识及应用、切割线定理的运用，易错点：
对有关知识掌握不到位而出错，高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，它是我们的得分点之一．
23．（2008•海南）自选题：
已知曲线C1：
（θ为参数），曲线C2：
（t为参数）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′．写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？
说明你的理由．
【考点】圆的参数方程；
直线与圆锥曲线的关系；
直线的参数方程．菁优网版权
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