2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析Word下载.doc
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3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
（﹣2，2）
（﹣4，0）
（﹣4，﹣4）
（0，﹣8）
程序框图．菁优网版权所有
图表型；
算法和程序框图．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．
模拟执行程序框图，可得
x=1，y=1，k=0
s=0，i=2
x=0，y=2，k=1
不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2
不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3
满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（ ）
充分而不必要条件
必要而不充分条件
充分不要条件
既不充分也不必要条件
必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
简易逻辑．
m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选B．
考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
2+
4+
2+2
5
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
空间位置关系与距离．
根据三视图可判断直观图为：
A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：
BC⊥面AEO，AC=，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：
∴S△ABC=2×
2=2，S△OAC=S△OAB=×
1=．
S△BCO=2×
=．
故该三棱锥的表面积是2，
本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．
6．（5分）（2015•北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，
若若0＜a1＜a2，则a2
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
等差数列的性质．菁优网版权所有
计算题；
等差数列与等比数列．
对选项分别进行判断，即可得出结论．
若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．
本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（ ）
{x|﹣1＜x≤0}
{x|﹣1≤x≤1}
{x|﹣1＜x≤1}
{x|﹣1＜x≤2}
指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；
所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选C．
本题考查了数形结合求不等式的解集；
用到了图象的平移．
8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
函数的图象与图象变化．菁优网版权所有
创新题型；
函数的性质及应用．
根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．
对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．
本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 40 （用数字作答）
二项式定理的应用．菁优网版权所有
二项式定理．
写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．
（2+x）5的展开式的通项公式为：
Tr+1=25﹣rxr，
所求x3的系数为：
=40．
故答案为：
40．
本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a= ．
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
圆锥曲线的定义、性质与方程．
运用双曲线的渐近线方程为y=±
，结合条件可得=，即可得到a的值．
双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±
，
由题意可得=，
解得a=．
．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为 1 ．
简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
坐标系和参数方程．
化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
1．
本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= 1 ．
余弦定理；
二倍角的正弦；
正弦定理．菁优网版权所有
解三角形．
利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x= ，y= ﹣ ．
平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
平面向量及应用．
首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．
由已知得到===；
由平面向量基本定理，得到x=，y=；
本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．
14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ﹣1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ≤a＜1或a≥2 ．
函数的零点；
分段函数的应用．菁优网版权所有
①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．
①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h
（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h
（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sincos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
两角和与差的正弦函数；
三角函数的周期性及其求法；
三角函数的最值．菁优网版权所有
三角函数的求值；
三角函数的图像与性质．
（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．
（Ⅰ）f（x）=sincos﹣sin
=sinx﹣（1﹣cosx）
=sinxcos+cosxsin﹣
=sin（x+）﹣，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣≤x+≤，
即有﹣1，
则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．
本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．
16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：
天）记录如下：
A组：
10，11，12，13，14，15，16
B组；
12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？
（结论不要求证明）
极差、方差与标准差；
古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
概率与统计．
设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．
设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，
由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；
（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=
（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．
本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．
17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°
，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：
AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
二面角的平面角及求法；
直线与平面垂直的判定；
直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有
空间位置关系与距离；
空间角．
（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值
证明：
（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°
=，
则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），
=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），
设平面AEB的法向量为=（x，y，z），
则，即，
令z=1，则x=，y=﹣1，
即=（，﹣1，1），
平面AEF的法向量为，
则cos＜＞==
即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即=0，
∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），
∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，
本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．
18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
利用导数研究曲线上某点切线方程；
导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有
导数的综合应用．
（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．
（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：
令g（x）=f（x）﹣2（x+），则
g'
（x）=f'
（x）﹣2（1+x2）=，
因为g'
（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．
（3）由
（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．
当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则
h'
（x）﹣k（1+x2）=，
所以当时，h'
（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．
当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．
所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2．
本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．
19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：
y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？
若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
直线与圆锥曲线的综合问题；
椭圆的标准方程．菁优网版权所有
圆锥曲线的定义、性质与方程；
圆锥曲线中的最值与范围问题．
（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．
（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即yQ2=xM•xN，+n2，根据m，m的关系整体求解．
（Ⅰ）由题意得出
解得：
a=，b=1，c=1
∴+y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
∴PA的方程为：
y﹣1=x，y=0时，xM=
∴M（，0）
（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB交x轴于点N，
∴N（，0），
∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ），
∴tan∠OQM=tan∠ONQ，
∴=，即yQ2=xM•xN，+n2=1
yQ2==2，
∴yQ=，
故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）
本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．
20．（13分）（2015•北京）已知数列{an}满足：
a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：
M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
数列递推式．菁优网版权所有
点列、递归数列与数学归纳法．
（Ⅰ）a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数；
（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．
（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=（n=1，2，…），M={an|n∈N*}．
故集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为ak=2ak﹣1，或ak=2ak﹣1﹣36，所以2ak﹣1是3的倍数；
于是ak﹣1是3的倍数；
类似可得，ak﹣2，…，a1都是3的倍数；
从而对任意n≥1，an是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对a1≤36，an=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，…）
因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．
从而当n≥3时，an是2的倍数．
如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an是3的倍数．
因此当n≥3时，an∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an不是3的倍数．
因此当n≥3时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．
本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．
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