全国高考新课标卷理科数学试题解析版文档格式.doc

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1,故选B

4．已知向量a，b满足|a|=1，a·

b=-1，则a·

（2a-b）=（）

A．4 B．3 C．2 D．0

选Ba·

（2a-b）=2a2-a·

b=2+1=3

5．双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）

A．y=±

x B．y=±

x C．y=±

x D．y=±

x

选Ae=c2=3a2b=a

6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）

A．4 B． C． D．2

选AcosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·

BC·

cosC=32AB=4

7．为计算S=1-+-+……+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）

A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4

选B

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A． B． C． D．

选C不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P==

9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

选C建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

10．若f（x）=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是（）

A． B． C． D．π

选Af（x）=cos（x+）,依据f（x）=cosx与f（x）=cos（x+）的图象关系知a的最大值为。

11．已知f（x）是定义域为（-∞,+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）．若f

（1）=2，则f

（1）+f

（2）+f（3）+

…+f（50）=（）

A．-50 B．0 C．2 D．50

选C由f（1-x）=f（1+x）得f（x+2）=-f（x）,所以f（x）是以4为周期的奇函数，且f（-1）=-f

（1）=-2,f（0）=0,f

（1）=2,f

（2）=f（0）=0,f（3）=f（-1）=-2,f（4）=f（0）=0;

f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=f

（1）+f

（2）=2

12．已知F1，F2是椭圆C:

＋＝1（a>

b>

0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为（）

A． B． C． D．

选DAP的方程为y=（x+a）,∵ΔPF1F2为等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,

过P作PH⊥x轴，则∠PF2H=600,∴|F2H|=c,|PH|=c,∴P（2c,c）,代入AP方程得4c=a

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y=2ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为__________．

y=2x

14．若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为__________．

9

15．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=__________．

-两式平方相加可得

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°

，若ΔSAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为__________．

设圆锥底面圆半径为r,依题SA=r,又SA，SB所成角的正弦值为,则×

2r2×

=5

∴r2=40,S=π×

r×

r=40

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.

（2）由

（1）得Sn=n2-8n=（n-4）2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：

=-30.4+13.5t；

根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：

=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？

并说明理由．

（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=-30.4+13.5×

19=226.1（亿元）.

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99+17.5×

9=256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19．（12分）

设抛物线C:

y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>

0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

（1）由题意得F（1,0），l的方程为y=k（x-1）（k>

0）.

设A（x1,y1），B（x2,y2），由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

Δ=16k2+16>

0，故x1+x2=.

所以|AB|=x1+x2+2=+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.

因此l的方程为y=x-1.

（2）由

（1）得AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则解得或

因此所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144.

20．（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：

PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2.

连结OB.因为AB=BC=AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，

且OB⊥AC，OB=AC=2.

由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.

（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.

由已知得O（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,-2,0）,C（0,2,0,）,P（0,0,2）,=（0,0,2）

取平面PAC的法向量=（2,0,0）.

设M（a,2-a,0）（0<

a≤2），则=（a,4-a,0）.

设平面PAM的法向量为n=（x,y,z）.则，可取n=（（a-4）,a,-a），

所以cos<

n>

=.由已知得|cos<

|=.

∴==解得a=-4（舍去），a=.

所以n=（-,,-）.又=（0,2,-2），所以cos<

=.

所以PC与平面PAN所成角的正弦值为.

21．（12分）

已知函数f（x）=ex-ax2．

（1）若a=1，证明：

当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0,+∞）只有一个零点，求a．

【解析】

（1）当a=1时，f（x）≥1等价于（x2+1）e-x-1≤0．

设函数g（x）（x2+1）e-x-1，则g′（x）=-（x-1）2e-x．

当x≠1时，g′（x）<

0，所以g（x）在（0,+∞）单调递减．

而g（0）=0，故当x≥0时，g（x）≤0，即f（x）≥1．

（2）设函数h（x）=1-ax2e-x．

f（x）在（0,+∞）只有一个零点当且仅当h（x）在（0,+∞）只有一个零点．

（i）当a≤时，h（x）>

0，h（x）没有零点；

（ii）当a>

0时，h′（x）=ax（x-2）e-x．

当x∈（0,2）时，h′（x）<

0；

当x∈（2,+∞）时，h′（x）>

0．

所以h（x）在（0,2）单调递减，在（2,+∞）单调递增．

故h

（2）=1-是h（x）在[0,+∞）的最小值．

①若h

（2）>

0，即a<

，h（x）在（0,+∞）没有零点；

②若h

（2）=0，即a=，h（x）在（0,+∞）只有一个零点；

③若h

（2）<

0，即a>

，由于h（0）=1，所以h（x）在（0,2）有一个零点，

由

（1）知，当x>

0时，ex=x2，所以h（4a）=1->

1-=1->

故h（x）在（2,4a）有一个零点，因此h（x）在（0,+∞）有两个零点．

综上，f（x）在（0,+∞）只有一个零点时，a=．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．

（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，

当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．

又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．

23．[选修4－5：

不等式选讲]（10分）

设函数f（x）=5-|x-a|-|x-2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

（1）当a=1时，可得f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．

（2）f（x）≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f（x）≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，

所以a的取值范围是（-∞,-6]∪[2,+∞）．

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