数学小课题研究教学案例数学延伸性研究课题面积比拼Word格式.docx
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长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。
（板书：
）
这些都是平面图形，乍一看，彼此之间好像没有联系。
但善于思考的同学提出这样一个问题：
假如这几种图形的周长相同，它们的面积会怎样，谁的面积会是最大的呢？
前段时间我班的小数学家们对此进行了较深入的研究，还给他们的研究起了一个响亮的名字叫“面积比拼”。
面积比拼）那他们到底有什么发现呢？
今天，就让我们一起来听听他们精彩的汇报吧，有请一组同学。
【评析：
引导学生回顾所学平面图形，暗示它们之间存在一定的联系，为研究小组的汇报交流做铺垫，同时激发了未参与研究学生的好奇心。
】
（二）汇报展示
1、一组汇报展示：
长方形、正方形、平行四边形的面积关系
邵若涵：
大家好!
我们组研究的是长方形、正方形、平行四边形。
我们是采用数据说明来比较面积大小的。
在周长相同的情况下，我们把周长设定为100厘米，那么长和宽可以是多少呢？
生1：
可以是49和1
生2：
可以是30和20
生3：
可以是48和2
你们说得很对，我们把它依次排列起来，请看这张表格。
（出示表格）长49，宽1，长48，宽2，这样依次排列下去，可以排列到长和宽分别是多少？
25和25。
对了，这就是一个正方形。
这张表格中，哪个长方形的面积最大？
24、26，面积是624。
你找得很对，我们把这个面积与正方形的面积比较一下，正方形的面积是625平方厘米，625大于624，所以在周长相同的情况下，围长方形和正方形，围成的正方形面积最大
楚梦雪：
刚才，我们发现正方形的面积最大，我们继续来看这张表格，看面积这一栏，从下往上看，同学们发现了什么？
从下往上看，面积越来越小。
从上往下看，面积越来越大。
那么，这跟长和宽有什么关系呢？
长和宽的长度越接近，面积就会越大，长和宽的长度差距越大，面积就会越小。
对，你说的就是我们组的发现，同学们对我们的研究有什么问题吗？
有没有最小的面积呢？
你提的问题，我们组也想到了，在这张表格上最小的面积是49平方厘米，其实还有比它更小的面积，同学们请看这张表格，（出示表格二）大家看，长49.9，宽0.1，面积是4.99；
长49.99，宽0.01，面积是0.4999。
再往下看，它们的面积越来越小，因为再往下还有很多例子，所以我们用省略号表示。
通过看表格，我们发现永远找不出最小的面积，但是我们能找出最大的面积，那就是围正方形的时候。
孙怡雯：
下面由我来汇报平行四边形的研究情况，我做了2个平行四边形，周长都是60厘米，（拿第一个平行四边形）我拉动它的两个对角，它的面积会有什么变化？
面积变小了。
为什么？
高变短了。
你说得很对，那么向里推动两个对角，它的面积又会慢慢变大，请问同学们，它的面积什么时候最大呢？
成为长方形的时候。
是这样的，大家再看四条边都相等的这个平行四边形。
拉动它的两个对角，面积也会慢慢变小，再向里推动两个对角，面积又会慢慢变大，请问同学们；
它的面积什么时候最大？
成为正方形的时候
所以综合前面的研究结果，我们认为，周长一定时，围成的正方形面积最大，我的汇报完毕。
李雪：
下面由我来说一下平行四边形在生活中的实际应用，平行四边形容易变形的特性在我们的生活中有许多实际的应用，例如我们学校的电动推拉门，就是由一个个平行四边形连接而成的，平行四边形的高变短，面积变小，电动推拉门慢慢合拢到一边，同学们和车辆就可以自由出入了，当平行四边形的高变长，面积变大，电动推拉门就会关紧，我们就不能自由出入了，我的汇报完毕。
一组同学采用了数据计算、实验演示的方法进行研究，她们的发现还真不少呢，感谢一组同学的精彩汇报，有请二组同学。
小课题研究对学生能力的培养是普通课堂无可比拟的，正因为他们深入细致的研究，所以他们才能有理有据的汇报自己的发现，所以才能与台下同学展开互动交流，并在同学的质疑面前处变不惊，有条不紊的回答！
2、二组汇报展示：
长方形、正方形的面积关系（发现了一个数列）
牟不雨：
大家好！
我们组研究的方法和1组同学一样，也是用数据来研究长方形与正方形，我们也发现了周长相同时，围成的正方形面积最大。
有一点不同的是，我们发现了一个数列。
大家看这张表，我们把周长定为24厘米，用24÷
2＝12，12就是一个长与宽的和，长和宽可以是11、1，10、2，9、3，8、4，7、5，6、6。
面积分别是11，20，27，32，35，36。
大家请看，36和35的差是1；
35和32的差是3；
32和27的差是5；
27和20的差是7，20和11的差是9，1、3、5、7、9，这不就是一个奇数列吗？
我们又把周长定为20厘米，用20÷
2＝10，10是一个长与一个宽的和，长和宽可以分别是9、1，8、2，7、3，6、4，5、5。
面积分别是9，16，21，24，25。
大家请看面积栏，24与25的差是1，21与24的差是3，16与21的差是5，9与16的差是7。
1、3、5、7，这也是一个奇数列。
我们又把周长定为26厘米，这时又有了一个新的发现，同学们想知道吗？
用26÷
2＝13，13是一个长与宽的和，长和宽分别是12、1，11、2，10、3，9、4，8、5，7、6，面积分别为12、22、30、36、40、42，42和40差了2，40和36差了4，36和30差了6，30和22差了8，22和12差了10，2、4、6、8、10，这一次是一个偶数列！
为什么前两次是奇数列，这一次是偶数列呢？
经过研究，我们觉得问题出现在长与宽上，为什么呢？
因为前两次长和宽的和是双数，所以是奇数列，后一次的长与宽的和是单数，所以是偶数列，大家还有什么问题要问我吗？
如果长和宽是小数，会不会存在这样的数列？
牟小雨：
我的研究在整数范围内，没有涉及到小数的情况。
这个同学的问题提得非常好，你们小组课下做一下研究，然后再交流好吗？
二组同学也采用数据计算的方法研究了长方形、正方形，发现周长相等时正方形的面积最大，但她们并没有满足于这一发现，而是继续研究数据之间的关系，发现了有趣的数列，她们是不是应该得到表扬呢？
（生鼓掌）
三组同学又会带给我们什么发现呢？
有请三组同学汇报。
学生的探究总是伴随着意外和惊喜，今天他们能发现一个数列，谁敢说他们明天不会有更伟大的发现呢？
3、三组汇报展示：
画方格图的方法研究长方形、摆小棒来研究梯形、计算和数方格来研究三角形
郑润东：
大家好，我们组采用了画方格图的方法研究长方形，大家看这4幅图。
（图略）
我们一眼便可以看出图4的面积最大，而它也是这些图中长和宽最接近的，由此可以得到一个结论，当周长一定的时候，长方形的长和宽越接近面积越大，如果我们由下往上看，就会发现长和宽的差距越来越大，面积越来越小，由此又可以得到一个结论，当周长一定时，长方形的长和宽差距越大，面积越小。
老师想问一个问题，你们为什么要采用画方格图的方法，这种方法有什么优势？
我们觉得这种方法更直观，能看出长和宽的变化，还有面积的变化。
你说得很好，二组同学不妨也用画方格图的方法来研究一下你们的数列问题，请你们继续汇报。
葛昊：
我研究的是在周长相同的情况下，什么梯形的面积最大，在我讲之前，先请同学们猜一猜在周长相同的情况下，什么梯形的面积最大？
我们组研究的结果是这样的，先确定周长是13厘米，然后再用13根1厘米长的小棒摆出一个梯形，它的上底是4厘米，下底是6厘米，高是0.9厘米，两腰分别是2厘米和1厘米，面积是4.5平方厘米。
接着我又摆出一个上底4厘米，下底5厘米，高是1.9厘米的等腰梯形，面积是8.55平方厘米，比上一个梯形的面积大。
现在我们把图1和图2比较，图1上下底之和较大，高很短，图2与图1比较上下底之和变化不大，但高变长了，是1.9厘米，面积变成了8.55平方厘米，自然变大了，通过这个比较，我们可以发现在周长相同的时候，一个梯形上下底之和大，高越短，面积越小，上下底之和大，高越长，面积越大。
怎样才能使梯形面积再大一些呢？
下面请金煜坤来汇报。
金煜坤：
下面由我来汇报，大家看，图1、图2高都在梯形的里面，高不是周长的一部分，要想增大梯形的面积，就要充分利用周长，也就是让高成为梯形的一条边，就是要成为一个直角梯形，刚才葛昊已经说了，只有上底下底之和大，还不行，高也要大，面积才能大，所以我摆了这样一个梯形，上底3厘米，下底3.5厘米，高是3厘米，另一斜边为3.5厘米的直角梯形，通过计算得出它的面积是9.75平方厘米，这个面积比前两个面积都要大，那9.75是不是就是最大的面积呢？
不是，大家现在都知道周长相同时，围长方形、正方形，围出的正方形面积最大，大家看，图4已经接近正方形，如果它继续接近正方形面积就会越来越大，由此可得结论，在周长相等时，一个近似于正方形的直角梯形在梯形中面积最大。
我的汇报完毕，请问同学们有什么问题呢？
下面请张涛继续汇报。
张涛：
我重点研究的是周长相等的时候什么三角形的面积最大，一开始我并没有研究出来，后来请教老师，老师说可能等边三角形的面积最大。
于是我们进行验证。
确定周长为12厘米，先画出一个等边三角形，边长为4厘米，然后测量出三角形的高是3.4厘米多一点，计算出它的面积是6.8平方厘米，然后我又想周长12厘米还可以围成什么样的三角形呢。
然后我剪了一根长度为12厘米的线，用它围成了以下几种三角形，通过测量计算出了它们的面积分别是5.75平方厘米、5.225平方厘米、3.135平方厘米、4.6平方厘米，它们却都小于等边三角形的面积，所以说，周长相等时等边三角形的面积最大。
我的汇报完毕，同学们有什么问题吗？
有没有比等边三角形再小一点的面积？
我围出来的图形，除了等边三角形，就是直角三角形的面积最大了。
前面同学提出的问题是不是说，有没有比直角三角形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形，是吗？
是。
那我回去再围一围，看一看吧。
那好，有结论了，你们再交流，好吗？
三组同学发现了周长相等的三角形，等边三角形的面积最大，周长相等的梯形中，近似于正方形的直角梯形面积最大，这是多么了不起的发现啊，表扬三组同学。
四组同学又会带给我们什么惊喜呢，有请四组同学继续汇报。
师生之间、生生之间互学、互勉。
教师富有激励性的评价既促进了师生之间的共同发展，又让学生体验了自主探究解决问题带来的无穷魅力和成功体验】
4、四组汇报展示：
在周长一定的情况下，什么图形的面积最大。
陈晓：
我们组研究的是在周长一定的情况下，什么图形的面积最大，为什么？
我们做了广泛的研究，运用了各种工具，比如钉子板就是其中的一种，我们请王宇来给大家作汇报。
王宇：
以上三组同学们已经做了非常精彩的汇报。
我们组的结论与其它组相同，只是采取的方法不同，我们组采用的是取一定的周长20厘米，在钉子板上围图形。
我在钉子板上围了1-5号图形，1-4号是长方形，5号是正方形，5号图形的面积大于1-4号的任何一个长方形的面积，所以在周长一定的情况下，正方形的面积比长方形的面积大。
王宇同学是用钉子板证明在周长一定的情况下，正方形的面积最大，那你们有什么问题要问王宇吗？
如果没有的话，请方红宇继续汇报我们的研究。
方红宇：
上面王宇讲了正方形的面积最大，我觉得还有比正方形面积更大的图形，那就是圆形。
我用相同周长的圆形和正方形作了一个比较。
我先画了一个圆形，用绳子围了围，然后又用尺子测了测，它的周长是54厘米，我用54÷
4＝13.5（厘米），求出正方形的边长是13.5厘米，我把它画在了圆形的正中央。
大家可以看到，正方形的四个小角的面积小于阴影部分的面积，所以说圆形的面积最大。
老师说明一下，因为我们还没有学习圆，所以方红宇同学画的这个圆形是用家里塑料桶的圆盖，比着画的，是不是很有创意呀！
看来，生活中随处可见的东西也能为我们的研究提供帮助。
苏文轩：
我想问个问题，你把正方形画在了圆形的正中央，如果往下画会怎么样。
如果往下画，正方形露在圆形外面的还有4个角的和，4个小角的和小于圆形比正方形多出的部分，还是能看出圆形的面积大
我们在研究圆形时，还有一些意外的发现，也能说明圆形的面积最大，请韩欣汇报一下。
韩欣：
我们小组在研究的过程中，还了解了这样一条知识，在日常生活中，用来装液体的东西通常为圆柱形，也就是底面是一个圆形，这是因为在底面积相同的情况下，三角形的周长最长，正方形的周长第二，圆形的周长最短，也就是说做出同样高度的杯子，底面是圆形的最省材料。
既然面积相等的情况下，圆形的周长最短，那同学们我们倒过来想，周长相等的情况下，不就是圆形的面积最大吗？
正是因为小课题研究不受课堂时间的限制，所以学生才有了充分探究的机会，充分的探究空间。
也正因为这样，学生才自主探究出了圆形的面积最大。
同学们听明白了吗？
没有
那老师再解释一下，在面积相同的情况下，三角形的周长最长，圆形的周长最短，那反过来想，如果周长相同，不就是……
圆形的面积最大。
对，“反着想”其实就是反向思维，许多创造发明就是运用反向思维产生的。
如果同学们能在生活中主动地运用反向思维思考问题，也许你们会有许多了不起的发现呢。
我想问个问题，为什么说底面是圆形的杯子最省材料呢？
刚才我们已经作了初步说明，如果你们还不明白，我们可以回去做底面是三角形、正方形、圆形的杯子来验证一下，欢迎有兴趣的同学加入我们组。
四组同学的汇报非常精彩，而且还引发了同学们深层次的思考，不简单，表扬她们，有请五组同学继续汇报。
展示交流活动是互动的，其他学生也可以参与讨论、质疑，课堂充满了生动活泼、富有挑战的研讨氛围。
在这样充满丰富交流的数学课堂中，所有学生都对数学获得了更好的理解，培养了思辩能力，培养了良好数学思维的习惯。
五组汇报展示：
周长一定的情况下，什么图形的面积最大（摆小棒）
张志强：
大家好，我们小组研究的是周长一定的情况下，什么图形的面积最大，我们也发现了围长方形、正方形时，围成的正方形面积最大，下面请成山泉汇报我们与其它小组研究不一样的地方。
成山泉：
下面由我来为大家讲解为什么周长一定的时候圆的面积最大，我们为了方便，使用了小棒来摆图形，确定的周长是24厘米，前几组的同学已经采取了各种方法证明了正方形的面积最大，但是正六边形、正八边形，正十二边形的面积更大于正方形，不信咱们来做一个实验，把正六边形，正八边形，正十二边形的周长都确定为24厘米，那么正六边形的一条边便是24÷
6＝4厘米，正八边形的一条边是24÷
8＝3厘米，正十二边形的一条边是24÷
12＝2厘米。
我们分别用4厘米、3厘米、2厘米的小棒摆出正六边形、正八边形、正十二边形，它们的面积都大于正方形，而且它们的形状也越来越接近圆形。
我们想当正多边形的边数很多很多，每条边的长度变成一个点的时候不就是个圆形了吗？
所以说圆形的面积最大。
边数越多，越接近圆形，最后就发展成了一个圆形，同学们的这个发现真的太好了。
以上各组同学做了非常精彩的汇报，同学们看黑板上的这几种图形，周长相同时，面积最大的是谁？
正方形。
如果再加上圆形呢？
圆形的面积最大
没学过圆，却已研究了圆，不知道极限思想，却在不知不觉中渗透了极限的思想，这就是小课题研究的魅力。
（三）总结
这次的课题研究，同学们表现出来的探究热情让老师惊讶，同学们在探究过程中的投入程度让老师欣喜，同学们在研究中展示出来的聪明才智让老师欣赏，同学们在研究中勇于克服困难的精神让老师感动。
让我们为自己热烈地鼓一次掌吧!
同学们还想继续这样的探究吗？
希望同学们做生活的有心人，数学的有心人，去发现有价值的数学问题，我们再一起探究！
四、课后研究及成果展示交流
汇报展示课结束以后，学生的探究热情意犹未尽，纷纷询问什么时候再开展这样的研究，我说“做事情要有始有终，咱们这次的研究很成功，同学们也一定有很多收获，就把我们的收获写一写吧，形式可以是数学小论文或数学报告。
”有的学生面有难色，有的学生跃跃欲试，我说：
“没写过，不知道怎么写，对吧?
怕什么，有老师呢。
”终于在我的鼓励与辅导下一篇篇数学小论文诞生了。
《什么三角形的面积最大》、《面积比拼》、《有趣的数列》等等，学生在论文里既叙述了自己的探究过程、研究方法，也谈到了自己的收获和体会。
这些论文在市里评选时多数获得一等奖。
为了激发大多数同学的探究热情，我们又把研究成果做成手抄报的形式张贴在教室，使越来越多的同学加入到了研究中来
五、教学反思
反思这次数学小课题研究活动，我也有很多的收获和体会。
首先是学生所表现出的才能令我惊叹，尤其是某些平时不起眼的孩子，在探究和展示活动中出色的表现，使我对他们有了重新认识。
我相信：
孩子在活动中得到的体验将是他们今后人生路上的重要财富。
其次，本次研究活动之所以成功，是因为选取的课题有研究的价值和可操作性。
《面积比拼》以学生掌握的知识为基础，学生可采用计算、画图、测量、比较、摆小棒等多种方法研究，操作性强，避免了抽象、枯燥、学生无从下手的现象。
另外，选取的材料学生感兴趣，通过努力可以解决问题。
兴趣是最好的老师，学生对课题感兴趣，就会主动运用已有知识、生活经验及周围可以利用的一切资源，探求问题的解决办法。
第三个体会是，老师在研究过程中要有针对性地指导，让学生体验探索和发现的基本过程，而不是把答案直接告诉学生。
要在问题解决的过程中，特别关注学生被激发起来的求知欲望，充分让他们享受成功的体验，在学生获得了良好情感体验之后，他们会以一种主动的姿态投入到学习中去。
【总评：
《面积比拼》是以学生已有知识为基础的一次课外研究课，纵观本堂课有以下几个特点：
1、以学生已有的知识为基础，选取研究课题。
小课题研究能否顺利开展，并取得成功，选题非常重要。
许老师以教材为资源开发生成了面积比拼这一研究课题，体现了教师对小课题研究有较准确的理解。
课题难度不大，然而有价值、具有可操作性。
从课堂展示中我们可以看到，学生的研究方法非常多，有计算、有测量、有画图、有摆小棒……这些方法都是学生能想到并已掌握的方法。
这些研究方法使学生的研究不是空中楼阁，而是实实在在的。
这也正符合了新课程理念：
学生学习的内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。
2、新课程对教师的角色定位是，学习的组织者、引导者、合作者。
这样的角色定位在本次小课题研究中，得到了充分的体现。
在研究初期，教师以组织者的身份指导帮助学生认识了解要研究的课题，促使学生形成一种主动探求知识、重视解决问题的积极态度，激发他们的积极参与意识；
在研究过程中，以指导者、合作者的身份进行启发、引导，使学生走出误区，明确任务、改进方案，形成研究结论；
在课堂展示中我们看到，老师还起着主持人的作用，老师通过灵活的主持，把五个小组的交流与汇报成果进行了有效的提升和有机的串联。
3、学生展现出了良好的思辨能力。
在课堂教学中，少不了学生的思辨，只有通过思辨，学生的思维才能变得敏锐和缜密，学生的情感才能得到陶冶和升华，学生的心智才能变得扩展和充盈。
第三小组得出结论：
周长一定，等边三角形的面积最大。
学生并没有停留在听的层面上，而是在思考并提出问题：
有没有比直角三角形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形呢?
又如：
第四小组在演示时，把等周长的正方形画在了圆的中央，比较出圆的面积大，结果已经很清楚了，但仍有学生提出质疑：
你把正方形画在了圆形的正中央，如果往下画还能看出来圆的面积大吗?
学生这种严谨的数学精神让我们感到惊喜。
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