RP2a刘次华《随机过程及其应用（第三版）》课件.ppt

RP2a刘次华《随机过程及其应用（第三版）》课件.ppt

《RP2a刘次华《随机过程及其应用（第三版）》课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《RP2a刘次华《随机过程及其应用（第三版）》课件.ppt（33页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2随机过程的概念与基本类型,内容提要,随机过程的基本概念随机过程的分布律随机过程的数字特征复随机过程几种重要的随机过程,2.1随机过程的基本概念,随机过程随机变量族随机过程几个例子：

生物群体的生长问题：

以Xt表示在t时刻群体的个数，对每一个t，Xt是一个随机变量。

若从t=0开始，每隔24小时对群体个数观测一次，则Xt,t=0,1,是随机过程。

某电话交换台在时间段0,t内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量X（t），对于固定的t，X（t）是一个取非负整数的随机变量。

则X（t）,t0,）是随机过程。

随机过程的定义,定义设（,F,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对每个tT，有一个随机变量X（t,e）与之对应，则称随机变量族X（t,e）,tT是（,F,P）上的随机过程，简记为随机过程X（t）,tT。

T称为参数集，通常表示时间。

状态与样本函数,X（t,e）是定义在T上的二元函数状态对于固定时刻tT，X（t,e）是（,F,P）上的随机变量，此时把X（t）所取的值称为随机过程X（t）在时刻t所处的状态。

X（t）的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。

样本函数对于固定样本点e，X（t,e）是定义在T上的普通函数，称之为随机过程X（t）,tT的一个样本函数或轨道。

样本函数的全体称为样本函数空间。

随机过程的分类,连续随机过程参数连续，状态连续离散随机过程参数连续，状态离散连续随机序列参数离散，状态连续离散随机序列参数离散，状态离散,2.2随机过程的分布律,定义随机过程XT=X（t）,tT在时刻t的一维分布函数为,其一维概率密度函数为,相应的一维特征函数为,n维分布律,定义设XT=X（t）,tT是随机过程，对任意n1和t1,t2,tnT，随机过程XT的n维分布函数为,其n维概率密度函数为,n维特征函数：

n维分布函数的性质,

（2）相容性：

当mn时，,

（1）对称性：

对于t1,t2,tn的任意排列，,Kolmogorov定理,设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在一概率空间（,F,P）及定义在其上的随机过程X（t）,tT，它的有限维分布函数族是F。

全局特征与局部特征,若对于任意时刻t1,t2,tnT和任意n1，随机过程X（t）的n维分布函数或概率密度都已知，则认为该随机过程的统计描述是完全的或者具有全局统计特征。

通常描述的是随机过程的局部统计特征（n为有限值），例如一维、n维联合分布函数（及以下的数字特征等）。

两个随机过程的联合分布,定义设X（s）,sT和Y（t）,tT是两个随机过程，其n+m维联合分布函数为,其n+m维联合概率密度为,2.3随机过程的数字特征,定义设随机过程XT=X（t）,tT是二阶矩过程，即对任意tT，EX（t）和EX2（t）存在，则其数字特征定义为,均值函数,方差函数,均方值：

标准差：

（自）相关函数和协方差函数,协方差函数,相关函数,归一化协方差函数相关系数：

几种关系,均值函数mX（t）和相关函数RX（s,t）是最基本的两个数字特征。

“相关理论”在随机过程理论中，仅研究mX（t）和RX（s,t）有关的理论。

例1,已知随机相位正弦波X（t）=acos（t+），其中a0，为常数，为在（0,2）内均匀分布的随机变量。

求随机过程X（t）,t（0,）的均值函数mX（t）和相关函数RX（s,t）。

互相关函数、互协方差函数,设有两个二阶矩过程X（t）,tT和Y（t）,tT，,互协方差函数,互相关函数,当CXY（s,t）=0时，称X（t）,tT与Y（t）,tT互不相关当RXY（s,t）=0时，称X（t）,tT与Y（t）,tT相互正交,关系式：

例2,设X（t）为信号过程，Y（t）为噪声过程，令W（t）=X（t）+Y（t），,则W（t）的均值函数为,其相关函数为,2.3复随机过程,定义两个实随机过程：

Xt,tT和Yt,tT，若对于任意tT，有Zt=Xt+iYt则称Zt,tT为复随机过程。

复随机过程的数字特征,均值函数：

协方差函数：

方差函数：

相关函数：

复随机过程协方差函数的性质,复随机过程Zt,tT的协方差函数C（s,t）具有性质：

（1）对称性：

（2）非负定性：

对任意tiT及复数ai，i=1,2,n,n1，有,例3,设复随机过程，其中X1,X2,Xn是相互独立且服从N（0,）的随机变量，1,2,n为常数，求Zt,t0的均值函数mZ（t）和相关函数RZ（s,t）。

2.4几种重要的随机过程简介,独立过程二阶矩过程平稳过程独立增量过程正交增量过程马尔可夫过程高斯过程和维纳过程,独立过程,定义若随机过程X（t）,tT对任意的正整数n2和t1t2tnT，随机变量X（t1）,X（t2）,X（tn）是相互独立的，则称X（t）,tT是T上的独立随机过程。

二阶矩过程,定义对于随机过程X（t）,tT，若对任意tT，X（t）的均值和方差都存在，则称X（t）为二阶矩过程。

设EX（t）=mX（t）,则,即，是零均值的二阶矩过程，其协方差函数与相关函数相同。

平稳过程,定义设X（t）,tT是随机过程，若对任意常数和正整数n，t1,t2,tnT，t1+,t2+,tn+T，（X（t1）,X（t2）,X（tn）与（X（t1+）,X（t2+）,X（tn+）有相同的联合分布，则称X（t）,tT为严平稳过程，也称狭义平稳过程。

广义平稳过程,定义设X（t）,tT是随机过程，如果

（1）X（t）,tT是二阶矩过程；

（2）对任意tT，mX（t）=EX（t）=常数；（3）对任意s,tT，RX（s,t）=EX（s）X（t）=RX（st）；则称X（t）,tT为广义平稳过程，简称（宽）平稳过程。

若T为离散集，则称平稳过程X（t）,tT为平稳序列。

独立增量过程,定义设X（t）,tT是随机过程，若对任意的正整数n和t1t2tnT，随机变量X（t2）X（t1）,X（t3）X（t2）,X（tn）X（tn-1）是相互独立的，则称X（t）,tT为独立增量过程，又称可加过程。

平稳独立增量过程,定义设X（t）,tT是独立增量随机过程，若对任意st，随机变量X（t）X（s）的分布仅依赖于ts，则称X（t）,tT为平稳独立增量过程。

正交增量过程,正交增量过程的协方差函数可以由它的方差确定：

定义设X（t）,tT是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2t3t4T，有则称X（t）为正交增量过程。

马尔可夫过程,定义设X（t）,tT是随机过程，若对任意的正整数n和t10，且条件分布则称X（t）,tT为马尔可夫过程。

马尔可夫性,（无后效性）,高斯过程,定义设X（t）,tT是随机过程，若对任意正整数n和t1,t2,tnT，（X（t1）,X（t2）,X（tn）是n维正态随机变量，则称X（t）,tT为高斯过程或正态过程。

维纳过程,定义设B（t）,0；则称B（t）,t为维纳过程，也称布朗运动。