概率论与数理统计习题及答案第二章docWord格式.docx
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P{X
1}
8
所求概率为
<
1|
}=
0}
25
3.设随机变量X服从参数为2,
p的二项分布,
随机变量Y服从参数为3,
p的二项分
布,
若P{X≥1}
求P{Y≥1}.
9
注意p{x=k}=
Cnkpkqnk,由题设
P{X≥1}
0}1
q2,
故q
2
从而
P{Y≥1}
P{Y
1（
）3
19
27
4.在三次独立的重复试验中,每次试验成功的概率相同,已知至少成功一次的概率
为,求每次试验成功的概率.
解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都
没有成功的概率是
.即（1p）3
故
p=
1.
5.
若X服从参数为
的泊松分布,
且P{X
3},求参数.
由泊松分布的分布律可知
6
6.
一袋中装有
5只球,编号为1,2,3,4,5.
在袋中同时取
3只球,
以X表示取出的3
只球中的最大号码,
写出随机变量X的分布律.
从1，2，3，4，5中随机取
3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是
3，
4，5，在5个数中取3个共有C53
10种取法.
=3}表示取出的
3个数以3为最大值，P{
=3}=C22
=1;
C53
10
=4}表示取出的
3个数以4为最大值，P{
=4}=C32
3;
=5}表示取出的
3个数以5为最大值，P{
=5}=C42
3.
X的分布律是
4
习题2-3
1.设X的分布律为
-1
求分布函数
（）,
并计算概率
{<
0},
2},
{-2≤<
1}.
Fx
PXPX
PX
x
解
（1）
0.15,
1≤x
F（x）=
0≤x
0.35,
1,x≥1.
（2）P{X<
0}=P{X=-1}=;
（3）P{X<
2}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;
（4）P{-2≤x<
1}=P{X=-1}+P{X=0}=.
2.设随机变量X的分布函数为
（
）=
+arctan
-∞<
<
+∞.
AB
试求:
（1）
常数A与B;
（2）
X落在（-1,1]
内的概率.
由于（-∞）=0,
（+∞）=1,
可知
F
B（
）
B
于是
F（x）
1arctanx,
（2）P{1
X≤1}
F
（1）
F（
1）
arctan（
1））
arctan1）（
3.设随机变量X的分布函数为
0,x0,
0≤x1,
1,x≥1,
求P{X≤-1},P{<
X<
},P{0<
X≤2}.
解P{X≤1}F
（1）0,
P{<
}=F-F{}-P{X=}=,
P{0<
X≤2}=F
（2）-F（0）=1.
X的绝对值不大于
1;
假设随机变量
P{X
;
在事件
{1
1}出现的条件下,
X在（-1,1）
内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度
成正比.
（1）
求X的分布函数F（x）P{X≤x};
求X取负值的概率p.
由条件可知,
当x
1时,
0;
1时,
1时,
F
（1）=P{X≤1}=P（S）=1.
所以
P{
P{X1}
易见,
在X的值属于（
1,1）
的条件下,事件{
x}的条件概率为
≤x|
X1}
k[x
（1）],
取x=1得到1=k（1+1）,
所以k=1.
x1.
因此
P{1X≤x|1
于是,
对于
x1,有
X≤x}
X≤x,
1X1}P{1X≤x|1X1}
5x5.
对于x≥1,
有F（x）
1.
5x
7,
≥
（2）X取负值的概率
F（0）P{X
F（0）
[F（0）
F（0
）]
7.
习题2-4
选择题
设f（x）
2x,
[0,c],
则f（x）是某一随机变量的概率
（1）
如果c=（
）,
[0,c].
密度函数.
（A）
（B）
（C）
（D）
c
f（x）dx1
1,
于是c
由概率密度函数的性质
可得
2xdx
故本题
应选（C）.
（2）
设X~N（0,1）,又常数c满足P{X≥c}P{X
c},
则c等于（
）.
0.
（D）-1.
因为P{X≥c}
所以1
c}
c},即
2P{X
1,从而P{X
c}0.5,即（c）0.5,
得c=0.因此本题应选（B）.
（3）
下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是
cosx,x
[0,
],
2,
f（x）
其它.
（x
）2
e
f（x）
f（x）dx1可知本题应选（D）.
（4）
设随机变量X~N（
42）,
Y~N（
52）,P1
P{X≤
4},
P2PY≥
5},
则（）.
对任意的实数
P1
P2.
只对实数
的个别值,
有P1
P2.（D）
P
P.
由正态分布函数的性质可知对任意的实数
有
P1
（1）
因此本题应选（A）.
f
f（
x）
（5）
设随机变量
的概率密度为
且
又
（）为分布函数,则
对任意实数a,
有（
a
a）
1∫0f（x）dx.（B）
F（a）.
（D）F
解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为
1a
2∫0f（x）dx.
2F（a）1.
（B）.
（6）
X服从正态分布
N（
1,12）,Y服从正态分布
2,22）,且
1},
则下式中成立的是（
σ1<
σ2.
σ1>
σ2.
μ1<
μ2.
μ1
>
答案是（A）.
N
（0
u满足
（7）
服从正态分布
对给定的正数
数
（0,1）,
P{Xu}
若P{X
x}
则x等于（
u.
u
u1-.
u1
答案是（C）.
2.设连续型随机变量X服从参数为
的指数分布,
要使P{k
2k}
成立,
应当怎样选择数k?
解因为随机变量X服从参数为的指数分布,其分布函数为
1e
x,
x≤0.
由题意可知
P{k
X2k}F（2k）
F（k）
（1
e2k）
（1ek）ek
e2k.
k
ln2
3.设随机变量X有概率密度
4x3,
其它,
要使P{X≥a}
a}（其中a>
0）成立,
应当怎样选择数a?
由条件变形,得到1
a}P{X
a},
可知P{Xa}
0.5,于是
3dx
0.5,
因此a
4x
4.
设连续型随机变量
X的分布函数为
x2,
0≤x≤1,
求:
X的概率密度;
P{0.3
0.7}
根据分布函数与概率密度的关系
f（x）,
F（0.7）
F（0.3）
0.72
0.32
0.4.
设随机变量X的概率密度为
0≤x≤1,
f（x）＝
求P{X≤1}与P{
＜X≤2}.
P{X≤
22xdx
x2
X≤2}
2xdx
x2
15.
6.设连续型随机变量X具有概率密度函数
x,0x≤1,
f（x）Ax,1x≤2,
0,其它.
求:
（1）常数A；
（2）X的分布函数F（x）.
解
（1）由概率密度的性质可得
（Ax）dx
xdx
2；
由公式F（x）
f（x）dx可得
当x≤0时,F（x）0;
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