王明慈版 概率论与数理统计 习题三.docx

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王明慈版概率论与数理统计习题三

习题三

1甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为

X

0123

PX（xi）

Y

0.40.30.20.1

0123

PY（yi）

0.30.50.20

若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？

解：

甲台机器一天的平均次品数EX=0⋅0.4+1⋅0.3+2⋅0.2+3⋅0.1=1;

乙台机器一天的平均次品数EY=0⋅0.43+1⋅0.5+2⋅0.2+3⋅0=0.9，

∵EX>EY,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。

x

2某种电子元件的寿命X（单位：

h）的概率密度为：

⎧

f（x）=⎨〈

〈

2−x,

xex

>0;

其中>0为常数.求这种电子元件的平均寿命。

〈

⎩0,x<0.

+∞+∞+∞2

解：

=∫

（）=∫

2−〈=2∫2−〈

利用两次分部积分，可得

=。

EXxfxdxx〈

xedx〈

xedxEX

−∞00〈

3设随机变量X的概率密度为

x

⎧k〈,0

fx

（）=⎨

⎩0,其它.

已知=0.75,求及.

x

EX

+∞

f

解：

因为（x）是密度函数，所以∫−∞

f（x）=1,即

〈

+1

〈1

+

1

∫

0kxdx=1⇒k

又

x=1⇒

+10

〈〈

1

〈

k=1;

k〈

1

+2

〈1

EX=0.75,∴

∫0xkxdx=0.75⇒k

x+20=

k=075;

+2

〈〈

〈

两式联立可解得=3,=2.

k

4设设随机变量X的概率分布如下：

-1012

X

1111

P（x）6662

Xi

求,（−2

+1）,2.

EXEXEX

解：

=（−1）⋅1+0⋅1+1⋅1+2⋅1=1;

EX6662

E（−2X+1）=（−2）EX+1=−1;

1=.

EX66623

5一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。

如果取出的废

品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。

解：

设表示取得合格品以前已取出的废品数，则的概率分布为

XX

0123

P

X

911

2

12P3P9

P12

即

21

P3P9

3

P12

31

P3P9

4

P12

0123

X

330

P

440

90

440

18

440

1

440

1=≐0.29;

EX440440440440

=2−（）2=12⋅90+22⋅18+32⋅1−（129）2≐0.30

DXEXEX

440440440440

⎛X=DX

≐0.55.

x

⎧0,<−1;

⎪

6设随机变量的分布函数为F（x）=⎨a+barcsinx,−1≤x≤1;试确定常数a,b，并求

X

与。

EXDX

⎪

⎩1,x>1.

⎪

⎧b,−1≤≤1;

1

x+∞

解：

（）=⎨1−2

又∫（）

=1,

fx⎪x

−∞fxdx

⎩0,其它.

1

∴∫=b

=1,∴arcsin1−arcsin（−1）=1⇒=;

x

−11

−2dxbbð

F（0）=a+barcsin0=a;

又（0）=（

0

≤0）=∫

0111

=

（）=∫,

FPX

∴=1.

−∞fxdx

−1ð1−

2dx2

x

a2

+∞1

1111

∵

∫−∞

dx∫−1

1−2

1−2

EX=

xf（x）=

xdx,x

是奇函数，积分区间是对称区间，所

以=0;

EX

ðxðx

=2−2=

+∞

2=∫2（）

DXEXEXEX

2

1111

=∫=.

−∞xfxdx

−1x

ð

1−x

2dx2

2

7设随机变量X服从自由度为k的⎪

分布，其概率密度为

⎧1=k−1/2

2,

>0;

⎪−x

⎨

（）=⎪2k/2℘（k）xex

其中k为正整数，求的数学期望和方差。

fx⎪2X

⎪⎩0,其它.

+∞

解：

℘函数：

℘（）=∫

〈−1−x

℘（

+1）=℘（）,

>0,

〈0xedx

〈〈〈〈

2

+∞1−1/2

+∞

2/2

1

kk

EX=∫0

−x=

x2/2℘（k）xedx

∫0

2/2℘（k）

−x

xedx

kk

22

xt

令==x则=2，所以

t2

1k

=∫

（2）2−t

（2）

0

EX2k/2℘（k）

tedt

2

=∫

1+∞=k+1k

0

2

22−t

2k/2℘（k）

tedt

2

=k+1

22

2

−

k+1

0

=∫

+∞−

2t

2k/2℘（k）

tedt

2

=k+1

22+2

=℘（k）=2⋅=k=k;

2k/2℘（k）22

2

2

=+∞21=k−1

−x/2

−（）2

DX∫0

x2k/2℘（k）xedxEX

2

2

令t==x则x=2t，所以

=∫

1+∞=k+1−

（2）2t

（2）−2

0

DX2k/2℘（k）

tedtk

2

=k+2

22

+∞k+4−1

22

0

=∫−t−

2k/2℘（k）

tedtk

2

=k

4+4

℘（）−

℘（）,

2,又℘（k+4）=℘（k+2+1）=k+2℘（k+2）=k+2kk

℘（k）2k

2

=kkk

4+2

⋅℘（）-

2222222

2

℘（k）

2

=2k.

222k

8证明：

函数

（）=[（

−）2]当=

时取得最小值，且最小值为。

提示：

考虑

⎭tEXt

tEXDX

（）=

{[（−

）+（

−）]2}.

ϕtEXEXEXt

证明：

（）=

{[（−

）+（

−）]2}

ϕtEXEXEXt

=（−

）2+2[（−）（

−）]+（

−）2

EXEXEXEXEXtEEXt

=（−

）2+（

−）2

EXEXEXt

ϕ

2

要使（t）最小，则后面加上的常数项（EX−t）

就要最小，所以

EX

2

当−t=0时ϕ（t）最小，最小值为E（X−EX）

，即。

DX

9某人的一串钥匙有n把，其中只有一把能开自己的门，他随意地试用这些钥匙，并且试用

过的钥匙不再试用，求试用次数的数学期望与方差，提示：

12+22+32+⋯+

2=n（n+1）（2n+1）

n6

解：

设随机变量表示试用次数，则的概率分布为

XX

（=）=1,

=1,2,3⋯

;所以

=∑n

⋅n

1+1

=;

PXkkn

n

n1

EXk

k=1

+1

n2

2−1

=2−（）2=∑

2⋅−（n）2==n.

DXEXEX

k=1kn

1

212

2

10设随机变量X在[0,2

]上服从均匀分布，Y=2X

，求,。

DY

EY

⎪

1⎧2,0≤≤1,

X

解：

∼[0,],∴f（x）=⎨x2

2⎪⎩0,其它.

1311

=（2

2）=∫22

2⋅2

=4⋅x2=;

EYEX

0xdx

306

1

=2−（）2=∫244⋅2

−

（1）2=1;

DYEYEY

0xdx

645

11在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量（单位：

），它在

Xt

[2000,4000]上服从均匀分布。

若每售出1，可得外汇3万元。

如果销售不出而积压，则

t

需要浪费保养费1万元/t，问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？

⎧1

⎪,2000≤≤4000,

X⎪

解：

∼U[2000,4000]，则f（x）=⎨2000x

⎩0,其它.

设随机变量表示平均收

Y

⎨

益，货源为s吨，由题意

=⎧3x−（s−x）,2000≤X

=∫s

）

（4−

Y⎩3s,

14000

+∫3

s

1

EY2000

xs2000dxs

s2000dx

=−2

2+14000

ss

−2⋅20002

2000

要使取得最大值，则由二次函数的极值情况知当=3500

s

时，最大。

EY

EYt

12游客从电视塔的底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个整点后的第6分钟，第24分钟，第

42分钟从底层上行。

假设某游客在上午8:

00∼9:

00之间到达电视塔底层等候电梯处，到

达的时刻是8点后的第X分钟，且X在区间[0,60]上服从均匀分布。

求该游客等候电梯的

时间的数学期望。

Y

U

解：

∼[0,60],等候时间与到达时刻的关系有：

X

⎪

⎧6−x,0≤x≤6;

⎪24−x,6

Y

=⎨所以

⎪42−x,24

⎪⎩66−x,42

x

66−

=∫

2424−

x

+∫

4242−

x

+∫

6066−

x

+∫

EY0

60dx6

60dx

2460dx

4260dx

=10.2

n

13设随机变量X1,X2⋯X

相互独立，并且服从同一分布，数学期望

EXi

=，方差

∝

=2,

=1,2⋯

__

.求这些随机变量的算术平均值

=1n

的数学期望与方差。

DXi

⎛in

XXi

∑

1

ni=

__1n

1n1n1n

EX

解：

=E（∑X）=

（∑X）=∑EX

=∑∝=∝;

i

ni=1

i

ni=1

ni=1

i=1

i

__1n1n1n

1n2

=（∑

）=（∑

）=∑

=∑

2=⎛=;

DXDXi

ni=1

2DXi

ni=1

2

ni=1

DXi

2⎛

n

ni=1n

14计算泊松分布P（⎣）的三阶原点矩及三阶中心矩。

k

X

解：

∼P（⎣）,P（X=k）=⎣

−,三阶原点矩为：

⎣k!

1

k

∞∞

3=∑3⋅⎣

−⎣=∑

3⋅⎣−⎣

EXk=0k

∞

k!

e

−

k

k=kk!

e

k

2

∞

k−1

2

=∑k⋅

k=1

∞

⎣⎣=

（k−1）!

e

−

m

m

⎣∑k⋅

k=1

⎣−⎣

（k−1）!

e

=∑（

+1）2⋅⎣

⎣（令

=−1）

⎣m=0m

m!

emk

∞

=∑（

mm

2+2

+1）⋅⎣−⎣

⎣m=0

m!

e

∞

=[∑

2⎣m

∞m

+2∑⎣

∞m

+∑⎣]

⎣m=0m

m!

e

m=0mm!

e

m=0mm!

e

=⎣（

2++1）

EXEX

32

⎣

⎣

=[⎣（⎣+1）+⎣+1]=⎣+3+⎣

（−）3=（

−）3=

（3−3

2+32

−3）

EXEXEX⎣EX⎣X

⎣X⎣

=EX

3−3

⎣EX

2+32−3

⎣EX⎣

=3+3

2+−3⋅（

+1）+32−3

⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣

=

⎣

15设X,Y是随机变量，证明DX=DY的充要条件是X+Y与X−Y不相关。

证明：

∵DX=DY,

cov（X+Y）（X−Y）=E（X+Y）（X−Y）−

（X+Y）（X−Y）

=（2−

EE

2）−（）2+（）2

所以X+Y

EXYEXEY

=DX−DY=0

X

与−Y不相关；另一方面，若X+Y与X−Y不相关，则

cov（X+Y）（X−Y）=0，∴DX=DY.

16设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

⎨

（,）=⎧⎪1,y<

0<<1;

x

x

求cov（X,Y）;并问X与Y是否相关，是否独立？

为什么？

fxy

⎪⎩0,其它.

解：

cov（X,Y）=EXY−EXEY，

+∞+∞

EXY=∫−∞∫−∞xyf（x,y）

dy=

∫∫xydxdy

dx

y

<

0x1

x

1

=∫x（∫

ydy）dx=0

0−x

+∞+x

fX（x）=∫

f（x,y）dy=∫1

=2x,0

−∞−x

+∞

fY（y）=∫

−∞

1

dx

f（x,y）dx=∫1

y

dy

x

=1−y,y<;

∫

1

所以=

EX

x2xdx=

2

x

EY=∫

y（1−y）

=0（被积函数是奇函数）,

03−xdy

cov（X,Y）=EXY−EXEY=0,但X与Y不独立，因为二者的联合密度不等于边缘密度的

乘积。

17设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

⎧32

xyxyx

⎪,0≤≤2,0≤≤;

f（x,y）=⎨16

⎪⎩0,其它.

求

（1）数学期望EX,EY。

（2）方差DX,DY.

（3）协方差cov（X,Y）及相关系数R（X,Y）.

解：

5

+∞233

（1）（）=∫

（,）

=∫x

=,0≤≤2,

fXx

−∞fxydy

016xydy

32xx

=

=∫23

31212

7=

⋅;

EX0x32xdx

327x07

+∞

y

）（,）

233

（4）,0

24,

fY（y

=∫−∞

fxydx=∫

16xydx=32y−y

≤y≤x≤

43

=∫（4−）

=2;

EY0y32yydy

（2）

2=2235

=3,

=2−2

=3−

123

）2=;

EX∫

xxdxDXEXEX（

032749

4

2=∫

324

2y

=

（4−）,

=2−

4

=

2;

EY0y32

ydy

5DYEYEY5

（3）cov（X,Y）=E（XY）−EXEY=∫∫xyf（x,y）dy

x

22

=∫0∫0

22

xydxdy

dx

−24=32−24=8;

79763

（,）=XY

cov（,）

RXY≐0.874.

DXDY

18已知随机变量X,Y相互独立，且EX=5,DX=1,EY=2,DY=1,设

Y

U=X−2,V=2X−Y,求

（1）数学期望EU,EV;

（2）方差DU,DV;（3）

cov（,V）,R（,V）.

UU

Y

解：

（1）EU=E（X−2）=EX−2EY=5−2⋅2=1;

EV=E（2X−Y）=2EX−EY=2⋅5−2=8;

（2）DU=D（X−2）=DX+D

（2）=DX+4DY=5;

YY

DV=D（2X−Y）=D（2X）+DY=4DX+DY=5;

U

（3）cov（,V）=EUV−EUEV

Y

=E[（X−2）（2X−Y）]−8

=（2

2−5

+22）−8

EXXYY

=12−8=4;

（,）=V

cov（,）44

=U==.

RUV

DXDY

555

19已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞数平均在7300，标准差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在5200∼9400之间的概率。

解：

设随机变量表示白细胞数，则

X

P（5200

=P（5200−7300

=P（−2100

=P（X−EX

<2100）≥1−DX

21002

700218

=1−=1−（）2=.

2100239

20设随机变量服从幂-指分布，其概率密度为：

X

⎧m−x

⎪xe,x>0;

f（x）=⎨m!

利用切比雪夫不等式证明：

⎩

⎪0,≤0.

x

[0

Pm+1

+∞m−x

∫x