八年级下册数学重难点题型人教版专题 几何中常见模型及辅助线题型大视野解析版Word文档格式.docx

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∴PB＝PQ．

题型三、辅助线

例1.【2019·

莆田市期末】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB上一点，且AF=BE，AE与DF交于点G．

AE=DF．

（2）如图2，在DG上取一点M，使AG=MG，连接CM，取CM的中点P．写出线段PD与DG之间的数量关系，并说明理由．

【解析】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°

∵AF=BE，

∴△DAF≌△ABE（SAS），

∴AE=DF．

（2）解：

结论：

DG=

PD．

连接GP并延长至H，使GP=PH，连接DH、CH，

∵PM=PC，∠MPG=∠CPH，PG=PH，

∴△MPG≌△CPH（SAS），

∴∠PMG=∠PCH，GM=CH=AG，

∴DF∥CH，

∴∠FDC=∠DCH，

∵∠DAG+∠ADG=90°

，∠ADG+∠CDF=90°

∴∠DAG=∠CDG=∠DCH，

∵DA=DC，

∴△DAG≌△DCH（SAS），

∴DG=DH，∠ADG=∠CDH，

∴∠GDH=∠ADC=90°

∴△GDH是等腰直角三角形，

∵GP=PH，

∴PD=PG，PD⊥GH，

∴DG=

例2.【2019·

武汉市期末】在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．

（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°

，求证：

EG=AG+BG；

（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°

，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

在EG上截取EH=BG，

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH．

在△ABG和△AEH中，

∵AE=AB，∠ABG=∠AEH，BG=EH，

∴△ABG≌△AEH，

∴AH=AG，∠EAH=∠GAB，

∴∠GAH=∠EAB=60°

∴△AGH是等边三角形，

∴GH=AG，

∴EG=AG+BG；

（2）EG=

AG－BG．

如图，

过点A作AH⊥AG，交GE的延长线于H，

则∠GAH=∠EAB=90°

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°

∴∠AGH+∠AGB=∠AGH+∠H=90°

．

∴∠AGB=∠H，

∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH．

∴BG=EH，AG=AH，

∵∠GAH=∠EAB=90°

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴

AG=HG．

∴EG=

【刻意练习】

1.【2018·

容县期末】如图，已知△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝5

，三角形顶点在相互平行的三条直线L1，L2，L3上，且L2，L3之间的距离为3，则L1，L3之间的距离是　．

【答案】4.

如图过点A作AM⊥L3于M，过点B作BN⊥L3于N．

∵AC＝BC＝5，AB＝5

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°

∵∠AMC＝∠BNC＝90°

∴∠ACM+∠BCN＝90°

∵∠BCN+∠CBN＝90°

∴∠ACM＝∠CBN，

∴△ACM≌△CBN（AAS），

∴AM＝CN＝3，

在Rt△NCB中，由勾股定理得：

BN＝4，

故答案为：

4．

2.【2019·

长沙市雨花区期末】在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．

提出问题：

当点P运动时，∠APE的度数，DE与CP的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

①当点P与点B重合时，如图1-1所示，∠APE=______°

，用等式表示线段DE与CP之间的数量关系：

______；

②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论是否发生变化？

直接写出你的结论：

（填“变化”或“不变化”）

（2）然后考察点P的一般位置：

依题意补全图2-1，2-2，通过观察、测量，发现：

（1）中①的结论在一般情况下______（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：

若

（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选一个进行证明；

若不成立，请说明理由．

【答案】

（1）45，PC=

DE；

不变化；

（2）成立；

（3）见解析.

解：

（1）①当点P与点B重合时，

∴∠APE=45°

，EA=EB=ED，

∴PC=

DE．

②当BP=BC时，①中的结论不发生变化；

45，PC=

DE，不变化；

（2）结论仍然成立；

（3）如图，

过点E作EF⊥AD于F，延长FE交BC于G，连接AC、EC，

∵点E在线段AP的垂直平分线上，

∴EA=EP，

∴BD是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠ECA，

∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∴∠EAB=∠ECB，

∵EA=EP，EA=EC，

∴EP=EC，

∴∠EPC=∠ECP，

∵∠EPC+∠EPB=180°

∴∠BAE+∠EPB=180°

∴∠ABP+∠AEP=180°

∵∠ABP=90°

∴∠AEP=90°

∴∠APE=∠PAE=45°

∵EF⊥AD，

∴∠DFG=90°

∵∠BCD=∠ADC=90°

∴四边形FGCD是矩形，

∴CG=FD，∠FGC=90°

∵∠BDA=45°

∴FD=

DE，

∵EP=EC，

∴CP=2CG=2DF=

3.【2019·

阳江市期中】

（1）如图

（1），在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：

AE=CF；

（2）如图

（2），在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）

（3）如图（3），PQ是△PMN的中线，若PM=11，PN=13，MN=10，求出PQ的长度．

（1）∵平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，

∴AD=CB，DE=BF，∠AED=∠CFB=90°

∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），

∴AE=CF；

（2）如图，分别过A，D作AE⊥BC交CB延长线于E，DF⊥BC于F．

根据勾股定理可得：

AC2=AE2+（BE+BC）2①，

AE2=AB2-BE2②，

BD2=DF2+（BC-CF）2③，

DF2=DC2-CF2 

④，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，

又∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEB=∠DFC=90°

，AE=DF，

∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE=CF，而AB=DC，

把②代入①，④代入③，可得：

AC2=AB2-BE2+（BE+BC）2

BD2=DC2-CF2+（BC-CF）2

上面两式相加，可得：

AC2 

+BD2=2（AB2+BC2）；

（3）如图，延长PQ至R，使得QR=PQ，连接RM，RN，

∵PQ是△PMN的中线，

∴NQ=MQ，

∴四边形NPMR是平行四边形，

由

（2）可得，MN2 

+PR2=2（NP2 

+MP2），

又∵PM=11，PN=13，MN=10，

∴102 

+（2PQ）2=2（132+112），

解得：

PQ=2

4.【2019·

十堰市外国语期末】如图，已如等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC，CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN．

（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；

（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长．

（1）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：

延长BE交AD于F，如图所示：

∵P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，

∴PM∥AD，PM=

AD，PN∥BE，PN=

BE，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，

∴PM=PN，

∵∠CBE+∠BEC=90°

，∠AEF=∠BEC，

∴∠CAD+∠AEF=∠CBE+∠BEC=90°

∴∠AFE=90°

∴BE⊥AD，

∵PM∥AD，PN∥BE，

∴PM⊥PN，

即△PMN是等腰直角三角形；

（2）∵∠ACD=90°

，CD=5，AC=12，

由勾股定理得：

AD=

=13，

∴PN=PM=

∵△PMN是等腰直角三角形，

∴MN=

PM=

即△PMN的周长=PM+PN+MN=13+

5.【2019·

固始县期末】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．

AF⊥DE；

（2）求证：

CG=CD．

证明：

（1）∵四边形ABCD为正方形

∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°

∵E，F分别是边AB．BC的中点

∴AE=

AB，BF=

BC，

∴AE=BF．

在△ABF与△DAE中，

∵AD=AB，∠DAF=∠ABF，AE=BF，

∴△DAE≌△ABF（SAS）．

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠BAF+∠DAG=90°

∴∠ADG+∠DAG=90°

∴∠DGA=90°

，即AF⊥DE．

（2）证明：

延长AF交DC延长线于M，

∵F为BC中点，

∴CF=FB

∵DM∥AB，

∴∠M=∠FAB．

在△ABF与△MCF中，

∵∠M=∠FAB，∠CFM=∠BFA，CF=BF，

∴△ABF≌△MCF（AAS），

∴AB=CM．

∴AB=CD=CM，

∵△DGM是直角三角形，

∴CG=

DM=CD．

6.【2019·

高阳县期中】如图，正方形ABCD的边长为2

，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．

AF=BE；

（2）求点E到BC边的距离．

∵四边形ABCD为正方形，

∴OA=OB，∠AOB=∠BOC=90°

∵AM⊥BE于点M，

∴∠AME=90°

∴∠MAE=∠OBE，

∴△AOF≌△BOE，

∴AF=BE；

作EN⊥BC于N，如图，

∴OC=

BC=2，∠OCB=45°

∵E是OC的中点，

∴CE=1，

在Rt△ECN中，∠ECN=45°

△CEN为等腰直角三角形，

∴EN=

CE=

即点E到BC边的距离为

7.【2019·

汕头市期中】如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°

△BCG≌△DCE；

BG⊥DE．

（1）∵∠BCD=∠GCE=90°

∴∠BCG=∠DCE，

在△BCG与△DCE中，

∵BC=CD，∠BCG=∠DCE，CE=CG，

∴△BCG≌△DCE（SAS）；

（2）∵△BCG≌△DCE，

∴∠HBC=∠ODH，

∵∠BHC=∠DHO，

∵∠HBC+∠BHC=90°

∴∠ODH+∠DHO=90°

∴∠DOH=90°

∴BG⊥DE．

8.【2019·

北师大附属中学期末】如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．

四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝4，∠ABC＝60°

，求OC的长．

∴BC∥AD，BC＝AD．

∵E，F分别是BC，AD的中点，

∴BE＝

BC，AF＝

AD，

∴BE＝AF．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵BC＝2AB，

∴AB＝BE．

∴平行四边形ABEF是菱形．

过点O作OG⊥BC于点G，如图所示：

∵E是BC的中点，BC＝2AB，

∴BE＝CE＝AB，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°

∴BE＝CE＝AB＝4，∠OBE＝30°

，∠BOE＝90°

∴OE＝2，∠OEB＝60°

∴GE＝1，OG＝

∴GC＝GE+CE＝5．

在Rt△OCG中，由勾股定理得：

OC＝

9.【2019·

厦门六中月考】正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．

（1）若∠PBC=α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠C=90°

∴∠DBC=∠CDB=45°

∵∠PBC=α

∴∠DBP=45°

-α

∵PE⊥BD，且O为BP的中点

∴EO=BO

∴∠EBO=∠BEO

∴∠EOP=∠EBO+∠BEO=90°

-2α

（2）连接OC，EC，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BE

∴ΔABE≌ΔCBE

∴AE=CE

在RtΔBPC中，O为BP的中点

∴CO=BO=

BP

∴∠OBC=∠OCB

∴∠COP=2α

由

（1）知∠EOP=90°

∴∠EOC=∠COP+∠EOP=90°

又由

（1）知BO=EO

∴EO=CO

∴△EOC是等腰直角三角形

∴EO2+OC2=EC2

∴EC=

OC=

即BP=

EC

∴BP=

AE.

10.【2018·

莆田市期中】

（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°

，延长CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG．求证：

EF=FG；

（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°

．若BM=1，CN=3，求MN的长．

在正方形ABCD中，

∠ABE=∠ADG，AD=AB，DG=BE，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∴∠EAG=90°

∴△FAE≌△GAF（SAS），

∴EF=FG；

如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°

∵CE⊥BC，

∴∠ACE=∠B=45°

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°

，∠MAN=45°

∴∠BAM+∠CAN=45°

由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．

∴MN2=BM2+NC2．

∵BM=1，CN=3，

∴MN2=12+32，

11.【2019·

北师大附属中学期末】四边形ABCD是边长为4正方形，点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），点F是正方形外角∠DCM的平分线上一点，且满足∠AEF＝90°

（1）当点E与点B重合时，直接写出线段AE与线段EF的数量关系；

（2）如图1，当点E是边BC的中点时，

①补全图形；

②请证明

（1）中的结论仍然成立；

（3）取线段CF的中点N，连接DE、NE、DN，

①求证：

EN＝DN；

②直接写出线段EN长度的取值范围．

（1）当点𝐸

与点𝐵

重合时，AE=EF．

（2）①如图，

②如图，在AB上取AB中点H，连接HE，

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝CB，且点H是AB中点，点E是BC中点，

∴AH＝BH＝BE＝CE，

∴∠BEH＝∠BHE＝45°

∴∠AHE＝135°

∵CF平分∠DCM，

∴∠DCF＝45°

∴∠ECF＝135°

＝∠AHE，

∵∠AEF＝90°

∴∠AEB+∠FEC＝90°

，且∠AEB+∠BAE＝90°

∴∠BAE＝∠FEC，且AH＝EC，∠AHE＝∠ECF，

∴△AHE≌△ECF（ASA）

∴AE＝EF.

（3）①如图，延长DN，使HN＝DN，连接FH，EH，

∵CN＝FN，∠DNC＝∠HNF，DN＝NH，

∴△DCN≌△HFN（SAS）

∴DC＝FH，∠DCF＝∠FCM＝45°

∴FH∥DC，且CD⊥BC，

∴FH⊥BM，

∴∠FEM+∠EFH＝90°

，且∠FEM＝∠BAE，∠BAE+∠DAE＝90°

∴∠DAE＝∠EFH，

∵AD＝CD，CD＝FH，

∴AD＝FH，且AE＝EF，∠DAE＝∠EFH，

∴△ADE≌△FHE，

∴DE＝EH，且DN＝NH，

∴EN＝DN.

②∵DE＝EH，DN＝NH，

∴EN＝DN，EN⊥DN

∴DE＝

EN，

∵点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），

∴4＜DE≤4

∴2

＜EN≤4.

12.【2019·

宿迁市期末】

（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN=DM．设OM=a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标______（用含a的代数式表示）；

（2）如果

（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：

MD=MN．将这个问题解决，请写出你的证明过程．

（3）在

（2）的条件下，如图3，请你继续探索：

连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：

①FM的长度不变；

②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．

（1）N（2+a，a）；

（2）（3）见解析.

（1）解：

过点N作NE⊥OB于E，

∵∠DMN=90°

∴∠DMO+∠NME=90°

，∠NME+∠MNE=90°

∴∠DMO=∠MNE，

∵DM=MN，

∴△DMO≌△MNE，

∴ME=DO=2，NE=OM=a，

∴OE=OM+ME=2+a，

∴点N坐标（2+a，a），

（2+a，a）．

在OD上截取OH=OM，连接HM，

∵OD=OB，OH=OM，

∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，

∴∠DHM=180°

-45°

=135°

∵NB平分∠CBE，

∴∠NBE=45°

∴∠NBM=180°

∴∠DHM=∠NBM，

∴∠DMO+∠NMB=90°

∵∠HDM+∠DMO=90°

∴∠HDM=∠NMB，

∴△DHM≌△MBN，

∴DM=MN．

（3）结论：

MN平分∠FMB成立．

在BO延长线上取OA=CF，

易证：

△DOA≌△DCF，

∴AD=DF，∠ADO=∠CDF，

∵∠MDN=45°

∴∠CDF+∠ODM=45°

∴∠ADO+∠ODM=45°

∴∠ADM=∠FDM，

∴△DMA≌△DMF，

∴∠DFM=∠DAM=∠DFC，

过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，

由

（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°

∴∠NMB=∠MDH，∠MDO+∠CDF=45°

∴∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．

13.【2019·

福州市期末】如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．

求∠EAF的度数；

如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：

BD＝AF＋2DM．

过点F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°

∴∠MEF＋∠CEB＝90°

，∠CEB＋∠BCE＝90°

∴∠MEF＝∠ECB，

∵EC＝EF，

∴△EBC≌△FME，

∴FM＝BE，

∴EM＝BC

∵BC＝AB，

∴EM＝AB，

∴EM﹣AE＝AB﹣AE

∴AM＝BE，

∴FM＝AM，

∵FM⊥AB，

∴∠MAF＝45°

∴∠EAF＝135°

过点F作FG∥AB交BD于点G，

由

（1）可知∠EAF＝135°

∵∠ABD＝45°

∴∠EAF＋∠ABD＝180°

∴AF∥BG，

∵FG∥AB，