例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函
数，且在区间上是减函数？
并证明你的结论。
［解析］由已知，得，
其中∴即，
解得
∵为负整数，∴
∴，
即，
∴
假设存在实数，使得满足条件，设，
∴
∵，当时，为减函数，
∴，∴
∵,∴,
∴,
∴ ①
当时,增函数,∴
∵,∴,
∴. ②
由①、②可知，故存在
一．指数函数与对数函数
．同底的指数函数与对数函数互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；
3．比较几个数的大小的常用方法有：
①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．
（三）例题分析：
例1．
（1）若，则，，从小到大依次为；
（2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为；
（3）设，且（，），则与的大小关系是（）
（）（）（）（）
解：
（1）由得，故．
（2）令，则，，，，
∴，∴；
同理可得：
，∴，∴．（3）取，知选（）．
例2．已知函数，
求证：
（1）函数在上为增函数；
（2）方程没有负数根．
证明：
（1）设，
则
，
∵，∴，，，
∴；
∵，且，∴，∴，
∴，即，∴函数在上为增函数；
（2）假设是方程的负数根，且，则，
即，①
当时，，∴，∴，而由知，
∴①式不成立；
当时，，∴，∴，而，
∴①式不成立．
综上所述，方程没有负数根．
例3．已知函数（且）．
求证：
（1）函数的图象在轴的一侧；
（2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．
证明：
（1）由得：
，
∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；
当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧．
∴函数的图象在轴的一侧；
（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，
，
当时，由
（1）知，∴，∴，
∴，∴，又，∴；
当时，由
（1）知，∴，∴，
∴，∴，又，∴．
∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．
同步练习
（二）同步练习：
1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
答案：
2、已知函数的定义域为，求的定义域。
答案：
3、已知函数的定义域为，求的定义域。
答案：
4、设，则的定义域为（）
A.B.
C.D.
解：
选C.由得，的定义域为。
故，解得。
故的定义域为
5、已知函数的定义域为，求的定义域。
［解析］由已知，有
（1）当时，定义域为；
（2）当，即时，有，
定义域为；
（3）当，即时，有，
定义域为.
故当时，定义域为；
当时，定义域为
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
练习二
（5）同步练习：
1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，1） B．（2，＋∞）
C．（－∞，） D．（，＋∞）
解析：
先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
答案：
B
2找出下列函数的单调区间.
（1）；
（2）
答案：
（1）在上是增函数，在上是减函数。
（2）单调增区间是，减区间是。
3、讨论的单调性。
答案：
时为增函数，时，为增函数。
4．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：
由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
变式练习
一、选择题
1．函数f（x）＝的定义域是（ ）
A．（1，＋∞） B．（2，＋∞）
C．（－∞，2） D．
解析：
要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以解得1＜x≤2．
答案：
D
2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，1） B．（2，＋∞）
C．（－∞，） D．（，＋∞）
解析：
先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
答案：
B
3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（ ）
A．4 B．1或
C．1或4 D．
错解：
由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．
答案：
选B
正解：
上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．
答案：
D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（0，1）
C．（，＋∞） D．（0，＋∞）
解析：
因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．
答案：
A
5．函数y＝（－1）的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：
y＝（－1）＝，所以为奇函数．形如y＝或y＝的函数都为奇函数．
答案：
C
二、填空题
已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．
解析：
a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．
答案：
a∈（1，2）
7．函数f（x）的图象与g（x）＝（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．
解析：
因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝x
则f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．
（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；
（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．
所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．
答案：
（0，1）
8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（）＝0，
则不等式f（log4x）＞0的解集是______．
解析：
因为f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．
解得x＞2或0＜x＜．
答案：
x＞2或0＜x＜
三、解答题
9．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：
由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
10．设函数f（x）＝＋，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?
若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
解：
（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．
（2）令（x）＝，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
＝－1＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝是减函数，所以f（x）＝＋是减函数．
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。
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