热力学与统计物理期末复习题Word文档格式.docx

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热力学第二定律：

克氏表述：

不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；

开氏表述：

不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。

热力学第三定律：

能氏定理：

凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即limT→0∆ST=0

绝对零度不能达到原理：

不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。

通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。

3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式：

Cp-CV=nR

定容热容：

CV=∂U∂TV表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率；

定压热容：

Cp=∂U∂Tp-p∂V∂TP=∂H∂TP表示在压强不变的情况下的熵增；

对于理想气体，定容热容CV的偏导数可以写为导数，即

CV=dUdT

（1）

定压热容Cp的偏导数可以写为导数，即

CP=dHdT

（2）

理想气体的熵为H=U+pV=U+nRT（3）

由

（1）

（2）（3）式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式：

4、分别给出体涨系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 的定义，并证明三者之间的关系：

α=κTβp

体涨系数：

α=1V∂V∂TP，α给出在压强不变的条件下，温度升高1K所引起的物体的体积的相对变化；

压强系数：

β=1p∂p∂Tv，β给出在体积不变的条件下，温度升高1K所引起的物体的体积的相对变化；

等温压缩系数：

κT=-1V∂V∂pT，κT给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体的体积的相对变化；

由于p、V、T三个变量之间存在函数关系f（p，T，V）=0，其偏导数存在以下关系：

∂V∂pT∂p∂Tv∂T∂VP=-1

因此α，β，κT满足α=κTβp

5、分别给出内能，焓，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系式

内能的热力学基本方程：

dU=TdS-pdV

对应的麦克斯韦关系式：

∂T∂VS=-∂p∂SV

焓的热力学基本方程：

dH=TdS+Vdp

∂T∂ps=∂V∂Sp

自由能的热力学基本方程：

dF=-SdT+Vdp

∂S∂VT=∂p∂TV

吉布斯函数的热力学基本方程：

dG=-SdT-pdV

∂S∂pT=-∂V∂Tp

6、选择T，V为独立变量，证明：

CV=T∂S∂TV，∂U∂VT=T∂p∂TV-p

证明：

选择T，V为独立变量，内能U的全微分为

dU=∂U∂TVdT+∂U∂VTdV

（1）

又已知内能的热力学基本方程dU=TdS-pdV

（2）

以T，V为自变量时，熵S的全微分为

dS=∂S∂TVdT+∂S∂VTdV（3）

将（3）式代入

（2）式可得

dU=T∂S∂TVdT+T∂S∂VT-PdV（4）

将（4）式与

（1）式比较可得

CV=∂U∂TV=T∂S∂TV（5）

∂U∂VT=T∂p∂TV-p（6）

7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点

节流过程制冷：

原理：

让被压缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。

由于多孔塞的作用，气体在它的两侧形成压强差，气体从高压侧缓慢流到低压侧，并达到稳恒状态，这个过程被称为节流过程。

优点：

（1）装置没有移动的部分，低温下移动部分的润滑是十分困难的问题；

（2）在一定的压强降落下，温度愈低所获得的温度降落愈大。

缺点：

节流过程降温,气体的初始温度必须低于反转温度。

绝热膨胀制冷：

能量转化的角度看，系统对外做功，内能减少，膨胀分子间平均距离增大，分子间相互作用势能增加，分子的平均动能必减少，温度必降低。

不必经过预冷；

膨胀机有移动的部分,温度愈低降温效应愈小。

磁致冷却法：

在绝热过程中顺磁性固体的温度随磁场的减小而下降。

可以获得更低的温度；

磁致冷却过程是单一循环，不能连续工作。

8、选择T，V为独立变量，推导出吉布斯—亥姆霍兹方程

（1）已知自由能的全微分表达式为

dF=-SdT-pdV

因此S=-∂F∂T，p=-∂F∂V

如果已知F（T，V），求F对T的偏导数即可得出熵S（T，V）；

求F对V的偏导数即可得出压强p（T，V），这就是物态方程。

根据自由能的定义，F=U-TS，有

U=F+TS=F-T∂F∂T

即为吉布斯—亥姆霍兹方程；

（2）已知吉布斯函数的全微分表达式为

dG=-SdT+Vdp

因此S=-∂G∂T，p=-∂G∂V

如果已知G（T，V），求G对T的偏导数即可得出熵S（T，V）；

根据吉布斯函数的定义，G=U-TS+pV，有

U=G+TS-pV=G-T∂G∂T-p∂G∂p

由焓的定义H=U+pV，得

H=G-T∂G∂T

即为吉布斯—亥姆霍兹方程。

9、推导出克拉珀龙方程和理想气体的蒸汽压方程

设（T，p）和（T+dT,p+dT）是两相平衡曲线上临近的两点，在这两点上，两相的化学势都相等：

μαT，p=μβT，p

μαT+dT，p+dp=μβT+dT，p+dp

两式相减的dμα=dμβ

（1）

表示当沿着平衡曲线由（T，p）变到（T+dT,p+dT）时，两相的化学势的变化相等。

化学势的全微分为

dμ=-SmdT+Vmdp

（2）

Sm和Vm分别表示摩尔熵和摩尔体积，

将

（2）式代入

（1）式得

-SmαdT+Vmαdp=-SmβdT+Vmβdp

或dpdT=Smβ-SmαVmβ-Vmα（3）

以L表示1mol物质由α相转变到β相所吸收的相变潜热，因为相变时物质的温度不变，则L=TSmβ-Smα（4）

将（4）式代入（3）式可得

dpdT=LTVmβ-Vmα（5）

即为克拉珀龙方程；

在（5）式中略去Vmα，并把气相看作理想气体pVmβ=RT，则（5）式可化简为

1pdpdT=LRT2（6）

如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关，将（6）式积分可得

lnp=-LRT+A（7）

即为蒸汽压方程的近似表达式。

10、简述一级相变和二级相变的特点

一级相变：

在相变点两相的化学式连续，但化学式的以及偏导数存在突变。

在一级相变中两相有各自的非奇异的化学式函数，相变点是两相化学势函数的交点；

在相变点两相的化学势相等，两相可以平衡共存，但是两相化学势的一级导数不等，转变时有潜热和比体积突变；

在相变的两侧，化学势较低的相是稳定相，化学势较低的相可以作为亚稳态存在。

二级相变：

在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存在突变。

二级相变没有相变潜热和比体积突变，但是定压比热、定压膨胀系数和等温压缩系数存在突变。

11、简述你对吉布斯佯谬的理解

假设有两气体，物质的量各为n，令他们在等温等压下混合，则由C=-Rinilnxi

（1）可知，混合后的熵增为C=2nRln2

（2），这结果与气体的具体性质无关。

不过应强调，由于在推导理想气体的吉布斯函数G时用了膜平衡条件，式中的i是对不同气体的求和，因而

（1）式

（2）式仅适用于不同气体，对于同种气体，由熵的广延性可知，“混合”后气体的熵应等于“混合”前两气体的熵之和。

因此，由性质任意接近的两种气体过渡到同种气体，熵由2nRln2突变为零。

这成为吉布斯佯谬。

12、给出吉布斯相率的数学表达式并详细解释其含义和物理意义

吉布斯相率的数学表达式：

f=k+2-φ；

f称为称为多元相系的自由度，式多元复相系可以独立改变的的强度变量的数目，

φ表示多元复相系有φ个相，k表示每个相有k个组元，2表示外界因素n，多数取n=2，代表压力和温度；

物理意义：

吉布斯相律说明了平衡体系中，系统的自由度与相数、组元数之间的关系。

13、简述热力学和统计物理学的区别和联系

热力学是用宏观的方法研究热现象，统计物理学是用微观的方法研究热现象。

虽然两者都是研究热现象的，但理论体系是完全不一样的；

热力学是一门极其优美的理论，只使用最简单的数学方法，通过四大基本定律，也就是热力学第零定律、热力学第一定律、热力学第二定律、热力学第三定律，完全不依靠实验，仅从四大基本定律推导出整个理论体系。

统计物理学则要使用复杂的数学方法，还要依靠实验；

是由微观到宏观的桥梁，它为各种宏观理论提供依据，已经成为气体、液体、固体和等离子体理论的基础，并在化学和生物学的研究中发挥作用；

统计物理为热力学提供了清晰的物理图像和定量的解释。

14、分别给出玻尔兹曼统计分布，波色—爱因斯坦分布，费米—狄克拉公式，并简述三种分布之间的关系

玻尔兹曼统计分布：

al=ωle-α-βεl

波色—爱因斯坦分布：

al=ωleα+βεl-1

费米—狄克拉分布：

al=ωleα+βεl+1

三者之间的关系：

玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。

（如顺磁固体等定域系统）；

玻色系统遵守玻色分布；

费米系统遵守费米分布；

满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满足玻耳兹曼分布。

15、给出定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数，并用其表达出内能、广义力和熵

定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数为：

Z1=lωle-βεl

内能的统计表达式：

U=-N∂∂βlnZ1

广义力的统计表达式：

Y=-Nβ∂∂ylnZ1

熵的统计表达式：

S=NklnZ1-β∂∂βlnZ1

16、简述能量均分定理及其在解释单原子分子、双原子分子和固体比热等模型上的困难

能量均分定理：

对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值12kT。

对于单原子分子，定压热容与定容热容之比γ=CpCv=53=1.667，此理论结果与实验结果符合的很好，但是在讨论中是将原子看作一个质点，完全没有考虑原子内电子的运动，原子内的电子对热容没有贡献是经典理论所不能解释的，要用量子理论才能解释。

（没有考虑原子内的电子运动）；

对于双原子分子，定压热容与定容热容之比γ=CpCv=1.40，除了在低温之下的氢气以外，实验结果与理论结果都符合。

氢气在低温下的性质经典理论不能解释。

此外不考虑两原子的相对运动也缺乏根据。

更为合理的假设是两原子保持一定的平均距离做相对简谐振动。

但是，如果采取这个假设，双原子分子的能量将有七个平方项，能量均分定理给出的结果将与实验结果不符。

这一点也是经典理论所不能解释的。

（不能解释低温氢气的性质和柔性连接情况）；

对于固体，Cv=3Nk，将理论结果与实验结果相比较，在室温范围内符合的很好，但在低温范围内，实验发现固体的热容随温度降低的很快，当温度趋紧绝对零度时，热容趋近于零。

这个结果经典理论不能解释。

此外金属中存在自由电子，如果将能量均分定理应用于电子，自由电子的热容与粒子振动的热容将具有相同的能级。

实验结果是，在3K以上自由电子的热容与粒子振动的热容相比，可以忽略不计，这个事实经典理论也不能解释。

（不能解释所有理想固体有相同的热容量）。

17、给出普朗克公式，并讨论其在低频和高频内的结果

普朗克公式：

现在讨论普朗克公式在高频和低频范围内的极限结果：

在的低频范围，，普朗克式可近似为

得到瑞利—金斯公式；

在的高频范围内有e≫1，可将普朗克公式分母中的-1忽略而得

得到维恩公式；

由上式可以看出，当时，当Uω，T随ω的增加而迅速地趋于零，这意味着，在温度T的平衡辐射中，的高频光子是几乎不存在的；

也可以理解为，温度为T时窖壁发射的高频光子概率是极小的。

18、试讨论电子在T=0K时的分布（提示：

费米能级的定义及其物理意义）

电子在0K时服从费米分布，电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从ε=0的状态起依次填充至μ0止。

0K时电子气体的内能为U0=3N5μ0，可知0K时电子的平均能量为35μ0；

0K时电子气体的压强为p0=25nμ0。

可以看出，费米气体在绝对零度下具有很高的平均能量、动量，并产生很大压强，并且在绝对零度下的熵为零。

19、试谈一下你对相空间和刘维尔定理的理解

根据经典力学，系统在任何时刻的微观运动状态由f个广义坐标q1，q2，…，qf及与其共轭的f个广义动量p1，p2，…，pf在该时刻的数值确定。

以q1，q2，…，qf；

p1，p2，…，pf共2f个变量为直角坐标构成一个2f维空间，称为相空间或Γ空间。

式dρdt=0，表明如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数，称为刘维尔定理。

20、简述正则分布、微正则分布、巨正则分布的区别与联系

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