公务员数学运算之二十解析文档格式.docx
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例2:
上午9时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行300米;
弟弟步行、每分钟行70米.小宇到达学校后,呆了30分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分.你知道从家到学校有多远吗?
虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度×
所走的时间加上弟弟的步行速度×
所走的时间解2从9点到10点10分,共有70分钟,因为小宇呆了30分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了70分钟.
答:
从家到学校距离8450米.
例3有甲,乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?
假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长200米.而实际上乙列车没有停,它的速度是24米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为50米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和.
例4:
田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒.已知货车车长180米,求货车的速度?
田田坐在列车上,货车用6秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时6秒.由速度和=全程/相遇时间,可求田田与货车的速度和,田田的速度即列车的速度.那只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度,此问题可解.
例5（用比例关系）学校田径场的环形跑道周长为400米，甲、乙两人同时从跑道上的A点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑26又2/3秒第一次回到A点，乙再跑1分钟也第一次回到A点，求甲乙两人的速度。
设甲乙二人相遇的时间是X
由题意得知，乙开始X秒所行的距离甲行了：
26又2/3秒那么甲乙的速度比是：
X：
80/3=3X：
80甲开始X秒所行的距离乙行了60秒，即甲乙的速度比也是：
60：
X所以有：
3X：
80=60：
XX=40秒那么甲乙的速度比是：
40=3：
2又甲乙的速度和是：
400/40=10米/秒所以甲的速度是：
10*3/[3+2]=6米/秒，乙的速度是：
10*2/5=4米/秒。
2:
追及问题：
两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。
这样的问题一般称为追及问题。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×
时间=追及（或领先的）路程。
追及问题的核心就是速度差。
例1：
甲、乙两人联系跑步，若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙，若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？
A.15B.20C.25D.30
【答案】C。
解析：
甲乙的速度差为12÷
6=2米/秒，则乙的速度为2×
5÷
2=5米/秒，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距5×
9－2×
10=25米。
例2小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间?
分析此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速．水壶飘流的速度只等于水速。
解：
路程差÷
船速=追及时间
2÷
4=0．5（小时）．
答：
他们二人追回水壶需用0．5小时。
3、流水问题。
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，
（1）
逆水速度=船速-水速.
（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式
（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式
（1）和公式
（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷
2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷
2。
例1甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
分析根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。
顺水速度：
208÷
8=26（千米/小时）
逆水速度：
13=16（千米/小时）
船速：
（26+16）÷
2=21（千米/小时）
水速：
（26—16）÷
2=5（千米/小时）
船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。
例2某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
分析要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。
从甲地到乙地，顺水速度：
15+3=18（千米/小时），甲乙两地路程：
18×
8=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：
15—3=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：
144÷
12＝12（小时）。
从乙地返回甲地需要12小时。
例3甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
分析要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。
轮船逆流航行的时间：
（35+5）÷
2=20（小时），顺流航行的时间：
（35—5）÷
2=15（小时），轮船逆流速度：
360÷
20=18（千米/小时），顺流速度：
15=24（千米/小时），水速：
（24—18）÷
2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：
12＋3＝15（千米/小时），帆船的逆水速度：
12—3=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：
360÷
15＋360÷
9＝24+40=64（小时）。
例4某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：
A．2.5：
1B．3：
1C．3.5：
1D．4：
1（2005年中央真题）解析1：
典型流水问题。
如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：
21/KV+4=12/KV+7
将V约掉，解得K=3
解析2，推荐。
注意一个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺流少行了9km而节约的时间与逆流多行的3km所花的时间抵消了。
两者时间相等。
时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为21-12/7-4=3:
14、相关问题例3商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。
结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。
则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
A．80级B．100级C．120级D．140级（2005年中央真题）解析：
这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，（X+2）×
40=（X+3/2）×
50解得X=0.5也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×
40=100所以，答案为B。
五、特殊的思维方法。
整体的思维方法
例1C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？
分析与解：
依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图
（2）。
这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。
但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距96千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。
从图
（2）可以看到：
第三次相遇时，小王小张和走了3个全程，所花的时间是80×
3=240（分）。
可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：
80×
3-80-40=120（分）。
六、精选例题及解答
例1.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。
两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，甲、乙两地间的距离是多少？
分析：
用公式路程差÷
速度差=时间。
1×
（5-4）=2小时。
甲乙两地间的距离为：
（5+4）×
2=18（千米）例2.小张从甲地到乙地步行需要36分，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分。
他们同时出发，几分后两人相遇？
小张速度：
小王速度=1:
3.
两人相遇所需时间36÷
（1+3）=9（分）
例3.一列火车长152米，它的速度是每小时63.36千米。
一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过要8秒，这个人的步行速度是每秒多少米？
相向而行的计算公式：
路程=速度和×
相遇时间。
注意单位换算成同一单位。
63.36千米/小时=17.6米/秒
这个人的步行速度是：
152÷
8-17.6=1.4米/秒
例4.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩。
从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。
他们第10次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
他们第10次相遇时所用时间30÷
（1.2+1.3）×
10=120秒由1.2×
120÷
30=4………24此时妹妹已跑了4圈零24米。
妹妹还需走6米才能回到出发点。
例5.甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙。
若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。
那么甲、乙两人的速度是多少？
甲乙两人速度差10÷
5=2（米/秒）
乙的速度2×
4÷
2=4（米/秒）
甲的速度4+2=6（米/秒）
例6.一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等。
兔子跳出550米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能追上兔子呢？
解:
狗跳5次的时间兔子能跳6次，则狗跳20次的时间兔子能跳24次；
又因为狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等，所以兔子跳24次的距离与狗跳5×
7次的距离相等，狗与野兔的速度比为5×
7：
6=35：
24。
狗比兔子多35-24=11。
由速度比等于路程比（时间一定）得550×
=1750（米）例7.如图，甲在南北路上，由北向南行进，乙在东西路上，由东向西行进。
甲出发点在两条路交叉点北1120米，乙出发点在交叉点上。
两人同时出发，4分钟后，甲、乙两人所在的位置距交叉点的路程相等（这时甲仍在交叉点北）。
再经过52分钟后，两人所在的位置又距交叉点路程相等（这时甲在交叉点南）。
求甲、乙两人的速度。
要认真挖掘题中的隐含条件：
（1）4分钟后两人所在位置距交叉点相等，说明甲离交叉点的距离等于乙走过的路程，即两人共走了1120米。
（2）由于甲在交叉口北1120米处出发，乙在交叉口处出发，经过（4+52）分钟后两人距交叉口等距，说明乙比甲多走了1120米。
甲、乙两人每分钟走的距离和1120÷
4=280（米）甲、乙两人每分钟走的距离差1120÷
（4+52）=20（米）甲每分钟走的距离（280－20）÷
2=130（米）乙每分钟走的距离（280+20）÷
2=150（米）例8、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。
甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。
相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。
已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。
A、B两地相距多远？
我们先画出示意图1（图1中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）设：
AB两地的距离为“1”.由甲、乙两车的速度可以推知：
在相同时内,乙车所行的路程是甲行路程的=,从而甲、乙两车所行的路程分别占他们共同行完路程的和解：
第二次相遇两车共行了全程的3倍，甲行了全程的3×
=1，乙行了全程的3×
=1，此时AM=全程的=。
第二次相遇两车共行了全程的5倍，乙行了全程的5×
=2，NB=全程的，此时AN=全程的,MN=全程的（－）==40千米，所以A、B两地相距40÷
=90千米注意：
为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。
例9、甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：
他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。
我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。
不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×
10=3000米）。
因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，乙、甲的速度比为8：
7，由于在相同的时间内，走过的路程比也是8：
7。
所以这段时间内甲共行1400米。
由此得解。
他们第十次相遇时，共跑了300×
10=3000米。
此时甲跑了3000×
=1400米由 1400÷
300=4（圈）……200（米）300-200=100（米）。
因此甲还需跑100米才能回到出发点例10、有甲、乙、丙三人，甲每小时行3千米，乙每小时行4千米，丙每小时行5千米。
甲从A地，乙、丙从B地同时相向出发。
丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了10小时。
求A、B两地之间的距离。
画出示意图2：
图2
由相同时间内甲、乙、丙所走路程之比等于他们速度之比，则图2中，AC：
CB：
DB=3:
5:
4则CD:
DB=1:
4所以CD=DB由丙、乙速度比为5：
4。
得CP：
PD：
=5：
4PD=CD=DB。
PB=10PD。
PB即为乙10小时走的距离PB=4×
10=40千米PD=4千米DB=40－4=36千米，得甲、丙相遇时间为36÷
4=9小时，所以AB=（4+5+3）×
9=72千米。
解法
（二）丙10小时比乙多走的路程：
2CP=5×
10-4×
10=10（千米），则CP=5（千米）丙走路程CP所用时间：
5=1（小时）所以甲、丙二人的相遇时间：
10-1=9（小时）。
A、B两地间的距离：
（3+5）×
9=72（千米）。
A、B两地间的距离为72千米。
例11.张老师从北京乘坐飞机回沈阳，原计划八点到机场，结果提前于七点到达。
他的儿子接他的车尚未到达。
张老师就边散步边往家走，走了一段路后，车到了，此时张老师乘车回家，结果提前10分钟到家，请问张老师散步走了多少时间？
因为汽车提前10分钟到家，这节省的时间正好是车接到张老师的地点到机场距离,车所行时间的2倍，所以这个距离车应走5分钟。
所以车接到张老师时是七点五十五分，因此张老师走了55分钟。
例12.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。
画图如下：
分析结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×
15=1500（米）。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为每分钟50-40＝10（米），这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷
10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
①甲和丙15分钟的相遇路程：
（40＋60）×
②乙和丙的速度差：
每分钟
50-40=10（米）。
③甲和乙的相遇时间：
1500÷
10=150（分钟）。
④A、B两地间的距离：
（50＋60）×
150＝16500（米）＝16.5千米。
A、B两地间的距离是16.5千米.
附：
公务员行测必备数学公式总结（全）
1.1基础数列类型
①常数数列如7，7，7，7，7，7，7，7，……
②等差数列如11，14，17，20，23，26，……
③等比数列如16，24，36，54，81，……
④周期数列如2，5，3，2，5，3，2，5，3，……
⑤对称数列如2，5，3，0，3，5，2，……
⑥质数数列如2，3，5，7，11，13，17
⑦合数数列如4，6，8，9，10，12，14
注意：
1既不是质数也不是合数
1.2200以内质数表
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199
1.3整除判定
能被2整除的数，其末尾数字是2的倍数（即偶数）
能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数
能被5整除的数，其末尾数字是5的倍数（即5、0）
能被4整除的数，其末两位数字是4的倍数
能被8整除的数，期末三位数字是8的倍数
能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数
能被25整除的数，其末两位数字是25的倍数
能被125整除的数，其末三位数字125的倍数
1.4经典分解
91=7×
13111=3×
37119=7×
17
133=7×
19117=9×
13143=11×
13
147=7×
21153=9×
17161=7×
23
171=9×
19187=11×
17209=19×
11
要点提示：
提取公因式进行简化计算是一个最基本的四则运算方法，但一定要注意提取公因式时的公因式选择的问题。
【例1】计算999999×
777778+333333×
666666
方法一：
原式＝333333×
3×
＝333333×
（3×
777778+666666）
（2333334+666666）
3000000
＝999999000000
方法二：
原式＝999999×
222222
＝999999×
777778+999999×
（777778+222222）
1000000
＝999999000000
评：
方法一和方法二在公因式的选择上有所不同，导致计算的简便程度不相同。
【例2】1235×
6788与1234×
6789的差值是：
A．5444B．5454C．5544D．5554（2001年中央真题）
原式＝1235×
6788－1234×
6788－1234
＝6788×
（1235－1234）－1234
＝6788－1234
＝5554
【例3】2745×
1962－2746×
1961的值是：
A．674B．694C．754D．784（2004年浙江真题）
原式＝2745－1761
＝784
所以，答案为D。
重复数字的因式分解
核心提示：
重复数字的因式分解在公考中是一个重要考点，这个考点是建立在数字构造具有一定规律和特点的基础上的。
例如：
2424=24×
101，101101=101×
1001，2230223=22302230/10=2230×
10001/10=223×
10001。
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