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如图57。

2023/5/11,8,2023/5/11,9,对于给出了定向或定位公差的关联要素，该理想面的轴线或中心平面必须与基准保持图样上给定的几何关系。

如图58（21-15）和图59（21-16）。

2023/5/11,10,2023/5/11,11,2023/5/11,12,确定单一要素的体外作用尺寸的理想面没有方向和位置要求，而确定关联要素的体外作用尺寸的理想面具有确定的方向或位置。

如果在同一基准体系条件下，任何一个实际要素的定位、定向、单一体外作用尺寸和任一局部尺寸之间的关系如图60所示。

显然：

对于外表面（轴）dfedfedfedai对于内表面（孔）DfeDfeDfeDai,2023/5/11,13,2023/5/11,14,2）体内作用尺寸,在被测要素的给定长度上，与实际内表面（孔）体内相接的最小理想面或与实际外表面（轴）体内相接的最大理想面的直径或宽度。

对于给定定向或定位公差的关联要素，该理想面的轴线或中心平面必须与基准保持图样上给定的几何关系。

体内作用尺寸的定义和体外作用尺寸相似，两者都是理想面的直径或宽度，只不过一个是由体内向外，另一个是由体外向内而已。

2023/5/11,15,应指出的是：

形成单一要素的体外作用尺寸和体内作用尺寸的理想面的轴线（或中心平面）它们的方向和位置视被测要素的实际状态而定，一般是不同的。

形成关联要素的定向体外作用尺寸和定向体内作用尺寸的理想面的轴线，具有相同的方向，而它们的位置一般是不同的；

而形成定位体外作用尺寸和定位体内作用尺寸的理想面的轴线，它们的方向和位置是相同的。

2023/5/11,16,2.3最大实体状态（MMC）和最大实体尺寸（MMS）,实际尺寸要素在给定长度上处处位于尺寸极限之内，并具有实体最大（即村料最多）时的状态，称为最大实体状态（MMC）。

实际尺寸要素在最大实体状态下的极限尺寸，称为最大实体尺寸（MMS）。

对于外表面（轴）它是其最大极限尺寸；

对于内表面（孔）它是其最小极限尺寸。

必须指出：

根椐定义，并不要求最大实体状态必须具有理想形状，也就是说，允许与实际尺寸要素相应的中心线或中心面具有形状误差。

2023/5/11,17,2.4最小实体状态（LMC）和最小实体尺寸（LMS）,实际尺寸要素在给定长度上处处位于尺寸极限之内，并具有实体最小（即材料最少）时的状态，称为最小实体状态（LMC）。

实际尺寸要素在最小实体状态下的极限尺寸，称为最小实体尺寸（LMS）。

对于外表面（轴）是其最小极限尺寸；

对于内表面（孔）是其最大极限尺寸。

同样，根据定义，最小实体状态也不要求具有理想形状。

2023/5/11,18,2.5最大实体实效状态（MMVC）和最大实体实效尺寸（MMVS）,在给定长度上，实际尺寸要素处于最大实体状态，且其相应的中心要素的形状或位置误差等于给出的公差值时的综合极限状态，称为最大实体实效状态（MMVC）最大实体实效状态下的体外作用尺寸称为最大实体实效尺寸（MMVS）。

对于内表面（孔）为其最大实体尺寸减去其相应导出要素的带符号的形位公差值。

2023/5/11,19,对于外表面（轴）为其最大实体尺寸加上它相应导出要素的带符号的形位公差值。

示例见图61。

图中最大实体尺寸用DM表示，相应中心要素的形位公差值用t表示，最大实体实效尺寸用DMV表示。

DMVDMt。

如果是外表面（轴），其最大实体实效尺寸dMVdMt,2023/5/11,20,2023/5/11,21,2.6最小实体实效状态（LMVC）和最小实体实效尺寸（LMVS）,在给定长度上，实际尺寸要素处于最小实体状态，且其相应的导出要素的形状或位置误差等于给出的公差值时的综合极限状态，称为最小实体实效状态（LMVC）。

最小实体实效状态下的体内作用尺寸，称为最小实体实效尺寸（LMVS）。

2023/5/11,22,对于内表面（孔）为最小实体尺寸加上其相应导出要素的带符号的形位公差值；

对于外表面（轴）为最小实体尺寸减去其相应导出要素的带符号的形位公差值。

示例见图62。

图中最小实体尺寸用dL表示，相应导出要素的形位公差值用t表示，最小实体实效尺寸用dLV表示。

2023/5/11,23,2023/5/11,24,2.7边界边界是设计给定的具有理想形状极限包容面。

这里的包容面概念是广义的，它既包括外表面（轴）也包括内表面（孔）。

边界的尺寸是指极限包容面的直径或宽度。

标准中给定的边界有四种：

1）最大实体边界（MMB）:

尺寸是最大实体尺寸的边界，称为最大实体边界（MMB）。

2）最小实体边界（LMB）:

尺寸是最小实体尺寸的边界，称为最小实体边界（LMB）。

3）最大实体实效边界（MMVB）:

尺寸是最大实体实效尺寸的边界，称为最大实体实效边界（MMVB）。

4）最小实体实效边界（LMVB）:

尺寸是最小实体实效尺寸的边界，称为最小实体实效边界（LMVB）。

2023/5/11,25,以上四种边界：

对于单一尺寸要素来说，其边界具有理想形状和大小，而方向和位置是不确定的。

对关联尺寸要素：

如果给出的是定向公差，则其边界不仅具有理想形状和大小，而且边界的轴线或中心平面应对基准保持图样上给定的方向关系。

如图63（21-17）所示。

如果给出的是定位公差，其中心要素应对基准保持图样上给定的位置关系。

如图64（21-18）所示。

2023/5/11,26,2023/5/11,27,2023/5/11,28,3独立原则,独立原则就是图样上给定的每一个尺寸和形位公差要求，均是相互无关、各自独立的，应该分别满足要求。

独立原则是尺寸公差和形位公差相互关系应遵守的基本原则。

对于绝大多数产品零件来说，其功能对要素的尺寸和形位公差的要求都是相互无关的，要素能分别达到要求即可。

所以我们把独立原则看成是基本原则因为在产品零件中，根据功能要求采用独立原则的是大多数，所以它不需要在图样上用符号标注，但须标明“公差原则按GB/T4249”字样。

2023/5/11,29,3.1独立原则下的尺寸公差,1）线性尺寸公差遵守独立原则的线性尺寸公差，在图样上无需任何附加的标注。

它只控制提取要素的局部尺寸（两点法测量），而不控制要素的形位误差，形位误差由注出或未注形位公差单独控制。

2023/5/11,30,2）角度尺寸公差遵守独立原则的角度尺寸公差，在图样上也无需任何附加标注。

它只控制提取要素的拟合要素之间的变动量，而不控制两被测提取要素的形状误差。

拟合要素的位置应符合最小条件。

如图65所示。

图中A、B两提取要素分别按最小条件确定其拟合要素的位置，两拟合要素之间的夹角应在给定的两极限角度43和47之间。

角度公差不控制两个提取要素的形状误差，其形状误差由注出或未注形状公差控制。

2023/5/11,31,2023/5/11,32,3.2独立原则下的形位公差,遵守独立原则的形位公差，不论实际要素的局部尺寸如何，被测实际要素均应位于给定的形位公差带内，且其形位误差允许达到最大值。

如图66A）所示。

图66Aa）为图样要求，图66Ab）为局部尺寸处于最大极限尺寸时，形状误差仍允许达到最大值0.02和0.06的极限状况。

图66Ac）说明当局部尺寸处于最小极限尺寸时，形状误差同样允许达最大值的极限状况。

根据独立原则，这两种极限状况的轴都应该认为符合图样要求，都是合格的。

2023/5/11,33,2023/5/11,34,2023/5/11,35,2023/5/11,36,4相关要求,尺寸要素的尺寸公差与其相应的导出要素的形位公差之间相互有关的设计要求称为相关要求。

相关要求分为包容要求、最大实体要求（包括可逆要求应用于最大实体要求）和最小实体要求（包括可逆要求应用于最小实体要求）。

2023/5/11,37,4.1包容要求（ER）,包容要求只适用于单一尺寸要素（圆柱面、两反向平行平面等）的尺寸公差与形位公差之间的关系。

采用包容要求的尺寸要素其实际轮廓应遵守最大实体边界。

即其体外作用尺寸不超出最大实体尺寸，且其局部尺寸不超出最小实体尺寸。

采用包容要求的尺寸要素，应在其尺寸极限偏差或公差带代号之后加注符号E。

图样的标注方法及相关概念的解释见图66。

2023/5/11,38,2023/5/11,39,图a）中轴的尺寸为30-0.013加注表示采用包容要求。

实际轴的单一体外作用尺寸应小于或等于最大实体尺寸dM（即轴的最大极限尺寸）30mm，局部尺寸da应大于或等于其最小实体尺寸dL（即轴的最小极限尺寸）29.987mm。

图b）图g）列出了该轴在轴向截面和横向截面的几种极限情况，它们的体外作用尺寸均不超出最大实体尺寸的要求，即实际轮廓均未进入双点划线限定的阴影区域。

且各局部尺寸都不小于最小实体尺寸29.987mm，所以它们都是满足包容要求的，都应视为合格。

2023/5/11,40,4.2最大实体要求（MMR）,最大实体要求适用于尺寸要素的导出要素，它既可应用于被测要素，也可以应用于基准要素。

最大实体要求应用于被测要素时，应在公差框格的公差值后加注符号“”，应用于导出基准要素时，在公差框格内相应的基准字母后加注符号“”。

2023/5/11,41,1）最大实体要求应用于被测要素,最大实体要求应用于被测要素时，被测要素的实际轮廓应遵守其最大实体实效边界。

也就是说，其体外作用尺寸不超出最大实体实效尺寸。

同时，局部尺寸不得超出其最大、最小实体尺寸。

最大实体要求应用于被测要素时，公差框格内的公差值是指该要素处于最大实体状态下的公差值。

当被测要素的局部尺寸偏离了最大实体尺寸时，允许其形位误差值超出在最大实体状态下给出的公差值，即允许形位公差值增大，增加到以其实际轮廓不超出其最大实体实效边界为限。

2023/5/11,42,若采用最大实体要求的被测要素是关联要素，同时给出的形位公差值为“0”，称之为最大实体要求的零形位公差，并以“0”表示。

此时，被测要素的实际轮廓应遵守的边界是最大实体边界，且该边界应与基准保持图样上给定的几何关系。

要素实际轮廓的局部尺寸不得超出最小实体尺寸。

被测要素是单一尺寸要素时，不得采用最大实体要求的零形位公差，而应采用包容要求，标注。

因为，对单一尺寸要素来说，“实际轮廓不超出最大实体边界、局部尺寸不得超越最小实体尺寸”的要求，在标准中已经规定了要采用包容要求来表达，所以不能再用“0”来标注。

2023/5/11,43,最大实体要求应用于被测要素的示例见图67（21-19）。

图a）为图样标注，20-0.3轴的轴线直线度公差采用最大实体要求（0.1mm）。

在轴处于最大实体状态时，轴线的直线度公差为0.1mm如图b）所示。

若轴的局部尺寸da偏离了最大实体尺寸20mm，假设处处均为19.9mm，在保证其体外作用尺寸不大于轴的最大实体实效尺寸dMV=dM+t=20+0.1=20.1mm的情况下，其轴线的直线度公差可以增加到t=0.1+0.1=0.2mm，如图c）所示。

2023/5/11,44,2023/5/11,45,在轴的实际尺寸处处为最小实体尺寸19.7mm时，其轴线的直线度公差可以增加到最大值，且等于其尺寸公差（0.3mm）与给出的直线度公差0.1mm之和t=0.3+0.1=0.4mm如图d）所示。

2023/5/11,46,如果以实际尺寸作为横坐标，以形位公差值作为纵坐标，可以画出采用最大实体要求时，局部尺寸大小与形位公差变化之间的对应关系，叫做动态公差图。

如图e）所示。

本例中，轴的局部尺寸与轴线直线度公差之间的关系是一条与横坐标成45角的斜线。

这条粗斜直线上各点纵、横坐标值的代数和等于轴的最大实体实效尺寸20.1mm。

因此，以轴的局部尺寸为横坐标，轴线的直线度误差为纵坐标，只要落在图示的由两极限尺寸（19.7mm和20mm）及最大实体实效尺寸（20.1mm）的粗斜直线所限定的阴影线区域之内的点，其局部尺寸和轴线的直线度误差的综合结果都是合格的。

动态公差图用来解释和理解最大实体要求的概念非常方便。

2023/5/11,47,2）可逆要求用于最大实体要求,可逆要求是指导出要素的形位误差值小于给出的形位公差值时，在能满足零件功能的前提下，允许扩大尺寸公差的一种要求。

可逆要求用于最大实体要求也就是常说的“反补偿”问题。

最大实体要求是用局部尺寸偏离了最大实体尺寸时的差值部分补偿给形位公差，使形位公差增大。

可逆要求则是反过来把形位误差值小于给出的形位公差值的差值部分补偿给尺寸公差，允许其局部尺寸超出最大实体尺寸，即尺寸公差值可以增大。

所以这种要求又称为“可逆的最大实体要求”。

2023/5/11,48,可逆要求用于最大实体要求时，应在被测要素的公差框格的公差值栏内已加注了的后面再加注“”。

应用示例见图68。

图a）为图样标注。

20-0.3轴的轴线直线度公差（0.1mm）采用可逆的最大实体要求。

当轴处于最大实体状态、其最大实体尺寸为20mm时，轴线的直线度误差最大允许值为0.1mm。

2023/5/11,49,2023/5/11,50,当轴线的直线度误差小于0.1mm时，则允许轴的局部尺寸大于其最大实体尺寸20mm，即尺寸公差值可以增大。

但必须保证其体外作用尺寸不得超越其最大实体实效尺寸dMV（dMV=dM+t=20+0.1=20.1mm）。

若直线度误差为0（即具有理想形状），则局部尺寸可达到最大值，即等于其最大实体实效尺寸20.1mm，如图b）所示。

其动态公差图见图c）。

2023/5/11,51,3）最大实体要求应用于基准要素,最大实体要求应用于基准要素时，基准要素应遵守相应的边界。

若基准要素的实际轮廓偏离其相应边界，即其体外作用尺寸偏离了相应的边界尺寸，则允许基准要素在一定的范围内浮动，其浮动范围等于基准要素的体外作用尺寸与其相应的边界尺寸之差。

2023/5/11,52,最大实体要求应用于基准要素与应用于被测要素的概念完全不同：

应用于被测要素时，当被测要素偏离了最大实体状态，则可以使其形位公差增加。

而应用于基准要素时，当基准要素的实际轮廓偏离了边界，则允许基准要素在一定范围内浮动。

从相对运动的观点来看，可以理解为允许基准相对于实际基准要素在一定范围内浮动。

这对保证互换性的前提下，最大限度地避免造成零件的误废是有益的。

最大实体要求应用于基准要素时，基准要素应遵守的边界有两种：

2023/5/11,53,a）遵守最大实体实效边界,当基准要素本身也采用最大实体要求时，应遵守最大实体实效边界。

所谓基准要素本身采用最大实体要求，是指基准要素本身做为被测要素时，它的形状公差，或者它做为第二、第三基准对第一基准或者第一和第二基准的位置公差采用了最大实体要求。

此时，基准代号要标注在形成该最大实体实效边界的公差框格的下方。

标注示例见图69（21-20）。

2023/5/11,54,2023/5/11,55,图a）表示均布的四孔组48+0.1的轴线对基准A的位置度公差为0.2mm，被测要素与基准均采用了最大实体要求。

同时，基准要素A（20-0.1mm）本身的轴线直线度公差（0.02mm）又采用了最大实体要求，因此，对四孔组的位置度公差来说，基准要素A应遵守由直线度公差0.2mm确定的最大实体实效边界。

边界尺寸等于最大实体尺寸20mm+直线度公差0.02mm（=20.02mm）。

按照标准规定，此时基准代号要标于直线度公差框格的下方。

2023/5/11,56,图b）表示孔组480.1均布的四孔轴线对基准A、B的位置度公差0.2mm应用了最大实体要求，同时基准要素B也采用了最大实体要求。

基准要素B本身有两项也采用了最大实体要求的形位公差，一个是垂直度，另一个是对称度。

选哪个最大实体实效边界做为位置度公差中基准要素B应遵守的边界呢？

2023/5/11,57,首先，看垂直度的基准A。

它不但是垂直度的基准，同时也是位置度要求的第一基准。

而对称度的基准D与位置度要求的基准无关，它们不是同一基准体系。

所以，对于80.1均布的四孔轴线位置度，其基准要素B应遵守的边界是由与被测要素处于同一基准体系的垂直度公差确定的定向最大实体实效边界。

边界尺寸为20mm+0.08mm=20.08mm，基准代号B应该标注在垂直度公差框格的下方。

2023/5/11,58,b）遵守最大实体边界,基准要素本身不采用最大实体要求时，应遵守最大实体边界。

此时，基准代号应该标注在基准要素的尺寸线处，且其连线与尺寸线要对齐。

基准要素本身不采用最大实体要求又分两种情况：

遵守独立原则，见图70A）（21-21A）。

遵守包容要求，见图70B）（21-21B）。

无论哪种情况，基准要素A的边界都是最大实体边界。

2023/5/11,59,2023/5/11,60,图70c）（21-21c）是应用最大实体要求的基准要素做为第二基准的示例。

图中基准要素B本身有垂直度要求，采用的是独立原则。

其基准与位置度公差的第一基准是同一基准体系。

做为位置度公差的第二基准B的边界应该是垂直于基准A的定向最大实体边界。

边界尺寸等于20mm。

2023/5/11,61,4.3最小实体要求（LMR）,在设计中，有时要涉及保证最小壁厚（临界壁厚）或者限制表面对中心平面的最大距离（临界距离）的功能要求，此时可采用最小实体要求。

最小实体要求是与最大实体要求对应的一种相关要求，它既可以应用于被测要素，也可以用于基准中心要素。

最小实体要求应用于被测要素时要在公差框格的公差值后加注符号“”，应用于基准中心要素时，在公差框格内相应的基准字母后面加注符号“”。

2023/5/11,62,1）最小实体要求应用于被测要素,最小实体要求应用于被测要素时，被测要素的实际轮廓应遵守其最小实体实效边界。

也就是说，其体内作用尺寸不得超越最小实体实效尺寸。

同时，局部尺寸不得超越其最大和最小实体尺寸。

最小实体要求应用于被测要素时，框格中的公差值是指该要素处于最小实体状态下的公差值。

当被测要素的局部尺寸偏离了最小实体尺寸时，则允许其形位误差值超出在最小实体状态下给出的公差值，即允许形位公差值增大，增加到以其实际轮廓不超出其最小实体实效边界为限。

2023/5/11,63,若被测要素采用最小实体要求时，给出的形位公差为“0”，则称之为最小实体要求的零形位公差，并以“0”表示。

被测要素采用最小实体要求的示例见图71（21-22）。

图71a）（21-22a）为图样标注，80.25mm孔的轴线对基准平面A的位置度公差为0.4mm，并采用最小实体要求。

其最小实体实效尺寸DLV=8.25+0.4=8.65mm。

当孔处于最小实体状态时，孔的局部尺寸Da等于其最小实体尺寸DL（=8.25mm），位置度公差值是0.4mm，此时孔的轮廓到平面A的最小距离min=1.675mm，如图b）所示。

2023/5/11,64,2023/5/11,65,当孔的局部尺寸偏离了最小实体尺寸，例如达到8.05mm，则可使位置度公差值t增大，达到t=0.4+0.2=0.6mm，如图c）。

如果孔的局部尺寸达到最小极限尺寸，即处处等于最大实体尺寸DM（=8mm），位置度公差可达最大值，其公差值t=尺寸公差TD+位置度公差TL=0.25+0.4=0.65mm，如图d）所示。

无论哪种情况，都能保证min=1.675mm。

可见，应用了最小实体要求，在位置度公差值达到0.65mm的情况下，仍能保证临界距离符合要求。

如果采用独立原则，就不可能达到这样的效果。

图e）为动态公差图。

2023/5/11,66,2）可逆要求用于最小实体要求,可逆要求除应用于最大实体要求外，也可以用于最小实体要求。

可逆要求应用于最小实体要求时，如果被测要素的形位误差值小于给出的最小实体状态下的公差值，允许其实际尺寸超出最小实体尺寸，即尺寸公差值可以增大。

这种要求又叫“可逆的最小实体要求”。

2023/5/11,67,可逆要求应用于最小实体要求时，应在被测要素的公差框格中的公差值栏内已加注了的后面再加注“”。

对具有相同边界和综合公差（尺寸公差与形位公差之和）的被测要素，采用可逆的最小实体要求和采用最小实体要求的零形位公差，其设计要求是完全相同的，其区别只是对尺寸公差与形位公差的分配有所不同而已。

2023/5/11,68,可逆的最小实体要求应用示例见图72（21-23）。

图72a）表示80.25孔的轴线对基准A的位置度公差采用了可逆的最小实体要求（t=0.4mm）。

当孔的实际轮廓偏离了最小实体状态，即其局部尺寸Da偏离了最小实体尺寸DL时，则允许形位公差值增大（已如前述）。

若其实际位置度误差值小于给出的公差值，则允许孔的局部尺寸大于其最小实体尺寸DL（DL=Dmax=8.25mm），但必须保证其定位体内作用尺寸Dfi不大于其定位最小实体实效尺寸DLV=DL+t=8.25+0.4=8.65mm。

2023/5/11,69,2023/5/11,70,当孔轴线的位置度误差为“0”，（即具有理想形状且处于理想位置）时，其实际尺寸可达最大值，即等于孔的定位最小实体实效尺寸8.65mm。

见图b）。

其动态公差图见图c）所示。

2023/5/11,71,3）最小实体要求应用于基准要素,最小实体要求应用于基准要素时，基准要素应遵守相应的边界。

若基准要素的实际轮廓偏离了相应的边界，即其体内作用尺寸偏离了相应的边界尺寸，则允许基准要素在一定范围内浮动，其浮动范围等于基准要素的体内作用尺寸与其相应的边界尺寸之差。

最小实体要求应用于基准要素时，基准要素应遵守的边界有两种情况：

2023/5/11,72,a）遵守最小实体实效边界,基准要素本身采用最小实体要求时，应遵守最小实体实效边界。

此时，基准代号要标注在形成该最小实体实效边界的公差框格的下方。

所谓基准要素本身采用最小实体要求，是指基准要素自身做为被测要素时，其形状公差或它对另外的基准要素的位置公差采用最小实体要求。

标注示例见图73（21-24）。

2023/5/11,73,2023/5/11,74,b）遵守最小实体边界,基准要素本身不采用最小实体要求时，应遵守最小实体边界。