数的整除知识点总结Word下载.doc
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偶数
第三种分法：
正整数
素数1合数
素数
合数
1
一些关于数的结论:
1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数
2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数
3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的
二．整除
1.整除定义（概念）：
整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；
或者说b能整除a
注意点：
一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被除数，b相当于除数
2.整除的条件：
1.除数、被除数都是整数
2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零
区分整除与除尽：
整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a能被b整除,则a一定能被b除尽，反之则不一定（即a能被b除尽，则a不一定能被b整除）。
如4÷
2=2,4既能被2除尽，也能被2整除；
4÷
5=0.8,4能被5除尽，却不能说4能被5整除
三．因数与倍数
1.因数与倍数的定义：
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。
如：
6÷
3=2，不能说6是倍数，3是因数；
要说6是3的倍数，3是6的因数。
2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷
0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
2.因数与倍数的特点：
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：
利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×
16=2×
8=4×
4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
4.求一个数倍数的方法：
这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。
若用n表示所有的正整数，则2的倍数可表示为2n,5的倍数可表示为5n
四．能被2、5、3整除的数的特点
1.能被2整除的数（即2的倍数）个位上的数字是0、2、4、6、8，反之，个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除
2.能被5整除的数（即5的倍数）个位上的数字是0、5，反之，个位上的数字是0、5的数都能被5整除
3.能被3整除的数（即3的倍数）各个位数上的数字之和是3的倍数，反之，各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除
4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0，个位数字为0的数也能被10整除，能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除。
五．奇数、偶数
1.奇数与偶数的定义：
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
（按照能否被2整除来划分奇数与偶数）
2.奇数个位数上的数的特点：
1、3、5、7、9
偶数个位数上的数的特点：
0、2、4、6、8
3.在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数
4.相邻的奇数或偶数数字相差2，奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。
5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点
奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数
奇数×
奇数=奇数偶数×
偶数=偶数奇数×
偶数=偶数
利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积
六.素数、合数
1.素数与合数定义：
一个正整数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数），如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2个因数（1和本身），合数至少有三个因数；
任何一个数（除1外）都有1和它本身两个因数。
2.1既不是素数也不是合数。
3．最小的素数是2，最小的合数是4
2.素数与奇数的联系和区别
奇数不一定都是素数。
√（1既不是素数也不是合数，9、15等是奇数但是合数）
所有素数都是奇数。
×
（2是素数，但2是偶数）
3.合数与偶数的联系与区别
合数不一定都是偶数。
√（9、15等都是合数，但它们是奇数）
偶数都是合数。
×
（2是偶数但2是素数）
注意:
判断题对的要说明原因，错的要举出反例。
七．素因数与分解素因数
1.素因数与分解素因数的定义：
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注意：
1.求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。
如24=2×
2×
3，则素因数是2、2、2、3，而不是2、3
2.因数与素因数的区别：
因数可以是素数或合数，素因数一定是素数。
一个数的素因数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。
2.分解素因数的方法
树枝分解法：
过程中注意不要漏写乘号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现1.
要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。
短除法：
1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最小的开始，偶数肯定先用2除，奇数一般从3开始一个个带入验算）
2.得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。
3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
3.由一个数分解素因数求这个数的因数
12=2×
3，素因数是2、2、3，除1外由单个的素因数组成因数有2、3，由两个素因数组成的因数有2×
2=4,2×
3=6，由三个素因数组成的因数有2×
3=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12.
4.由一个数分解素因数求这个数因数的个数
（1）所有素因数都相同时，因数的个数是它素因数的个数+1，如8=2×
2，素因数是2、2、2，则8的因数的个数是它素因数的个数+1，即4个
（2）素因数不完全相同时，因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积，如12=2×
3，素因数2的个数是2，素因数3的个数是1，则12的因数的个数是（2+1）×
（1+1）=6
八.公因数与最大公因数
1.公因数与最大公因数定义:
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.
2.互素定义：
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
如8和9
互素是两个数之间，素数是指一个数，互素的两个数的最大公因数就是1.
两个互素的数未必都是素数。
√（8和9互素，但8和9都是合数）
两个不同的素数一定互素.√（若缺少“不同的”，则错，因为3和3都是素数但不互素）
3.求两个数最大公因数的方法：
（1）一般方法：
写出两个数所有的因数，再找出它们共同的最大的因数
（2）分解素因数的方法：
把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，把它们所有的公有的素因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。
（3）短除法：
先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积.（类比用短除法分解素因数的方法）
4.两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。
如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.
九.公倍数和最小公倍数
1.公倍数与最小公倍数定义:
几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.
2.求两个数最小公倍数的方法:
（1）一般方法:
从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数
（2）分解素因数的方法:
把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.
（3）短除法:
先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.
注意点:
1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.
2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数（倍数）关系或互素关系,存在因数（倍数）关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;
两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.
3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.
十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数（拓展）
（1）求三个整数的最大公因数:
同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.（注意与三个数的最小公倍数区分）
（2）求三个整数的最小公倍数:
一般方法:
写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.
分解素因数法:
分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.
短除法:
先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止（即三对互素数）
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