一元二次方程的解法及韦达定理Word格式文档下载.docx

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注意点:

①二次项的系数为1，且a≥0

②如果a为根式,注意化简。

例1：

解方程：

5x2=1

例2：

x2=

例3:

4x2+12x+9=12

2、配方法：

对于形如：

ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解.

步骤：

①把二次项的系数化为1.

两边同时除以a，可以得到：

X2+

x+

=0

②配方：

（x+

）2+c-

③移项：

）2=

-c

④用直接法求出方程的解.

X=-

±

注意点：

解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

例：

x2+x=1

3、公式法：

ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解.

根据配方法,我们可以得到方程的解为：

X=—

进一步变形，就可以知道：

形如：

ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程的解为：

x1=

x2=

1解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简.

2解题步骤要规范。

x2+5x+2=0

除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法

对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性,可以考虑用换元法；

或者,当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例1:

（x2+5x+2）2+（x2+5x+2）—2=0

例2:

5、有理化方法:

对于一个方程,如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

6、主元法：

对于一个方程，如果有两个未知数,那么,我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。

解方程

除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？

二、判别式的运用：

我们知道：

方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：

其中，我们把：

=b2—4ac称之为判别式

（1）当

>

0的时候，方程有两个不同的实数根.

（2）当

=0的时候，方程有两个相同的实数根.

（3）当

〈0的时候，方程没有实数根.没有实数根与没有根是两个不同的概念.

判别式的运用:

（1）求方程系数的取值范围。

例:

已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a的取值范围。

（2）求最大值最小值的问题。

求

的最大值和最小值。

已知a〉0，b〉0，且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。

三、韦达定理

对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：

那么就有：

x1+x2=

，x1x2=

。

除了这两个式子之外，还有几个,我们也必须要熟悉的：

（1）｜x1-x2｜=

（2）

+

=

（3）

注:

以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。

下面给出公式

（1）的推理：

|x1—x2｜=

韦达定理的应用:

1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。

如果关于x的方程：

例题2：

已知关于x的方程（a2—1）x2—（a+1）x+1=0的两个根互为倒数，求a的值.

2、构造方程进行计算：

已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0.求|a-b｜的值

已知a，b，c都是整数,且有a+b+c=0,abc=16，求a、b、c三个数中的最大数的最小值。

例题3：

已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且S△AOB=4，S△COD=9，求四边形ABCD面积的最小值。

一元二次方程习题

1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2—9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。

【举一反三】

Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。

矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积.

2、解方程：

（1）x2-2=-2x;

（2）x（x—3）+x-3=0；

（3）4x2+12x+9=81．

3、先化简,再求值:

（a—1）÷

（

-1）,其中a为方程x2+3x+2=0的一个根．

例题1:

设a,b分别是方程x2+3x+1=0的两个根，求：

（1）a2+b2+ab的值；

（2）求a3+b3的值

例题2:

已知:

5a2+12a—1=0，b2—12b-5=0,且：

ab≠1，求：

的值。

4、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根,求a的取值范围。

已知关于x的方程x2-2（k—3）x+k2-4k—1=0．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围;

（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程x2—2（k-3）x+k2—4k—1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y＝

的图象上,求满足条件的m的最小值．

已知关于

的方程

（1）

有两个不相等的实数根，且关于

的方程

（2）

没有实数根，问

取什么整数时，方程

（1）有整数解？

已知a〉0，b>

0，且:

a+2b+ab=30,求ab的最大值。

5、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。

6、关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a,m，b均为常数，a≠0），解方程方程a（x+m+2）2+b=0.

7、设方程（x—a）（x-b）—x=0的两根是c、d，解方程（x-c）（x-d）+x=0。

8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解题方案：

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，

（Ⅰ）用含x的解析式表示：

第一轮后共有人患了流感；

第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感；

（Ⅱ）根据题意,列出相应方程为；

（Ⅲ）解这个方程，得；

（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了个人．