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参考文献3

谢辞4

浅谈韦达定理及其应用

OntheVietatheoremanditsapplication

数学与信息工程学院数学与应用数学专业

李珊珊

指导老师：

汤利荣

1.引言

韦达1540年生于法国的普瓦图。

1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达定理主要内容：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且△=b2-4ac≥0）中

　　设两个根为

和

　　则

　　用韦达定理判断方程的根

　　若b2-4ac>

0则方程有两个不相等的实数根

　　若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根

若b2-4ac<

0则方程没有实数解

2.韦达定理概述

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：

有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

同时，它也是解平面解析几何习题的一个主要技巧。

下面就进行简单介绍。

2.1直接利用韦达定理

若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·

b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．

例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．

求证：

（1）c＋d＝2bcosA；

（2）c·

d＝b2－a2．

分析：

观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．

证明：

如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有

a2＝b2＋c2－2bccosA；

a2＝b2＋d2－2bdcosA（CD＝BC＝a）．

∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，

d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．

于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．

由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·

例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．

显然已知二式具有共同的形式：

x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．

解：

由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．

由韦达定理，得a＋b＝－1，a·

b＝－1．

故ab＋a＋b＝－2．

2.2先恒等变形，再利用韦达定理

若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·

b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．

例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：

x＝y．

将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．

由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋（z2＋9）＝0的两个根．

∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．

则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．

于是，方程u2－6u＋（z2＋9）＝0有等根，故x＝y．

例4已知x2+3x-8=0,y2+3y-8=0.求

的值

将待求式

化为如下形式：

由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理

知x+y=-3,xy=-8.于是，

=

=

2.3已知一元二次方程两根的关系（或系数关系）求系数关系（或求两根的关系），可考虑用韦达定理

例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．

设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有

a＋2a＝－P，①

a·

2a＝q，②

P2－4q＝1．③

把①、②代入③，得（－3a）2－4×

2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±

1．

当a=1时，解得

∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．

解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．

例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：

p＝q或p＋q＝－4．

设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．

由题意知α－β＝α＇－β＇，

故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．

从而有（α＋β）2－4αβ＝（α＇＋β＇）2－4α＇β＇．①

把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即（p＋q）（p－q）＋4（p－q）＝0，即（p－q）（p＋q＋4）＝0．

故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．

2.4关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理

例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－（m－1）＝0有一个公共根？

并求出这个公共根．

设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；

x2－4x－（m－1）＝0的两根为α、4－α．

由韦达定理，得α（m＋α）＝3，①

α（4－α）＝－（m－1）．②

由②得m＝1－4α＋α2，③

把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，

即（α－3）（α2＋1）＝0．

∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．

把α＝3代入③，得m＝－2．

故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．

3.韦达定理在解析几何中的应用

3.1求弦长

在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。

求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。

能否另擗捷径呢？

能！

仔细观察弦长公式：

∣AB∣=∣x1-x2∣

或∣AB∣=∣y1-y2∣

，

立刻发现里面藏着韦达定理（其中x1、x2分别表示弦的两个端点的横坐标，y1、y2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。

请看下面的例子：

例1,已知直线L的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线L被抛物线截得的弦长。

易知直线的方程为y=2（x-

）.联立方程组y2=2px和y=2（x-

）消去x得y2-py-p2=0.∵△=5p2>

0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。

由韦达定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦长d=

例2,直线y=kx-2交椭圆x2+4y2=80交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则∣PQ∣等于___________.

联立方程组y=kx-2和x2+4y2=80消去y得（4k2+1）x2-16kx-64=0

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）.由韦达定理得

x1+x2=

=4得k=

.x1x2=-32∣PQ∣=6.

3.2判断曲线交点个数

例3,曲线y=ax2（a>

0）与曲线y2+3=x2+4y交点的个数应是___________个.

联立方程组y=ax2（a>

0）与y2+3=x2+4y.消去x得：

y2-（1/a+4）y+3=0（a>

0）

因为

所以,方程有两个不等正实根。

由y=ax2得出，有四个不等的x解，故二曲线的交点有4个。

3.3求弦长的中点坐标

例4，已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________________.

联立方程组x-y=2和y2=4x.消去x得：

y2-4y-8=0由韦达定理得y1+y2=4,

线段AB中点的纵坐标y=

横坐标x=y+2=4.故线段AB中点坐标为（4，2）.

3.4求曲线方程

例5，顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线,被直线y=2x+1截得的弦长为

.求此抛物线方程。

设抛物线方程为y2=2px,联立方程组y2=2px和y=2x+1消去y得

4x2+2（2-p）x+1=0.又由韦达定理得x1+x2=

x1x2=

.于是有

解得p=-2或p=6.故抛物线方程为y2=-4x或y2=12x.

例6,抛物线y=-

.与过点M（0,-1）的直线L相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线L的方程为y=kx-1.联立方程组y=kx-1和y=-

消去y得

x2+2kx-2=0.由韦达定理得x1+x2=-2k,x1x2=-2.又

则直线L的方程为y=x-1.

参考文献

[1]杨国仁.虞金龙.韦达定理在解析几何中的应用[J].数理化解题研究,2003,（12）:

18-21.

[2]z赵适红.韦达定理的应用初探[J].太原城市职业技术学院学报,2008,（7）:

100-101.

[3]邓必成,.判别式和韦达定理的应用200例[M].湖北.