三角函数PPT资料.ppt

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为了表达准确，我们在画一个角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。

按逆时针方向旋转形成的角称为正角；

按顺时针方向旋转形成的角称为负角；

当一条射线不旋转时，我们也认为它形成了一个角，称为零角。

1时钟从3点走到3点15分，分针旋转了多少度？

2当把手表倒拨（逆时针）1小时20分钟，分针旋转了多少度？

3分别画出以下各角：

150、420、750、120、390。

象限角与终边相同的角,在平面直角坐标系xOy中，把角的顶点放在原点O的位置上，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角。

比如，45角是第一象限角；

240角是第二象限角；

585角是第三象限角；

300角是第四象限角。

如果一个角的终边落在坐标轴上，就说这个角是轴线角。

例如，90、180角都是轴线角。

在0360范围内，各象限角的范围如下：

在0360范围内，各轴线角的大小如下：

思考在同一坐标系中观察下面角的共同点？

30、390、750、330、690,通过观察可以发现，这些角的终边位置是相同的。

我们把它们称为是与30终边相同的角。

很显然，与30终边相同的角有无限多个。

3030036039030136075030236033030

（1）36039030

（2）360这样我们可以得到与30角终边相同的角（含30在内）的一般表达式为30k360，kZ,由此推广，轴线角的一般表达式如下,由此推广，与角终边相同的角（含角在内）的一般表达式是：

k360，kZ,例题解析,例下列各角中哪些角与40的角终边相同?

390、400、320、320,解,因为39030360400403603204036032040360所以400、320角与40角终边相同（400、320与40的差值正好是360的整数倍）；

而390、320角与40角终边不相同（390、320与40的差值不是360的整数倍）。

单击鼠标继续,1下列各角是第几象限角？

（如果是轴线角也请说明）30、120、180、260、300、360、390、450、30、90、120、180、230、330。

2下列各角中哪些角与80的角终边相同？

440、280、280、400。

弧度,我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1弧度。

弧度的单位符号是rad。

根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对应的圆心角的大小是，即,例如，圆周的长度是2r，它对应的圆心角的大小是因为圆周角用角度表示为360，所以可得出360=2rad由此推广，可进行如下换算：

例题解析,例1用弧度表示下列各角的大小：

60、120、60、270,解,单击鼠标继续,例2用角度表示下列各角的大小：

2.5、,解,单击鼠标继续,例3求图中公路弯道处弧AB的长l。

（单位：

m，结果保留整数）,解,单击鼠标继续,下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的对应关系,采用弧度制后，与角终边相同的角（含角在内）的一般表达式是：

=2k，kZ,1用弧度表示下列各角的大小：

245、420、300、120、3302用角度表示下列各角的大小：

3、。

3.2任意角的三角函数,锐角三角函数在直角三角形OPM中，M是直角。

角的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有,坐标系内的三角函数以O为原点，邻边OM所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系。

显然x，y就是角的邻边和对边长，r是斜边。

由此，我们得到：

任意角三角函数的定义,以任意角的顶点为原点O，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，在的终边上任意取一点P（x，y），设点P到原点的距离是r，则有,这些比值都是角的函数，分别叫做的正弦函数，余弦函数，正切函数，它们都是三角函数。

我们规定：

1比值叫做的正弦，记作sin，即。

2比值叫做的余弦，记作cos，即。

3比值叫做的正切，记作tan，即。

由于2k（kZ）表示的所有角的终边相同，根据三角函数的定义，它们的同名三角函数值相等，即,sin（2k）sin，kZcos（2k）cos，kZtan（2k）tan，kZ,单位圆以原点为圆心，半径长为1个单位的圆。

设角的终边与单位圆的交点为P。

根据三角函数的定义，由点P的坐标（x，y）可得以下公式：

在正切函数中，由于分母x不能为零，所以角的终边不能在y轴上。

在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下表,例题解析,例1已知角的终边经过点P（3，4），求的正弦、余弦及正切函数值。

解,所以,单击鼠标继续,例2求角390和的正弦、余弦和正切值。

解,单击鼠标继续,1已知角的终边上一点P（3，4），求的正弦、余弦和正切函数值。

2求角420和的三角函数值。

3求下列特殊角的三角函数值：

三角函数值的符号,三角函数值的符号总结如下：

1用或填空。

利用计算器求三角函数值,使用计算器求三角函数值时，角的大小、正负可以是任意的；

角的单位可以是度，也可以是弧度。

因此在计算三角函数值之前，必须先使用MODE键（或DRG键），把计算器调到相应的状态。

另外，由于计算器型号不同，所按的键名及按键过程稍有差异。

因此，使用前应仔细阅读说明书。

例题解析,用计算器计算下列各三角函数值。

（结果保留位有效数字）

（1）sin231

（2）cos（175）（3）tan（75）（4）（5）（6）,同角三角函数的基本关系,根据三角函数的定义，只要k（kZ），则又因为x2y2r2，所以于是，得出同角三角函数的基本关系：

例题解析,例1已知，且是第二象限的角，求cos和tan的值。

解,单击鼠标继续,例2化简下列三角函数式：

（1）（270360）

（2）,解,

（1）因为2700。

（2）,单击鼠标继续,1已知，0，求sin和tan的值。

2已知，且在第三象限，求cos和tan的值。

3化简下列三角函数式：

（1）costan

（2）,3.3三角函数的图像和性质,用描点法完成正弦函数y=sinx，x0，2的图像。

列表：

描点：

以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。

连线：

将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。

正弦函数ysinx的图像和性质,正弦函数ysinx的图像,把函数ysinx在区间0，2上的图像向左平移2就能得到正弦函数y=sinx在区间2，0上的图像。

我们把正弦函数ysinx（xR）的图像叫做正弦曲线。

把正弦函数ysinx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4、6个单位，就能得到正弦函数ysinx，xR的图像。

由ysinx，x0，2的图像可以看出，下面五个点在确定图像形状时起着关键的作用：

（0，0）、（，1）、（，0）、（，1）、（2，0）,这五个点描出后，正弦函数ysinx，x0，2的图像的形状就基本上确定了。

今后，我们只要找出这五个点就可以描点画简图了。

这种作图法称为五点法。

例题解析,例用五点法画出函数ysinx1在0，2上的简图。

解,分析比较函数ysinx1和函数ysinx可以看出，对同一个x值，函数ysinx1的值比函数ysinx的值大1。

所以，函数ysinx1的图像与函数ysinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同。

描点并连线：

单击鼠标继续,正弦函数ysinx的性质,

（1）定义域：

R。

（2）值域：

1，1。

（3）周期性：

由于终边相同的角的正弦函数值相等，即sin（x2k）sinx，kZ。

所以sinx在变化过程中，x每增大或减小2k（kZ且k0），函数值重复出现，我们称y=sinx为周期函数；

而2k（kZ且k0）为它的周期（周期常用T表示），其中T=2称为它的最小正周期。

今后我们所说的周期都是指最小正周期。

（4）对称性：

正弦函数ysinx的图像关于原点对称，即sin（x）=sinx,（5）单调性：

正弦函数ysinx在区间上是增函数，在区间上是减函数。

用五点法作出下列函数在区间0，2上的简图。

（1）ysinx1

（2）y2sinx,余弦函数ycosx的图像和性质,余弦函数ycosx的图像,把余弦函数ycosx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4个单位，就能得到余弦函数ycosx，xR的图像。

余弦函数ycosx（x）的图像叫做余弦曲线。

余弦函数ycosx的性质,

（1）定义域：

（，）,

（2）值域：

1，1,（3）周期性：

余弦函数ycosx是周期函数，它的周期是2。

余弦函数ycosx（x）的图像关于y轴对称，即cos（x）=cosx,（5）单调性：

在区间0，上是减函数，在区间，2上是增函数。

1将比较cos与cos值的大小。

2用五点法画出y2cosx在区间上的简图。

正切函数ytanx的图像和性质,正切函数ytanx的图像,把正切函数ytanx在x上的图像向左或向右分别平移、2、3个单位，就能得到正切函数的图像，即正切曲线。

正切函数ytanx的性质,

（1）定义域：

（，+），没有最大值和最小值,（3）周期性：

函数ytanx是周期函数，周期是,（4）对称性：

图像关于原点轴对称,（5）单调性：

函数ytanx在开区间（kZ）内都是增函数。

例题解析,例比较tan与tan值的大小。

解,因为,而ytanx在区间上是增函数，所以,单击鼠标继续,1观察正切曲线，当tanx0时，求x。

2利用正切函数的周期性和单调性比较tan与tan值的大小。

本章结束,