圆锥曲线方程知识点总结[1]Word格式文档下载.doc

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（3）抛物线：

开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）如:

焦点

由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：

由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：

（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；

在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；

（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

（3）不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：

①范围：

；

②焦点：

两个焦点；

③对称性：

两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；

④准线：

两条准线；

⑤离心率：

，椭圆，越小，椭圆越圆；

越大，椭圆越扁。

如

（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：

3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

（2）双曲线（以（）为例）：

或；

两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；

，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；

⑥两条渐近线：

。

⑤双曲线焦点到渐近线的距离是,垂足恰好在准线上

如

（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：

或）；

（2）双曲线的离心率为，则= （答：

4或）；

（3）设双曲线（a>

0,b>

0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围

是________（答：

（3）抛物线（以为例）：

一个焦点，其中的几何意义是：

焦点到准线的距离；

一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

一条准线；

⑤离心率：

，抛物线。

如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：

5、点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；

（2）点在椭圆上＝1；

（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：

直线与椭圆相交；

直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

如

（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：

（-,-1））；

（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：

[1，5）∪（5，+∞））；

（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有___条（答：

3）

（2）相切：

直线与椭圆相切；

直线与双曲线相切；

直线与抛物线相切；

（3）相离：

直线与椭圆相离；

直线与双曲线相离；

直线与抛物线相离。

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：

相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；

如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：

一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；

④P为原点时不存在这样的直线；

（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：

两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如

（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：

2）；

（2）过点（0,2）与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为___（答：

（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（答：

3）；

（4）对于抛物线C：

，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：

与抛物线C的位置关系是_______（答：

相离）；

（5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：

1）；

（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________（填大于、小于或等于）（答：

等于）；

（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：

（8）直线与双曲线交于、两点。

①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？

②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

（答：

①；

②）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：

利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。

如

（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：

（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：

（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为____（答：

（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：

（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，则点M的坐标为_______（答：

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：

常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中，

①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；

②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；

对于双曲线的焦点三角形有：

②。

如

（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：

6）；

（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：

（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·

<

0时，点P的横坐标的取值范围是 （答：

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：

9、圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相离，双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交

（2）设AB为焦点弦，M为与相应准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；

（3）抛物线设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；

（4）抛物线（椭圆，双曲线）设AB为焦点弦若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：

若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：

焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

如

（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：

8）；

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：

11、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；

在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。

如

（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：

（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：

x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：

因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

12．你了解下列结论吗？

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；

②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：

建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：

直接利用条件建立之间的关系；

如已知动点P到定点F（1,0）和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：

②待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

如抛物线顶点在原点，坐标轴为对称轴，过点，抛物线方程为_______（答：

③定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

如

（1）由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：

（2）点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：

（3）一动圆与两圆⊙M：

和⊙N：

都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：

双曲线的一支）；

（4）（08东城一模）已知定圆：

，圆心为，动圆过点且和圆相切，动圆的圆心的轨迹记为.求曲线的方程；

④代入转移法：

动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程。

如周长16,,动点P是其重心,当运动时,则P的轨迹方程为__________（答：

⑤参数法：

当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程,引入n个参量需要n+1个等式,等式由几何条件坐标化得来注意参量得范围,

如

（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。

（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：

（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：

（4）（08海淀一模）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．求线段中点的轨迹的方程；

注意：

①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化。

如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

（1）设为点P的横坐标，证明；

（2）求点T的轨迹C的方程；

（3）试问：

在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；

若不存在，请说明理由.（答：

（1）略；

（2）；

（3）当时不存在；

当时存在，此时∠F1MF2＝2）

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”坐标化（三点共线转化为斜率相等）、化解析几何问题为代数问题（方程与函数）、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1）给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：

②存在实数；

③若存在实数

等于已知三点共线.

（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;

15．圆锥曲线最值,定值,定点问题

基本方法:

拿到表达式或和问题等价的代数形式

（西城）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？

若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由.

（海淀文科）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，右焦点为，右准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点，点和点在上，且轴.

（I）求椭圆的方程及离心率；

（II）当时，求直线的方程；

（III）求证：

直线经过线段的中点.

16.解析几何中求变量的范围问题:

一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.或转化为解不等式

例（08海淀一模）直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角,则|FA|的取值范围是（）

（A） （B）（C） （D）

例已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）求证：

（）；

（Ⅲ）求面积的最大值.

例.椭圆方程为=1是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-平分。

若存在，求的倾斜角的范围；

若不存在，请说明理由。

答案:

倾斜角

例．已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

解答过程：

（I）所求圆的方程为

（II）设直线AB的方程为代入整理得

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.

记中点则

的垂直平分线NG的方程为

令得

点G横坐标的取值范围为

例、给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点.

（1）求的值；

（2）设时，求的取值范围.

（1）解：

根据抛物线方程可得F（1，0）………………………………1分

设直线l的方程为将其与C的方程联立，消去x得

…………………………………………………………3分

设A，B的坐标分别为

则y1y2=－4………………………………………………………………4分

因为………………5分

故……………………………………6分

（2）解：

因为

所以

即……8分

又③

④

由②、③、④消去

将其代入①，注意到

从而可得……………………………………11分

故三角形OAB的面积………………12分

因为即可，

解得……………………………………………………14分

17.结合定义解题

（西城）已知两点，，若抛物线上存在点使为等边三角形，则_________

（东城）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为.

（宣武）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是（）

A8BC10D

（朝阳）已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

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