十年高考真题分类汇编 数学 专题20 空间向量考试版文档格式.docx
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6.(2019·
浙江·
T19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°
∠BAC=30°
A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.
(1)证明:
EF⊥BC;
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
7.(2019·
全国1·
理T18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°
E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
8.(2019·
理T17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.
9.(2019·
全国3·
理T19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°
.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.
10.(2018·
T8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则( )
A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1
11.(2018·
理T19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
所在平面垂直,M是
上异于C,D的点.
平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
12.(2018·
理T16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=
AC=AA1=2.
AC⊥平面BEF;
(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(3)证明:
直线FG与平面BCD相交.
13.(2018·
理T17)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:
MN∥平面CDE;
(2)求二面角E-BC-F的正弦值;
(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°
求线段DP的长.
14.(2018·
理T18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
15.(2018·
理T20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2
PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°
求PC与平面PAM所成角的正弦值.
16.(2018·
T9)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°
A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
17.(2018·
上海·
T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°
M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.
18.(2017·
理T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=
AB=4.
M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
19.(2017·
理T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°
.
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°
求二面角A-PB-C的余弦值.
20.(2017·
理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC=
AD,∠BAD=∠ABC=90°
E是PD的中点.
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°
求二面角M-AB-D的余弦值.
21.(2017·
理T19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.
22.(2017·
山东·
理T17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°
得到的,G是
的中点.
(1)设P是
上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
23.(2017·
理T17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°
点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;
(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
求线段AH的长.
24.(2016·
理T18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°
且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°
平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
25.(2016·
理T19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=
EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'
EF的位置,OD'
=
D'
H⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-D'
A-C的正弦值.
26.(2016·
理T17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'
的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:
GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB=
AC=2
AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.
27.(2016·
理T17)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°
BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
28.(2016·
理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
29.(2015·
理T19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
30.(2015·
理T19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC的中点.证明A1,C1,F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.
31.(2015·
理T17)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°
O为EF的中点.
AO⊥BE;
(2)求二面角F-AE-B的余弦值;
(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.
32.(2015·
理T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
A1D⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.
33.(2015·
福建·
理T17)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
GF∥平面ADE;
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
34.(2015·
理T17)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°
求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
35.(2015·
理T18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°
E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
平面AEC⊥平面AFC;
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
36.(2015·
理T18)如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=
AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图②.
CD⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.
37.(2015·
湖北·
理T19)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB,交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.
PB⊥平面DEF,试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是,写出
其每个面的直角(只需写出结论);
若不是,说明理由;
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
求
的值.
38.(2014·
理T19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
AC=AB1;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°
AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
39.(2014·
理T18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60°
AP=1,AD=
求三棱锥E-ACD的体积.
40.(2014·
江西·
理T19)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
AB⊥PD;
(2)若∠BPC=90°
PB=
PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?
并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
41.(2014·
湖南·
理T19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
O1O⊥底面ABCD;
(2)若∠CBA=60°
求二面角C1-OB1-D的余弦值.
42.(2014·
辽宁·
理T19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°
E,F分别为AC,DC的中点.
(2)求二面角E-BF-C的正弦值.
43.(2014·
理T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
44.(2014·
安徽·
理T20)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.
Q为BB1的中点;
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;
(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
45.(2014·
四川·
理T18)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.
P是线段BC的中点;
(2)求二面角A-NP-M的余弦值.
46.(2014·
理T17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°
AB=2CD=2,M是线段AB的中点.
C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=
求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
47.(2014·
理T19)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<
λ<
2).
(1)当λ=1时,证明:
直线BC1∥平面EFPQ;
(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?
若存在,求出λ的值;
若不存在,说明理由.
48.(2014·
理T17)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
49.(2014·
理T17)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
50.(2014·
理T17)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
四边形EFGH是矩形;
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
51.(2013·
理T18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°
AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
52.(2013·
理T19)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°
AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
53.(2013·
理T18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=
AB.
BC1∥平面A1CD;
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.
54.(2013·
广东·
理T18)如图
(1),在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°
BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=
O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图
(2)所示的四棱锥A'
-BCDE,其中A'
O=
A'
O⊥平面BCDE;
(2)求二面角A'
-CD-B的平面角的余弦值.
55.(2013·
理T20)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2
.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C-BM-D的大小为60°
求∠BDC的大小.
56.(2012·
全国·
理T19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小.
57.(2011·
理T18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°
AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
PA⊥BD;
(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.
58.(2011·
理T19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.
CD=C1D;
(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(3)求点C到平面B1DP的距离.
59.(2010·
理T18)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.
PE⊥BC;
(2)若∠APB=∠ADB=60°
求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
60.(2010·
理T19)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
CM⊥SN;
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.