北京市西城外国语学校初二上期中数学Word文档格式.docx

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有意义．

12．分解因式：

8m2n﹣6mn2+2mn=　　．

13．分解因式：

a2﹣

=　　．

14．分解因式：

b2﹣12b+36=　　．

15．如图：

已知AB=CD，使△ABO≌△CDO，还需添加一个条件，你添加的条件是　　．（只需一个，不添加辅助线）

16．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O钉在一起，使AA′，BB′能绕点O自由转动，就做成一个测量工具，测A′B′的长即等于内槽宽AB，这种测量方法的依据是　　．

17．约分：

=　　．

18．若关于x的二次三项式x2﹣kx﹣3因式分解为（x﹣1）（x+b），则k+b的值为　　．

19．八年级

（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图（满分为100分，成绩均为整数），若将成绩不低于90分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是　　．

20．观察下列各式：

22﹣02=4×

1

42﹣22=4×

3

62﹣42=4×

5

82﹣62=4×

7

（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个等式　　；

（2）如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．

在﹣5，28，2016，2018这四个数中，是“神秘数”的有：

　　．

三、作图题（共3分）

21．已知：

如图，△ABC．

求作：

一点P，使P在BC上，且点P到∠BAC的两边的距离相等．

（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）

四、解答题（第22题12分，第23、24、25、27每题5分，第26题5分或6分，第28题4分，第29题题6分，共47分或48分）

22．把下列各式因式分解

（1）3x2﹣12y2

（2）（a+b）2﹣6c（a+b）+9c2

（3）x2﹣2x﹣8

（4）（m+n）2﹣4mn．

23．已知：

如图，E是BC上一点，AB=EC，AB∥CD，BC=CD．求证：

AC=ED．

24．已知：

AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD，∠CAB=32°

．求∠DAB的度数．

25．如图，点O是直线l上一点，点A、B位于直线l的两侧，且∠AOB=90°

，OA=OB，分别过A、B两点作AC⊥l，交直线l于点C，BD⊥l，交直线l于点D．求证：

AC=OD．

26．已知：

如图，AB=DC，AD=CB，在DA、BC的延长线上各任取一点E，F，连接EF．

求证：

（1）AB∥CD．

（2）∠E=∠F．

27．望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为：

每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）m=　　%，n=　　%，这次共抽查了　　名学生进行调查统计；

（2）请补全上面的条形图；

（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人？

28．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

（1）图2中的阴影部分的面积为　　；

（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　　；

（3）根据

（2）中的结论，若x+y=7，xy=

，则x﹣y=　　；

（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等式　　．

29．已知：

如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，补全图形并猜想线段AD，BE，AB之间的数量关系（直接写出结论，不用证明）；

（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D，E都在AB的同侧时，补全图形并探究

（1）中的结论是否成立？

如果成立，请证明；

如果不成立，请说明理由；

（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D，E在AB的异侧时，补全图形并探究

（1）中的结论是否仍然成立？

如果成立，请说明理由；

如果不成立，那么线段AD，BE，AB之间还存在某种数量关系吗？

如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

数学试题答案

1．

【考点】因式分解的意义．

【分析】根据因式分解的意义即可判断．

【解答】解：

因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，

故选（B）

2．

【考点】全面调查与抽样调查．

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

A、了解某电视台某次“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率，采用抽样调查的方式，故A正确；

B、了解某渔场中青鱼的平均重量，无法普查，采用抽样调查，故B正确；

C、了解某型号联想电脑的使用寿命，采用抽样调查，故C错误；

D、了解一批汽车的刹车性能，采用全面调查，故D正确；

故选：

C．

3．

【考点】全等三角形的性质．

【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．

∵两三角形全等，

∴∠2=68°

，∠3=52°

，

∴∠1=180°

﹣52°

﹣68°

=60°

故选B．

4．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

B、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；

C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．

B．

5．

【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．

A、当c≠0时，

才成立，所以选项A不正确；

B、

，所以选项B不正确；

C、当a=b时，

才成立，所以选项C不正确；

D、∵a是分母，

∴a≠0，

∴

所以选项D正确；

故选D．

6．

【考点】完全平方式．

【分析】根据完全平方式的结构即可求出答案．

由题意可知：

m=±

8，

故选（D）

7．

【考点】角平分线的性质．

【分析】过E作EEF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形面积公式求出即可．

过E作EEF⊥BC于F，

∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，

∴EF=DE=3，

∵BC=10，

∴△BCE的面积为

=15，

故选C．

8．

【考点】全等三角形的判定与性质；

三角形三边关系．

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．

如图所示，AB=4，AC=6，延长AD至E，使AD=DE，连接BE、EC，设AD=x，

在△BDE与△CDA中，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE=AC=6，AE=2x，

在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜2x＜6+4，

∴1＜x＜5．

故选A．

9．

【考点】条形统计图；

总体、个体、样本、样本容量；

用样本估计总体；

扇形统计图．

【分析】根据条形统计图和扇形统计图提供的数据分别列式计算，再对每一项进行分析即可．

A、样本容量是：

=200，故本选项正确；

B、样本中C等所占百分比是：

×

100%=10%，故本选项正确；

C、D等级所在扇形的圆心角为：

÷

200×

360=18°

，故本选项错误；

D、估计全校学生成绩为A等大约有：

1500×

60%=900（人），故本选项正确；

10．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．

在△ABD与△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

故③正确；

∴∠ADB=∠CDB，

在△AOD与△COD中，

∴△AOD≌△COD（SAS），

∴∠AOD=∠COD=90°

，AO=OC，

∴AC⊥DB，

故①②正确；

故选D

11．

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义的条件可得y﹣2≠0，再解即可．

由题意得：

y﹣2≠0，

解得：

y≠2，

故答案为：

≠2．

12．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式即可得到结果．

原式=2mn（4m﹣3n+1），

2mn（4m﹣3n+1）

13．

【考点】因式分解﹣运用公式法．

【分析】原式利用平方差公式分解即可．

原式=（a+

）（a﹣

），

（a+）（a﹣

）

14．

【分析】原式利用完全平方公式分解即可．

原式=（b﹣6）2，

（b﹣6）2

15．

【分析】由图形可知∠AOB=∠COD，结合条件，根据全等三角形的判定方法填写答案即可．

∵AB=CD，且∠AOB=∠COD，

∴当∠B=∠D或∠A=∠C时，满足AAS，可证明△ABO≌△CDO，

∠A=∠C（∠B=∠D）．

16．

【考点】全等三角形的应用．

【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′，根据全等三角形的性质即可得到结论．

∵O是AA′、BB′的中点，

∴AO=A′O，BO=B′O，

在△OAB和△OA′B′中

∴△OAB≌△OA′B′（SAS），

∴AB=A′B′，

故两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．

17．

【考点】约分．

【分析】首先把分子分母分解因式，然后约去公因式即可．

原式=

=

．

18．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等．

【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．

x2﹣kx﹣3=（x﹣1）（x+b）=x2+（b﹣1）x﹣b，

∴k=1﹣b，b=3，

∴k=﹣2，

则k+b=﹣2+3=1．

故答案为1．

19．

【考点】频数（率）分布直方图．

【分析】首先求得总人数，确定优秀的人数，即可求得百分比．

总人数是：

5+10+20+15=50（人），优秀的人数是：

15人，

则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是：

100%=30%．

故答案是：

30%．

20．

【考点】平方差公式．

【分析】

（1）观察已知等式得到规律，写出即可；

（2）利用“神秘数”定义判断即可．

（1）根据题意得：

第n（n为正整数）个等式为（2n）2﹣（2n﹣2）2=4（2n﹣1）；

（2）根据“神秘数”定义得：

28=82﹣62，故“神秘数”是28．

（1）（2n）2﹣（2n﹣2）2=4（2n﹣1）；

（2）28

21．

【考点】作图—基本作图；

角平分线的性质．

【分析】作∠BAC的平分线，交BC于点P，则点P即为所求点．

如图，点P为所求．

22．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等；

提公因式法与公式法的综合运用．

（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用完全平方公式分解即可；

（3）原式利用十字相乘法分解即可；

（4）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．

（1）原式=3（x2﹣4y2）=3（x+2y）（x﹣2y）；

（2）原式=（a+b﹣3c）2；

（3）原式=（x﹣4）（x+2）；

（4）原式=m2+2mn+n2﹣4mn=m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2．

23．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．

【解答】证明：

∵AB∥CD，

∴∠B=∠DCE．

在△ABC和△ECD中，

∴△ABC≌△ECD（SAS）．

∴AC=ED．

24．

【分析】根据全等三角形的判定可得Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），即可求得∠DAB的度数．

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C=∠D=90°

∴在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），

∴∠CAB=∠DBA，

∵∠CAB=32°

∴∠DBA=32°

在Rt△BAD中，∠DAB=90°

﹣∠DBA，

∴∠DAB=90°

﹣32°

=58°

25．

【分析】根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

∵∠AOB=90°

∴∠AOC+∠BOD=90°

∵AC⊥l，BD⊥l，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠A+∠AOC=90°

∴∠A=∠BOD，

在△AOC和△OBD中，

∴△AOC≌△OBD（AAS），

∴AC=OD．

26．

（1）连接BD，根据全等三角形的性质得到∠3=∠4，由平行线的判定即可得到结论；

（2）证明：

连接BD，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据平行线的性质即可得到结论．

（1）连接BD，

在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

∴∠3=∠4，

∴AB∥CD；

连接BD，

∴∠1=∠2，

∴AD∥BC，

∴∠E=∠F．

27．

（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得调查的学生数和m、n的值；

（2）根据

（1）和扇形统计图可以求得C类学生数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据扇形统计图可以求得该校C类学生的人数．

（1）由题意可得，

这次调查的学生有：

20÷

40%=50（人），

m=13÷

50×

100%=26%，n=7÷

100%=14%，

26，14，50；

（2）由题意可得，

C类的学生数为：

20%=10，

补全的条形统计图，如右图所示，

（3）1200×

20%=240（人），

即该校C类学生约有240人．

28．

【考点】完全平方公式的几何背景；

因式分解的应用．

（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；

（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（3）由

（2）的结论得到（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，再把x+y=7，x•y=

得到（x﹣y）2=4，然后利用平方根的定义求解；

（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b）．

（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2，

（b﹣a）2；

（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，

所以（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，

（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，

而x+y=7，x•y=

∴72﹣（x﹣y）2=4×

∴（x﹣y）2=4，

∴x﹣y=±

2，

±

2；

（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，

∴3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b），

3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b）．

29．

【考点】三角形综合题．

（1）如图1中，结论：

AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要证明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可．

（2）如图2中，

（1）中所得结论是否仍然成立．在线段AB上截取AF=AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题．

（3）不成立．如图3中，结论：

AD﹣BE=AB．延长BC交AM于F，只要证明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解决问题．如图4中，结论：

BE﹣AD=AB，证明方法类似．

（1）结论：

AD+BE=AB．补全图形（如图1）

理由：

∵CD⊥AM，CH⊥AB，

∴∠ADC=∠CHA=90°

在△ACD和△ACH中，

∴△ACD≌△ACH（AAS），

∴AD=AH，

同理可证△BCH≌△BCE，

∴BH=BE，

∴AD+BE=AH+BH=AB．

（2）

（1）中所得结论是否仍然成立．

证明：

如图2中，在线段AB上截取AF=AD，连接FC．

∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

在△ADC和△AFC中，

∴△ADC≌△AFC（SAS）．

∴∠ADC=∠AFC，

∵MA∥NB，

∴∠ADC+∠6=180°

又∵∠5+∠AFC=180°

∴∠5=∠6．

在△CBF和△CBE中，

∴△CBF≌△CBE（AAS），

∴BF=BE

∵AF+BF=AB，

∴AD+BE=AB．

（3）不成立．

如图3中，结论：

AD﹣BE=AB．

延长BC交AM于F．

∵AD∥BN，

∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，

∴AF=AB，

∵∠1=∠2，

∴AC⊥BF，CF=BC，

在△CDF和△CEB中，

∴△CDF≌△CEB，

∴DF=BE，

∴AD﹣BE=AD=AF=AF=AB，

∴AD=BE=AB．

如图4中，结论：

BE﹣AD=AB．（证明方法类似图3情形）．