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和.
由题意知:
和相互独立,且:
,
7设是总体的样本,试确定C,使得.
解因,则,且各样本相互独立,则有:
查卡方分位数表:
c/4=18.31,则c=73.24.
8设总体X具有连续的分布函数,是来自总体X的样本,且,定义随机变量:
试确定统计量的分布.
解由已知条件得:
,其中.
因为互相独立,所以也互相独立,再根据二项分布的可加性,有
9设是来自总体X的样本,试求。
假设总体的分布为:
1)2)3)4)
解1)
2)
3)
4)
10设为总体的样本,求
与。
又因为,所以:
11设来自正态总体,定义:
,计算.
解由题意知,令:
,则
12设是总体的样本,为样本均值,试问样本容量应分别取多大,才能使以下各式成立:
1);
2);
3)。
解1)
令:
所以:
计算可得:
查表可得:
,而取整数,.
13设和是两个样本,且有关系式:
(均为常数,),试求两样本均值和之间的关系,两样本方差和之间的关系.
解因:
即:
14设是总体的样本.
1)试确定常数,使得,并求出;
2)试确定常数,使得,并求出和.
解1)因:
标准化得:
,且两式相互独立
故:
可得:
,,.
2)因:
,,
所以:
可得:
.
15设分别是分布和分布的分位数,求证
证明设,
则:
故:
16设是来自总体的一个样本,求常数,使:
.
解易知,则;
同理,则
又因:
,所以与相互独立.
计算得:
c=0.976.
17设为总体的容量的样本,为样本的样本均值和样本方差,求证:
1);
2);
3).
所以:
又:
且:
与相互独立
~
2)由1)可得:
3)因:
18设为总体的样本,为样本均值,求,使得
解
,即.
19设为总体的样本,试求:
1)的密度函数;
2)的密度函数;
所以的密度函数为:
由定理:
20设为总体的样本,试求:
2)
21设为总体的一个样本,试确定下列统计量的分布:
2);
3)
解1)因为:
且与相互独立,由抽样定理可得:
2)因为:
且与相互独立,
3)因为:
由卡方分布可加性得:
22设总体服从正态分布,样本来自总体,是样本方差,问样本容量取多大能满足?
解由抽样分布定理:
,
23从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本,设总体方差相等,分别为两样本方差,求.
解设分别为两样本的容量,为总体方差,由题意,
又因分别为两独立的样本方差:
24设总体,抽取容量为20的样本,求概率
2).
解1)因,且各样本间相互独立,所以:
2)因:
所以:
25设总体,从中抽取一容量为25的样本,试在下列两种情况下的值:
1)已知;
2)未知,但已知样本标准差.
解1)
2)
26设为总体的样本,为样本均值和样本方差,当时,求:
1)2)
3)确定C,使.
2)
其中,则
3)
其中,,则
计算得:
27设总体的均值与方差存在,若为它的一个样本,是样本均值,试证明对,相关系数.
证明
28.设总体,从该总体中抽取简单随机样本,是它的样本均值,求统计量的数学期望.
解因,为该总体的简单随机样本,令,则有
可得:
习题二
1设总体的分布密度为:
为其样本,求参数的矩估计量和极大似然估计量.现测得样本观测值为:
0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7,求参数的估计值.
解计算其最大似然估计:
其矩估计为:
2设总体X服从区间[0,]上的均匀分布,即,为其样本,
1)求参数的矩估计量和极大似然估计量;
2)现测得一组样本观测值:
1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.
解1)矩估计量:
最大似然估计量:
无解.此时,依定义可得:
2)矩法:
极大似然估计:
3设是来自总体X的样本,试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.已知总体X的分布密度为:
1)未知
2)未知
3)未知
4)未知
5),其中参数未知
6),其中参数未知
7)未知
8)
矩法估计:
最大似然估计:
矩估计:
联立方程:
最大似然估计:
无解,当时,使得似然函数最大,
依照定义,,同理可得.
4)
矩估计:
,不存在
最大似然估计:
,无解;
依照定义,.
5)
即
,无解
依定义有:
6)
解方程组可得:
无解,依定义得,解得.
7)
.
4.设总体的概率分布或密度函数为,其中参数已知,记,样本来自于总体X,则求参数的最大似然估计量.
解记则;
5设元件无故障工作时间X具有指数分布,取1000个元件工作时间的记录数据,经分组后得到它的频数分布为:
组中值
5152535455565
频数
365245150100704525
如果各组中数据都取为组中值,试用最大似然法求参数的点估计.
.解最大似然估计:
6已知某种灯泡寿命服从正态分布,在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(单位:
小时)为:
1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948
设总体参数都未知,试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解设灯泡的寿命为,,极大似然估计为:
根据样本数据得到:
经计算得,这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
7.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布),其化验结果如下:
大肠杆菌数/升
0123456
升数
1720102100
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使上述情况的概率为最大?
解设为每升水中大肠杆菌个数,,,由3题
(2)问知,的最大似然估计为,所以
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时,出现上述情况的概率最大.
8设总体,试利用容量为n的样本,分别就以下两种情况,求出使的点A的最大似然估计量.
1)若时;
2)若均未知时.
解1),的最大似然估计量为,
所以.
2)的最大似然估计量为,最大似然估计为,由极大似然估计的不变性,直接推出.
9设总体X具有以下概率分布:
x
1/3
1/4
1
2
3
1/6
1/2
4
求参数的极大似然估计量.若给定样本观测值:
1,0,4,3,1,4,3,1,求最大似然估计值.
解分别计算,时样本观测值出现的概率:
由最大似然估计可得:
10设总体X具有以下概率分布:
,
求参数的最大似然估计量.
解最大似然估计应该满足:
结果取决于样本观测值.
11设是总体X的样本,设有下述三个统计量:
指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量,并指出哪一个方差最小?
所以无偏,方差最小.
12设总体,为其样本,
1)求常数,使为的无偏估计量;
2)求常数,使为的无偏估计量.
令
得.
2)
13设是来自总体X的样本,并且EX=,DX=,是样本均值和样本方差,试确定常数,使是的无偏估计量.
14设有二元总体,为其样本,证明:
是协方差的无偏估计量.
证明
由于
,证毕.
15设总体,样本为,是样本方差,定义,,试比较估计量,,哪一个是参数的无偏估计量?
哪一个对的均方误差最小?
所以是的无偏估计
所以,
可以看出最小.
16设总体,为样本,试证:
与都是参数的无偏估计量,问哪一个较有效?
所以比较有效.
17设,是的两个独立的无偏估计量,并且的方差是的方差的两倍.试确定常数c1,c2,使得为的线性最小方差无偏估计量.
解:
设
当,上式达到最小,此时.
18.设样本来自于总体X,且(泊松分布),求,并求C-R不等式下界,证明估计量是参数的有效估计量.
解
所以其C-R方差下界为
所以是参数有效估计量.
19设总体X具有如下密度函数,
是来自于总体X的样本,对可估计函数,求的有效估计量,并确定R-C下界.
解因为似然函数
所以取统计量
得=,所以是无偏估计量
令由定理2.3.2知T是有效估计量,由
所以C-R方差下界为.
20设总体X服从几何分布:
,对可估计函数,则
1)求的有效估计量;
2)求;
3)验证的相合性.
解1)因为似然函数
所以取统计量.
又因为
所以是的无偏估计量,取,由定理2.3.2得到,是有效估计量
所以是相合估计量.
21设总体X具有如下密度函数,
是来自于总体X的样本,是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量?
如果存在和,请具体找出,若不存在,请说明为什么.
解因为似然函数
所以令
所以是的无偏估计量,取,由定理2.3.2得到,是有效估计量
是有效估计量.
22设是来自于总体X的样本,总体X的概率分布为:
1)求参数的极大似然估计量;
2)试问极大似然估计是否是有效估计量?
如果是,请求它的方差和信息量;
3)试问是否是相合估计量?
得到最大似然估计量
所以
所以是无偏估计量,,由定理2.3.2得到是有效估计量
信息量
所以,T也是相合估计量.
23设样本来自总体,并且的区间估计为,问以多大的概率推断参数取值于此区间.
解设以概率推断参数取值于,在已知方差为1条件下,推断参数
的置信度为的置信区间为
所以,,得到
即以概率推断参数取值于.
24从一批螺钉中随机地取16枚,测得其长度(单位:
cm)为:
2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,
2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11
设钉长分布为正态,在如下两种情况下,试求总体均值的90%置信区间,
1)若已知=0.01cm;
2)若未知;
解因为
1)计算
所以置信区间为
2)计算
所以置信区间为.
25测量铝的密度16次,测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布).
解这是正态分布下,方差未知,对于均值的区间估计:
因为
计算
所以置信区间为.
26在方差已知的正态总体下,问抽取容量n为多大的样本,才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l?
解均值的置信度为的置信区间为
要使
即.
27从正态总体中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?
,所以.
28假设0.5,1.25,0.8,2.0是总体X的简单随机样本值.已知.
1)求参数a的置信度为0.95的置信区间;
2)求EX的置信度为0.95的置信区间.
解1)服从正态分布,按照正态分布均值的区间估计,其置信区间为,由题意,从总体X中抽取的四个样本为:
其中,,代入公式,得到置信区间为
,由1)知道的置信区间为,所以置信区间为.
29随机地从A批导线中抽取4根,并从B批导线中抽取5根,测得其电阻()为:
A批导线:
0.143,0.142,0.143,0.137
B批导线:
0.140,0.142,0.136,0.138,0.140
设测试数据分别服从和,并且它们相互独立,又均未知,求参数的置信度为95%的置信区间.
解由题意,这是两正太总体,在方差未知且相等条件下,对总体均值差的估计:
置信区间为
计算得
所以.
30有两位化验员A、B,他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定,其测定值的方差依次为0.5419和0.6065,设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体),求方差比/的置信度为95%的置信区间.
解由题意,这是两正太总体方差比的区间估计:
置信区间为
所以置信为.
31随机地取某种炮弹9发做试验,测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s),设炮口速度服从正态分布,求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间.
解由题意标准差的置信度为0.95的置信区间为
计算得
所以置信区间为.
32在一批货物的容量为100的样本中,经检验发现16个次品,试求这批货物次品率的置信度为95%的置信区间
解设表示来自总体的样本,样本为次品时,样本为正品时,表示次品率,则,
的置信区间为
所以置信区间为.
33设总体,参数,是来自于总体X的样本,并且,求参数的贝叶斯估计量.
解设,先验分布密度,
当时,样本的概率密度分布为
关于参数的后验分布为
的后验分部为,所以关于的Bayes估计量.
34设总体,参数具有指数分布,即,并且损失函数为平方差函数形式,求参数的贝叶斯估计量.
解设,先验分布密度
的后验分部为,关于的Bayes估计量.
35设总体X服从几何分布:
,并且参数,其中为已知参数.在平方差损失下,求参数的贝叶斯估计量T.
解
设,
先验分布密度
当时,样本的概率密度分布为:
关于参数的后验分部为
的后验分部为
关于的Bayes估计量.
36设为总体的样本,
1)求参数p是有效估计量T1与相应的信息量;
2)如果,在平方差损失下,求参数p的贝叶斯估计量T2.
3)试比较两个估计量T1和T2.
解1)因为似然函数为:
所以
又因为
所以取,有定理2.3.2得是的有效估计量
2)设
先验分布密度当时,样本的概率密度分布为
关于参数的后验分部为
的后验分部为,关于的Bayes估计量
(3)比较估计量,有:
所以,优于.
习题三
1正常情况下,某炼铁炉的铁水含碳量.现在测试了5炉铁水,其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变,问总体的均值有无显著变化?
如果总体均值没有改变,问总体方差是否有显著变化()?
解由题意知,,设立统计原假设
拒绝域为,临界值,
由于,所以拒绝,总体的均值有显著性变化.
设立统计原假设
由于,所以当时
拒绝域为
由于,所以拒绝,总体的方差有显著性变化.
2一种电子元件,要求其寿命不得低于1000h.现抽测25件,得其均值为=950h.已知该种元件寿命,问这批元件是否合格()?
解由题意知,设立统计原假设
拒绝域为
临界值为
由于,所以拒绝,元件不合格.
3某食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准重量为500g,现从某天生产的罐头中随机抽测9罐,其重量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495(g),假定罐头重量服从正态分布.问
(1)机器工作是否正常()?
2)能否认为这批罐头重量的方差为5.52()?
解
(1)设X表示罐头的重量(单位:
g).由题意知,已知
设立统计原假设,拒绝域
当时,
临界值,由于,
所以接受,机器工作正常.
(2)设X表示罐头的重量(单位:
g).由题意知,已知
设立统计原假设
拒绝域为当=0.05时,可得
由于,所以接受,可以认为方差为.
4某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查,抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399(元/500克),标准差为0.269(元/500克).已知往年的平均售价一直稳定在3.25(元/500克)左右,问该市当前的鸡蛋售价是否明显高于往年?
()
解设X表示市场鸡蛋的价格(单位:
元/克),由题意知
设立统计原假设,拒绝域为
当=0.05时,
由于所以拒绝,当前的鸡蛋售价明显高于往年.
5已知某厂生产的维尼纶纤度,某日抽测8根纤维,其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39,问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了()?
解由题意知,
设立统计原假设
拒绝域为,当时,
由于,所以拒绝,认为强度的方差明显变大.
6某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000,标准差不得超过130.现从一批该种元件中抽取25只,测得寿命均值,标准差.设元件寿命服从正态分布,试在显著水平=0.05下,确定这批元件是否合格.
解设X表示电子元件的平均寿命(单位:
),由题意知
由于,所以接受,即这批电子元件的寿命是合格的.
7设为来自总体的样本,已知对统计假的拒绝域为.1)当时,求犯两类错的概率与;
2)证明:
当→时,→0,→0.
解
(1)由题意知
犯第一类错误的概率为
犯第二类错误的概率为
(2)若成立,则
当,,所以
同理
8设需要对某