苏教版高中数学Ⅱ+Ⅴ教案 第24课时异面直线一Word文档格式.docx
《苏教版高中数学Ⅱ+Ⅴ教案 第24课时异面直线一Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高中数学Ⅱ+Ⅴ教案 第24课时异面直线一Word文档格式.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
Ⅱ.讲授新课
［师］前面我们学习空间两条直线的位置关系时，讨论了异面直线，并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时，怎样显示它们不共面的特点呢？
常用的方法有下列几种：
这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意：
这样表示a、b异面正确吗？
［生］不正确.直观上看a
α，b
β，似乎分别在不同的
平面内，但从图形上可看出，a、b有与两平面α、β的交线都平
行的可能，这样a与b就平行，它们完全有可能在新的平面γ内，
所以这样画容易给人造成误解.
［师］好！
画异面直线时，一定要把其特征清楚地显现出来，不能使人产生歧义.
［师］如图
（1），直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，使a′∥a、b′∥b（边记边作），我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.据此，我们给出异面直线所成角的定义（板书）.
定义：
过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
［师］由于点O是任意的，大家说这样作出的角有多少个？
［生］无数个.
［师］这无数个锐角（或直角）的大小有什么关系？
（学生中没有人马上回答，似乎还存在着什么困惑）
［师］把我们得到角的方法，用我们前面学过的知识分析一下.
（生恍然大悟，不是不会答大小有什么关系，而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系）.
［生］这无数个锐角（或直角）相等.
［师］为什么？
［生］这无数个锐角（或直角）中，每个角的两边都分别平行于a、b，据平行公理，这无数个锐角（或直角）每个角的两边都分别平行，依据等角定理的推论，这无数个锐角（或直角）相等.
［师］很好！
通过上面的讨论，再认真分析定义，我们可以得出如下的结论：
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角θ∈（0，
］；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b;
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
（上面每一条都要摘要作出板书）
［师］为了加深对这一概念的理解与认识，请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.
［生］课本图中的六角螺母的棱AB和CD所在的直线成的角，或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角，都是异面直线所成的角.
［生］教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角.
［生］正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.
［师］好.同学们再来考虑这样的问题：
空间三条直线a、b、c，若a⊥c、b⊥c，则a、b是怎样的位置关系.
［生］a、b平行.
［师］还有吗？
请同学拿出竹签，每两人一组，对照正方体模型实际摆一摆.
（同学动手摆弄，讨论）
［生］a、b可能相交，a、b也可能异面.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.在空间，垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线.当a、b异面时，同学们再摆摆看，与a、b都垂直的直线有几条？
与a、b都相交的直线有几条？
与a、b既垂直又相交的直线有几条？
（生摆弄以后回答）
［生］与a、b都垂直的直线有无数条，与a、b都相交的直线也有无数条，与a、b既垂直又相交的直线有且只有一条.
［师］好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线（板书）
注意：
从定义可看出，两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交，“垂直”“相交”两条缺一不可（板书）.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线，与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线，对于两条异面直线，它们的公垂线有且只有一条.
［师］两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.（板书）.
对于确定的两条异面直线，它们所成的角是确定的，它们的公垂线是确定的，它们的距离也是完全确定的.
［师］下面我们来看个例子
设图中正方体的棱长为a.
（1）求直线BA′和CC′所成角的大小；
（2）求异面直线BC和AA′的距离.
求异面直线所成角的大小，关键是选择恰当的点，通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，成为平面问题去求解；
求两异面直线的距离，就是求两异面直线的公垂线段的长.
分析：
因为BB′∥CC′，所以∠A′BB′就是异面直线
BA′与CC′所成的角，因为AA′与AB垂直相交，BC与AB也
垂直相交，所以AB是异面直线AA′和BC的公垂线，AB的长就是
异面直线AA′与BC的距离.
解：
（1）∵CC′∥BB′
∴BB′和BA′所成的锐角，
即∠A′BB′就是异面直线BA′和CC′所成的角（解题过程中，这句表述不能少）.
∵∠A′BB′＝45°
，
∴BA′与CC′所成的角是45°
.
（2）
BC和AA′的距离是a.
Ⅲ.课堂练习
课本P28练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围，两异面直线的公垂线的定义，两异面直线间的距离.概念比较多，同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会，认真掌握，两异面直线所成的角，两异面直线间的距离，这两部分内容，在空间图形中的位置是相当重要的，在高考中也是经常涉及到的，同学们一定要予以高度重视，对于角与距离的求法，要多练习，才能掌握好，相信我们每个同学都会学得很好.
Ⅴ.课后作业
课本P28习题5，8，9.
思考与练习
一、选择题
1.下列命题中，正确的是（）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案：
C
2.已知异面直线a与b所成的角为50°
，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°
的直线有且仅有（）
A.1条B.2条C.3条D.4条
B
3.直线a、b相交于点O，且a、b成60°
角，过点O与a、b都成60°
角的直线有（）
4.异面直线a、b所成的角为80°
，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°
的直线有（）
D
5.若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是（）
A.1B.最多为1C.2D.1或2
6.已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是（）
A.平行或相交B.异面
C.平行或相交或异面D.相交或异面
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是（）
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
二、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_________条.
6
2.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则
（1）MN与PQ的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
（2）MN与B1D的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
（3）异面直线MN与B1D1间的距离为______.
（1）相交60°
（2）异面90°
（3）a
3.在空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝2a，M、N分别
是边AB、CD的中点，若MN＝
a，则AC和BD所成的角
为______，MN和AC所成的角为______.
90°
45°
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD＝AA1＝
，AB＝2，那么
（1）AA1与BC1所成角的度数是_____；
（2）DA1与BC1所成角的度数是_____；
（3）BC1与D1M所成角的余弦是_____.答案：
（1）45°
（2）90°
（3）
5.在空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，若AC＝6，BD＝4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN＝______，MN与BD所成角的正切值为______.
6.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_________.
7.如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点且
＝
，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH与FG间的距离为_________.
8cm
升级会员 